打字猴:1.70105804e+09
1701058040 自那以后,这个观念一直萦绕在我的脑海中。我想,数学发展的漫长历程,可以完美地适用这个观念。
1701058041
1701058042 从很早的时代起,数学原理的重要修正几乎总是紧接着某些不确定的年代,这个时期经常有矛盾产生而不得不解决。毕达哥拉斯时代(Pythagorean times)无理数的发现导致了有关比例定理的危机。尼多斯的欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus,公元前4世纪早期)运用他的比例论(theory of proportions)带领追随他的数学家们克服了这场危机。
1701058043
1701058044 这些进步并不是在确定的、均衡的各个时期里发生的。数学的盛衰是不均衡呈现的,但在本书所涵盖的相对较短的几百年间,数学的发展是起起落落、盛衰相依。例如,莱布尼兹在他的微积分里使用了无穷小,很多数学家对此不悦。直到差不多200年后,一种新的表达方法和非常规的分析,才解决了这个问题,使微积分让人看着舒服些。
1701058045
1701058046 更近一些的时候,产生了康托尔引入的集合论和他对无穷的研究成果,以及罗素悖论和哥德尔不完备定理。每一次都引起了极大的震动和数学上极有用的进步。
1701058047
1701058048 经验老道的评论家莫里斯·克莱因说:“1931年,这个结果(哥德尔定理)让逻辑主义者、形式主义者和集合论者伤透了心,自那以后,数学家中只有直觉主义者能保持镇静和骄矜。所有那些考验知识巨人身心的逻辑符号运用和原理演绎,对于他们来说,都成了废话。”(1)
1701058049
1701058050 有趣的是,在罗素提出他的悖论的同一年,他还写道:“现代数学家最重大的胜利之一在于发现了什么是真正的数学。”
1701058051
1701058052 克莱因在1980年写道:
1701058053
1701058054 在今天看来,这些话让我们感觉天真。考虑到当今几个学派对数学的认识之间的分歧,我们可以想象得到,在将来这种分歧会更大。当今的学派都用心为当今的数学辩护。但如果我们回过头来看看古希腊时期的数学、17世纪的数学和19世纪的数学,我们会看到,数学已经发生了戏剧性的剧烈变化。现代的几个学派都致力于证明1900年的数学是合理的,对于2000年的数学,他们也有可能会这么做吗?直觉主义者确实认为数学在不断地成长和发展。但他们曾经发现过一些不是由于历史的发展而凭“直觉”得来的东西吗?当然,即使在1930年,答案也是否定的。因此看起来,对数学基础观念的修正会是一直需要的(2)。
1701058055
1701058056 达特茅斯学院荣誉退休教授恩斯特·斯莱帕(Ernst Snapper)说,还有比这更糟的。他声称:我们可以认为,三个学派都在经历数学的危机。他认为,因为它们中没有一个能成功地为我们提供一个坚实的数学基础(3)。
1701058057
1701058058 因此,为数学寻找一个坚实基础的努力还在进行中;对最好的数学教学法的寻求也在进行中。对于基础问题,克莱因说:“历史事实表明,数学没有一个固定的、客观的和独特的实体。另外照以前的历史来看,数学将会有新的内容,这些新内容也将需要新的基础。”(4)
1701058059
1701058060 至少就每一次基础危机来看,我们似乎回到了跟前人同样的问题。但我们可以期待,或至少可以希望,每一次危机之后,数学界将会从以前所发生的事中学到某些东西,从而变得更强大、更聪明——这是螺旋的又一圈!
1701058061
1701058062 (1) 克莱因,1980年,第276页。
1701058063
1701058064 (2) 克莱因,1980年,第277页。
1701058065
1701058066 (3) 斯维特文集,1994年,第 697、707页。
1701058067
1701058068 (4) 克莱因,1980年,第320页。
1701058069
1701058070
1701058071
1701058072
1701058073 数学恩仇录:数学家的十大论战 [:1701054545]
1701058074 数学恩仇录:数学家的十大论战 参考书目
1701058075
1701058076 一般背景
1701058077
1701058078 Abbott, David. The Biographical Dictionary of Scientists: Mathematicians. New York: Peter Bedrick Books, 1986.
1701058079
1701058080 Albers, Donald J., and G. L. Alexanderson, eds. Mathematical People: Profiles and Interviews. Cambridge, Mass.: Birkhäuser Boston, 1985.
1701058081
1701058082 Aspray, William, and Philip Kitcher, eds. History and Philosophy of Modern Mathematics. Minneapolis: University of Minnesota Press, 1988.
1701058083
1701058084 Ball, W. W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics. New York: Dover, 1960. (Orig. pub. 1908.)
1701058085
1701058086 Barrow, John D. Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being. New York: Oxford University Press, 1992.
1701058087
1701058088 Bell, E. T. The Development of Mathematics. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1945.
1701058089
[ 上一页 ]  [ :1.70105804e+09 ]  [ 下一页 ]