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自那以后，这个观念一直萦绕在我的脑海中。我想，数学发展的漫长历程，可以完美地适用这个观念。
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从很早的时代起，数学原理的重要修正几乎总是紧接着某些不确定的年代，这个时期经常有矛盾产生而不得不解决。毕达哥拉斯时代（Pythagorean times）无理数的发现导致了有关比例定理的危机。尼多斯的欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪早期）运用他的比例论（theory of proportions）带领追随他的数学家们克服了这场危机。
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这些进步并不是在确定的、均衡的各个时期里发生的。数学的盛衰是不均衡呈现的，但在本书所涵盖的相对较短的几百年间，数学的发展是起起落落、盛衰相依。例如，莱布尼兹在他的微积分里使用了无穷小，很多数学家对此不悦。直到差不多200年后，一种新的表达方法和非常规的分析，才解决了这个问题，使微积分让人看着舒服些。
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更近一些的时候，产生了康托尔引入的集合论和他对无穷的研究成果，以及罗素悖论和哥德尔不完备定理。每一次都引起了极大的震动和数学上极有用的进步。
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经验老道的评论家莫里斯·克莱因说：“1931年，这个结果（哥德尔定理）让逻辑主义者、形式主义者和集合论者伤透了心，自那以后，数学家中只有直觉主义者能保持镇静和骄矜。所有那些考验知识巨人身心的逻辑符号运用和原理演绎，对于他们来说，都成了废话。”(1)
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有趣的是，在罗素提出他的悖论的同一年，他还写道：“现代数学家最重大的胜利之一在于发现了什么是真正的数学。”
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克莱因在1980年写道：
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在今天看来，这些话让我们感觉天真。考虑到当今几个学派对数学的认识之间的分歧，我们可以想象得到，在将来这种分歧会更大。当今的学派都用心为当今的数学辩护。但如果我们回过头来看看古希腊时期的数学、17世纪的数学和19世纪的数学，我们会看到，数学已经发生了戏剧性的剧烈变化。现代的几个学派都致力于证明1900年的数学是合理的，对于2000年的数学，他们也有可能会这么做吗？直觉主义者确实认为数学在不断地成长和发展。但他们曾经发现过一些不是由于历史的发展而凭“直觉”得来的东西吗？当然，即使在1930年，答案也是否定的。因此看起来，对数学基础观念的修正会是一直需要的(2)。
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达特茅斯学院荣誉退休教授恩斯特·斯莱帕（Ernst Snapper）说，还有比这更糟的。他声称：我们可以认为，三个学派都在经历数学的危机。他认为，因为它们中没有一个能成功地为我们提供一个坚实的数学基础(3)。
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因此，为数学寻找一个坚实基础的努力还在进行中；对最好的数学教学法的寻求也在进行中。对于基础问题，克莱因说：“历史事实表明，数学没有一个固定的、客观的和独特的实体。另外照以前的历史来看，数学将会有新的内容，这些新内容也将需要新的基础。”(4)
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至少就每一次基础危机来看，我们似乎回到了跟前人同样的问题。但我们可以期待，或至少可以希望，每一次危机之后，数学界将会从以前所发生的事中学到某些东西，从而变得更强大、更聪明——这是螺旋的又一圈！
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(1) 克莱因，1980年，第276页。
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(2) 克莱因，1980年，第277页。
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(3) 斯维特文集，1994年，第 697、707页。
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(4) 克莱因，1980年，第320页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 参考书目
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一般背景
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Abbott, David. The Biographical Dictionary of Scientists: Mathematicians. New York: Peter Bedrick Books, 1986.
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Aspray, William, and Philip Kitcher, eds. History and Philosophy of Modern Mathematics. Minneapolis: University of Minnesota Press, 1988.
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Bell, E. T. The Development of Mathematics. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1945.
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