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(23) 恩斯特，1999年，第 2、3、4页。
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(24) 拉波特（Rapport）和赖特（Wright）文集，1963年，第 128—137页。源自庞加莱文集，1946年。（原版于1913年出版。）
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(25) 罗素，1957年，第 65、66页。
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(26) 巴纳，1992年，第 272—273页。
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(27) 同上书，第273页。
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(28) 霍尔，1989年，第 96—97页。
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(29) 伍鸿熙，1996年，第1532页。
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(30) 恩斯特，1995年，第T15页。
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(31) 萧恩菲尔德，2002年，第14页。
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(32) 赫希，1979年，第32页。
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(33) 佩平，1999年，第128页。
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(34) 托姆，1990年。
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(35) 鲁内，1992年。
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(36) 恩斯特，1994年，第5页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 尾声
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多年前，我和著名的科幻作家阿瑟·C·克拉克（Arthur C. Clarke）共进午餐。适逢根据他的作品拍摄的精彩电影《2001太空漫游》（2001: A Space Odyssey）刚刚上映。此前我一直迷惑于这部电影的主题思想，于是跟他攀谈起来。比如电影开头的时候有一个史前人类的镜头，出现了一块让人莫名其妙的黑色巨石。临近电影的结尾，在另一个反映进步得多的人类的镜头中，我们再次看到了这块莫名其妙的黑色巨石。
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我问克拉克：“你在暗示某种轮回吗？”
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他想了一会儿，然后说：“是，也不是。是，这里的确有轮回的想法，但我不想暗示我们经常会恰好回到我们以前所处的阶段。实际上这更像一个螺旋，而不是一个圆环，对比前一圈，每一圈都表明了某种进步。”
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自那以后，这个观念一直萦绕在我的脑海中。我想，数学发展的漫长历程，可以完美地适用这个观念。
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从很早的时代起，数学原理的重要修正几乎总是紧接着某些不确定的年代，这个时期经常有矛盾产生而不得不解决。毕达哥拉斯时代（Pythagorean times）无理数的发现导致了有关比例定理的危机。尼多斯的欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前4世纪早期）运用他的比例论（theory of proportions）带领追随他的数学家们克服了这场危机。
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这些进步并不是在确定的、均衡的各个时期里发生的。数学的盛衰是不均衡呈现的，但在本书所涵盖的相对较短的几百年间，数学的发展是起起落落、盛衰相依。例如，莱布尼兹在他的微积分里使用了无穷小，很多数学家对此不悦。直到差不多200年后，一种新的表达方法和非常规的分析，才解决了这个问题，使微积分让人看着舒服些。
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更近一些的时候，产生了康托尔引入的集合论和他对无穷的研究成果，以及罗素悖论和哥德尔不完备定理。每一次都引起了极大的震动和数学上极有用的进步。
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经验老道的评论家莫里斯·克莱因说：“1931年，这个结果（哥德尔定理）让逻辑主义者、形式主义者和集合论者伤透了心，自那以后，数学家中只有直觉主义者能保持镇静和骄矜。所有那些考验知识巨人身心的逻辑符号运用和原理演绎，对于他们来说，都成了废话。”(1)
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