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在他的《纯粹理性批判》（Critique of Pure Reason, 1781）中，康德提供了更能使人心安的话。他断言所有的数学公理和定理都是真理。但是，康德自问，为什么他愿意接受这样的真理？经验本身当然不能允许这一点。如果能够回答“数学科学如何是可能的”这一更大的问题，上述问题就可以解答了。
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实际上，康德对人类如何获得真理这一问题采取了全新的解决方法。他首先区分了能够提供知识的两类陈述或判断。第一类，他称之为分析的，并不能实际增加知识。例如这样的陈述：所有的物体都是广延的。它只是明确陈述了物体作为物体就有的性质，并没有说出新东西（尽管这个陈述可用于强调）。第二类，是心智独立于经验以某种方式获得的，他称之为先验知识。
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在康德看来，真理不能单独从经验获得，因为经验是感觉的大杂烩，缺乏概念和组织。因而仅仅观察并不会提供真理。真理，如果存在，必须是先验判断，并且要成为真正的知识，必须是综合判断，它们必须提供新的知识。
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明显的证据唾手可得，就在数学知识的主体中。在康德看来，几乎所有的数学公理和定理都是先验综合判断。“两点之间直线最短”这一陈述肯定是综合的，因为它结合了直和最短距离两个观念，而这两个观念任一个都不隐含另一个。而且这陈述是先验的，因为关于直线甚至度量的经验都不能保证（康德相信）此陈述所包含的真理。因而，在康德看来，人类毫无疑问拥有先验综合判断，即真正的真理。
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康德还作了更深的探求。他问，为什么他愿意接受陈述“两点之间直线最短”为真理？心智怎样能够知道这样的真理？如果我们能够回答“数学为什么是可能的”，此问题就可以解答了。康德给出的解答是，我们的心智拥有空间和时间形式，独立于经验。康德称这些形式为直觉。它们是纯粹先天的知识方式，不依据经验或思想。因而空间和时间是直觉，心智必然通过它们来观看物理世界，以整理和理解感觉。既然空间之直觉源于心智，关于空间的某些公理就可以立马被心智接受。然后几何学继续探索这些公理的逻辑含义。空间和时间的规律以及心智的规律是居先的，它们使理解实在现象成为可能。康德说：“我们的心智并没有从自然界取出规律，而是将自己的规律加于自然界。”
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我们根据心智中的这些智力形式来知觉、整理和理解经验。经验由智力形式塑造正如面团由模子塑造。心智将这些形式加于所接受的感官经验，使这些感觉归属固有的模式。因为空间的直觉源于心智，心智自动地接受这空间的某些性质。两点之间直线最短，三点决定一个平面，以及欧几里得的平行公理，这些康德称为先天综合真理的原理，是我们的智力资质的组成部分。几何学只是探索这些原理的逻辑结果。心智根据心智的空间结构来观看经验，这意味着经验将遵从基本原理和定理。
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因为康德是用人脑细胞来制造空间，在他看来没有理由不把它做成欧几里得式的。它没有能力构想另一种几何学，因而他相信没有另一种几何学。因此他保证欧氏几何学的真理性，同时也保证先天综合命题的存在。如此，欧几里得几何学中的规律不是宇宙中固有的，宇宙也不是由上帝这样设计的。这些规律是人类整理感觉并使感觉合理化的机制。至于上帝，康德说上帝的本性在我们的理性知识范围之外，不过我们还是应该相信其存在。康德在哲学上的大胆为其几何学上的鲁莽所超越，因为尽管他从来没有走出其东普鲁士的故乡柯尼斯堡城十英里之外，他仍能确定关于世界的几何学。
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科学中的数学规律如何解释？因为所有的经验都是根据空间和时间的智力结构来把握的，数学必定可适用所有的经验。在他的《自然科学的形而上学基础》（Metaphysical Elements of Nature Science, 1786）一书中，康德承认牛顿定律及其推论都是自明的。他宣称已证明牛顿第一运动定律可由纯粹理性推出，并且只有设定这一定律，自然界对于人类理性才是可理解的。
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更一般地说，康德论证道，科学的世界就是心智根据固有的范畴如空间、时间、因果和实体所安排调节的感官印象的世界。心智包含着客人必须适用的家具。感官印象的确起源于实在世界，不幸的是这样的世界是不可知的。只有通过知觉的心智所提供的主观范畴，现实才是可知的。因而，除了根据欧几里得几何和牛顿力学，没有别的方式能够整理经验。
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对于康德来说，当经验扩展和新科学的形成时，心智并不是通过从这些新经验中概括来得出新原理；相反，以前没用过的心智机能被利用起来以解释这些新经验。心智的想象力由经验所照明。这可以解释为什么有些真理认识得相对晚一些——如力学定律——而有些几个世纪以来已为人所知。
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康德还说，我们不能指望仅仅通过感官认识来获得可靠的知识。我们永远不会知道实在事物自身。如果我们能够确定地知道什么，这一定是心智考察了从外界接受的材料的结果。
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康德哲学在这里仅仅简单论及。他颂扬了理性，不过康德分配给理性的任务不是探索自然界而是探索人类心智的深处。经验作为知识中的必要因素得到应有的承认，因为感觉从外部世界提供了心智加以整理的原料。数学作为心智的必然规律的显露者而保留了其位置。
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从康德知识论的概述中可以明显看出，他将数学真理的存在作为其哲学的中心支柱。他尤其依赖于欧几里得几何学的真理性。不幸的是，19世纪发明的非欧几何摧毁了康德的论证。
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尽管康德哲学极其优越，受到尊崇，19世纪大名鼎鼎的英国哲学家约翰·斯图亚特·穆勒（John Stuart Mill, 1806—1873）还是回到休谟的观点并作了一些改动。作为一个实证主义者，穆勒宣称，知识主要来自感官，而且还包括有意识的心智关于感官证据形成的关系。无法证明一个外部世界存在，但也没有证据表明它不存在。
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当我们说一个外部对象时，我们的意思是，不管我们想到与否，某物存在着，即使我们从其得到的感觉改变了，它还是保持不变，并且对于许多观测者来说都一样，而感觉却不是这样。对于穆勒来说，关于外部世界的概念只是在较小程度上由实际的感觉构成，而在更大程度上是由可能的感觉构成——不是由正在感觉的，而是由转过头去就会感觉到的构成。物质是感觉的永久可能性。记忆力在这种知识中起作用。
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不管怎么说，关于外部世界的知识只能通过感觉来获得。这种知识是不完美的，我们不知道它的确切限度和范围。从感觉中获得的简单观念由心智组合成复杂观念；然而这种知识是有名无实的。归纳知识永远不会是确定的，只能是可能的。但是无论对于科学来说还是作为我们生活的指南，这种知识是我们所能得到的最佳知识。
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对于穆勒来说，数学中譬如说欧氏几何中的结论，只是在它们从前提中推出的意义上才是必然的。然而，那些前提——公理——是基于观察的，是经验的概括。算术和代数也是建立在经验之上。表达式2＋2=3＋1＝4是心理概括。代数只是这种概括的更抽象的推广。
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所以穆勒发现归纳法至关重要，因为它是可能的概括如自然规律的源泉。原因只是此后的事件的居先者。那个事件有一个原因，这是从经验中推出的。它是对大自然的齐一性原理的准确表述。
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这样，在实验知识之外没有知识是可能的，也没有知识是必要的。经验和心理可以解释我们所有的知识，它们是我们相信外部世界存在的依据。穆勒是一个经验主义者，不过他与休谟的怀疑主义不同。他的观点与20世纪的经验主义和逻辑实证主义接近，甚至可以说开创了后两者。
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以上概述了主要哲学家关于外部世界的存在和我们知识的可靠性的观点，从中可得出什么结论呢【1】？我们采取爱因斯坦所表述的立场：
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相信有一个独立于知觉主体的外部世界的存在，是一切科学的基础。但是既然我们的感官知觉只能间接地告知我们这世界或物理实在的情形，只有通过推测，这世界对于我们才是可理解的。
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经验不能证明实在，经验是属于个人的。
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尽管我们采取经验主义的立场，致力于弄明白关于外部世界我们能获知什么，我们还是应该以我们的感官知觉是否可靠开始。这我们打算在第1章讨论。我们主要关心的是，数学家能够做什么来纠正我们的错觉，特别是，揭示完全不能知觉的物理现象。
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【1】 关于现代哲学家的观点，我们在后面的章节会讨论得更多，而这些哲学家受了我们拟探讨的数学创造的影响。
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