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假设一人在水流速度为每小时3英里的河里溯流划行了2英里又顺流划行了2英里。假设此人在静止的水中每小时能够划行5英里，他的整个行程需要多长时间？直觉显示着，水流在顺流时的助益会和溯流时的阻碍抵消。因而此人是以每小时5英里的速度划行4英里，而总时间将是4/5小时。实际上直觉错了，总时间是小时。
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假设一人在1夸脱杜松子酒中加上1夸脱苦艾酒来做可口的马提尼酒。人们可能会期待得到2夸脱马提尼。正确的答案是一又9/10夸脱，这当然是直觉捕捉不到的。同样，5品脱的水加上7品脱的酒精也得不到12品脱的混合物。在这两种情况下有分子的结合发生。
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让我们来考察时间问题。我们能够谈论某一给定的秒后的下一秒。一秒钟只是时间的延续。直觉告诉我们紧接着某一给定的刹那有一刹那。我们用刹那来表示没有时间延续，例如当钟表报时一点时的一刹那。但是考察一下伊利亚的芝诺（Zeno of Elea, 公元前5世纪）提出的悖论。飞行中的箭在任一刹那位于一位置，而在下一刹那位于另一位置，箭怎么会有时间到达下一位置？
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我们再来考察与此相关的另一时间问题。钟表在5秒钟中响了6声，响12声需要多长时间？看起来似乎是10秒钟。然而，在6响中有5个间隔，在12响中有11个间隔。因而正确的答案是11，而不是10。
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我们再来考察直觉失败的另一些实例。两长方形有同样的周长，它们必有同样的面积吗？看起来似乎是。然而稍加运算就会知道情形并不如此。那么，在具有同样周长的所有长方形中，哪一个面积最大？如果我们要用栅栏围起一长方形的土地，用此地来种植，面积最大的长方形是最需要的。答案是正方形。
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一个相关的问题是两个同样体积的盒子。一个盒子六面的总面积一定和另一个的总面积相等吗？假设每一个盒子的体积是100立方英尺。长宽高可以是50、1、2英尺，也可以是5、5、4英尺。而表面积分别是204、130平方英尺。很清楚，差异大得惊人。
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直觉失败的另一例证是一年轻人在两份工作中作选择。每一份工作的底薪都是年薪1800美元。但第一份每年加薪200美元，而第二份每半年加薪50美元。选哪一份工作呢？人们也许会认为答案是明显的。每年加薪200美元看起来比每年似乎总共加薪100美元要好。不过我们来作点运算，考虑每隔六个月每份工作的薪金。第一份工作的薪金分别是900、900、1000、1000、1100、1100、1200、1200……每半年加薪50美元的第二份工作的薪金分别是900、950、1000、1050、1100、1150、1200、1250……
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从两列薪金的对比中清楚可见，第二份工作在每年的后半年有更好的收入，而在前半年和第一份工作收入相同。第二份工作更好。运用数学更容易明白为什么第二份工作更好。每半年加薪50美元意味着薪金将以每六个月50美元的变化率或者每年100美元的变化率提高，因为收益者将每六个月多得50美元。从而每年两次这样的增加与一次以每年200美元的变化率增加相等。至此两份工作似乎同样好。然而，第二份工作中增加从第一个半年开始，而第一份工作中直到一年后才开始增加。因而第二份工作的薪金将在每年的后半年更多。
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我们来考虑另一个简单的问题。假设一商人卖苹果五美分两个，卖橘子五美分三个。每次卖时不得不做大量的计算使他有点不耐烦，他决定把苹果和橘子混在一起，以10美分的价格卖任五个水果。这个举动似乎是合理的，因为如果他卖了两个苹果三个橘子，他正好卖了五个水果得到10美分。现在他可以每个水果收两美分，每次卖时他的数学计算就简单了。
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这个商人是在欺骗自己。为快速检验，我们假设他有一打苹果和一打橘子要卖。如果他按五美分两个的正常价格卖苹果，卖掉一打将得到30美分。如果他按五美分三个的价格卖橘子，卖掉一打将得到20美分。他的总收益是50美分。然而，如果他以十美分五个的价格卖掉24个水果，每个他得到两美分，总共48美分。
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损失归咎于这商人的错误推理。他认定苹果和橘子的平均价格应是每个两美分。然而，每个苹果的平均价格是美分，每个橘子的平均价格是美分。两者的平均价格是美分，而不是两美分。
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接下来我们来考虑另一种常见的错误直觉。假设我们有一圆形的花园，半径为10英尺。我们想建一栅栏保护花园，栅栏在每一点上都要超出花园边界1英尺。栅栏比花园本身的周长长多少？答案很容易得到。花园的周长可由一几何学公式给出，公式是周长等于半径的2π倍，π大约等于22/7。因而花园的周长是2π×10。栅栏超出花园1英尺的条件意味着栅栏的半径应是11英尺。因而栅栏的长度是2π×11。两者周长的差是22π－20π即2π。所以，栅栏应比花园的周长长2π英尺。到此为止没有什么特别的。
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现在我们来考虑一个相关的问题。假设我们要建造一条围绕地球的公路——这对于现代的工程师来说是小事一桩——并且要求全程公路高于地球表面一英尺。公路比地球的周长长多少？在计算数值之前让我们运用自己的直觉至少来估算一下。地球的半径大约是4000英里即21120000英尺。既然这半径大约是上述花园半径的200万倍，我们可能会预期公路的额外长度应是围绕花园的栅栏的额外长度的200万倍。后者的数值恰好是2π英尺。因而对公路额外长度的直觉推算似乎会得到数值2000000×2π英尺。不管你是否同意这种推算，几乎可以肯定你会估算公路的长度将比地球的周长大得多。
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运用一点数学就会知道真实情形。为避免计算大数字，我们设地球的半径为r，则地球的周长为2πr。公路的周长或者说长度为2π（r＋1）。后者等于2πr＋2π。因而公路长度和地球周长的差恰好是2π英尺，正好和栅栏长度与花园周长的差相等，虽然公路围绕巨大的地球而栅栏是围绕小小的花园。事实上，数学能告诉我们更多。不管r的值是多少，差2π（r＋1）－2πr总是2π。这意味着，如果外圆在每一点上距内圆一英尺，外圆的周长总是比内圆的周长恰好大2π。
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在许多其他的情况中，直觉会发生失误。一个距一棵树有一段距离的人注意到一只苹果要落下，想用来复枪子弹击中苹果。他知道当子弹到达苹果时，苹果已落下一段距离。那么他应当瞄准低于苹果的某点以击中它吗？不，他应该瞄准苹果开火。因为在子弹飞行过程中，苹果和子弹都落下同样的距离。
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作为直觉易于发生错误的最后一个例子，让我们假定在一次网球联赛中，有136名参赛者，组织者想安排最小数量的比赛选出获胜者。他需要安排多少场？直觉似乎是无用的。答案是135场。因为每个竞争者必须被击败一次，而一旦被击败就被排除。
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为什么我们易于产生感官错觉和错误直觉？对各种感觉器官的生理机制进行考察就能揭示感官错觉。就我们的目的来说，我们需要知道的只是，人的感觉器官和大脑是复杂的。至于直觉，实际上是经验、感官印象和粗略猜想的结合；至多能说是浓缩的经验。随后的分析或实验会证实或反驳它。直觉曾被描述为只是根植于心理惰性的习惯力量。
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当我们谈论知觉上确定的东西时，我们预设了知觉和知觉者的分离。但这是不可能的，因为没有知觉者就不会有知觉。那么什么是客观的？我们也许会天真地以为所有的知觉者都同意的就是客观的。有一个太阳和一个月亮，太阳是黄的，月亮是蓝的。
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赫尔姆霍兹（Helmholtz）在其《生理光学手册》（The Handbook of Physiological Optics, 1896）中写道：
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很容易看出，我们归于它们（外部世界的客体）的所有性质，只是表示它们在我们的感官上或者在其他外部客体上产生的效果。颜色、声音、味道、气味、温度、平滑和质实属于第一类，它们表示在我们的感觉器官上产生的效果。同样，化学性质与反应有关，即与所研究的自然客体在其他自然客体上作用的效果有关。物体的物理性质如光学的、电学的、磁学的性质也是这样。由此可以推出，事实上自然界中客体的性质，并不如其名称显示的那样属于客体自身，而总是表示和另一个物体的（包括我们的感觉器官）的关系。
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避免错觉和错误的直觉，我们应求助于什么？最有效的答案是运用数学。这如何有效还有待于考察。我们主要关心的是要表明，我们的物理世界中有一些现象和我们通过感官知觉到的现象一样实在，不过是超感觉的或者根本不能知觉；并且事实上在当今的文化中我们利用和依赖这些超感觉的实在现象，至少和我们依赖于感官知觉一样，甚至有过于依赖感官知觉。这并不是说数学不利用知觉和直觉作为自己发展的提示。然而，数学超越了这些提示，正如金刚石超越了玻璃。关于我们的物理世界，数学所揭示的远比苍穹的奇观更令人惊异。
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