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运用一点数学就会知道真实情形。为避免计算大数字，我们设地球的半径为r，则地球的周长为2πr。公路的周长或者说长度为2π（r＋1）。后者等于2πr＋2π。因而公路长度和地球周长的差恰好是2π英尺，正好和栅栏长度与花园周长的差相等，虽然公路围绕巨大的地球而栅栏是围绕小小的花园。事实上，数学能告诉我们更多。不管r的值是多少，差2π（r＋1）－2πr总是2π。这意味着，如果外圆在每一点上距内圆一英尺，外圆的周长总是比内圆的周长恰好大2π。
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在许多其他的情况中，直觉会发生失误。一个距一棵树有一段距离的人注意到一只苹果要落下，想用来复枪子弹击中苹果。他知道当子弹到达苹果时，苹果已落下一段距离。那么他应当瞄准低于苹果的某点以击中它吗？不，他应该瞄准苹果开火。因为在子弹飞行过程中，苹果和子弹都落下同样的距离。
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作为直觉易于发生错误的最后一个例子，让我们假定在一次网球联赛中，有136名参赛者，组织者想安排最小数量的比赛选出获胜者。他需要安排多少场？直觉似乎是无用的。答案是135场。因为每个竞争者必须被击败一次，而一旦被击败就被排除。
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为什么我们易于产生感官错觉和错误直觉？对各种感觉器官的生理机制进行考察就能揭示感官错觉。就我们的目的来说，我们需要知道的只是，人的感觉器官和大脑是复杂的。至于直觉，实际上是经验、感官印象和粗略猜想的结合；至多能说是浓缩的经验。随后的分析或实验会证实或反驳它。直觉曾被描述为只是根植于心理惰性的习惯力量。
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当我们谈论知觉上确定的东西时，我们预设了知觉和知觉者的分离。但这是不可能的，因为没有知觉者就不会有知觉。那么什么是客观的？我们也许会天真地以为所有的知觉者都同意的就是客观的。有一个太阳和一个月亮，太阳是黄的，月亮是蓝的。
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赫尔姆霍兹（Helmholtz）在其《生理光学手册》（The Handbook of Physiological Optics, 1896）中写道：
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很容易看出，我们归于它们（外部世界的客体）的所有性质，只是表示它们在我们的感官上或者在其他外部客体上产生的效果。颜色、声音、味道、气味、温度、平滑和质实属于第一类，它们表示在我们的感觉器官上产生的效果。同样，化学性质与反应有关，即与所研究的自然客体在其他自然客体上作用的效果有关。物体的物理性质如光学的、电学的、磁学的性质也是这样。由此可以推出，事实上自然界中客体的性质，并不如其名称显示的那样属于客体自身，而总是表示和另一个物体的（包括我们的感觉器官）的关系。
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避免错觉和错误的直觉，我们应求助于什么？最有效的答案是运用数学。这如何有效还有待于考察。我们主要关心的是要表明，我们的物理世界中有一些现象和我们通过感官知觉到的现象一样实在，不过是超感觉的或者根本不能知觉；并且事实上在当今的文化中我们利用和依赖这些超感觉的实在现象，至少和我们依赖于感官知觉一样，甚至有过于依赖感官知觉。这并不是说数学不利用知觉和直觉作为自己发展的提示。然而，数学超越了这些提示，正如金刚石超越了玻璃。关于我们的物理世界，数学所揭示的远比苍穹的奇观更令人惊异。
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数学与知识的探求 第2章 数学的兴起和作用
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在每门具体的自然科学中，有多少数学存在，就有多少严格的科学。
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康德
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诸神没有从一开始就揭示一切，但是人寻求并且终究会获知更多。
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克塞诺芬尼
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衣服经常暴露了穿衣人。
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莎士比亚
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尽管通过我们的感官得到的信息已经过实验细致的观察、度量、检验，尽管我们现在能够借望远镜、显微镜、勘探仪和非常准确的度量设备之助，然而这样得到的知识仍然是有限的，并且只是近似准确的。虽然关于行星的数量、行星上卫星的存在、太阳黑子和利用罗盘导航，我们已经知道得很多了。然而，与那些我们需要、想要研究的现象的多样性和重要性比起来，所有这些知识上的增益都是微不足道的。
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增长和增进我们关于物理世界的知识的关键、有力、决定性的一步是数学的运用。这一工具的作用远优于上章所描述的手段，可称之为最佳的甚至奇迹性的。它不但校正和增长我们关于可知觉现象的知识，而且可以揭示活生生的但根本不能知觉的现象，但这些现象的效果像触摸火炉一样实在。有一些物理鬼魂存在于我们的日常生活中，这是无可怀疑的。它们的存在是如何被揭示出来的，将是我们下面要讨论的焦点。
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我们这些在西欧和美洲受教育的人，对于数学的本性及其日常运用是耳熟能详的，甚至可以说是习以为常。我们通常将西欧数学的源头追溯到巴比伦文明和古埃及文明。甚至这些文明也从公元前3000年起积累了一些有用而不相互关联的规则和公式，以解决人们在日常生活中碰到的实际问题。这些民族并没有认识到利用数学的力量可以扩展感官所揭示的以外的关于自然的知识。他们的数学可看成是化学之前的炼金术。
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数学作为一种逻辑发展和认识自然的工具，是希腊人的创造。大约公元前600年他们开始郑重其事地研究。希腊人如何、为何形成数学这一新概念并认识到数学这一新作用，关于这方面的公元前6世纪、前5世纪的文献没有保存下来。我们所有的只是历史学家的推测。其中一位叙述道，希腊人发现巴比伦人和古埃及人的著作中关于圆面积的结果互相矛盾，不得不决断哪一个是正确的。关于其他的论题有相似的不一致。另一种解释引证了希腊人的哲学兴趣，但这种建议引起的问题比它回答的问题更多。还有一种解释认为演绎数学来源于亚里士多德逻辑，后者产生于政治和社会问题的论争。但希腊数学的产生早于亚里士多德。
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也许所有能够断言的是，自公元前6世纪以降希腊人有了一种洞察，其精义是：自然是理性地设计的，所有的自然现象都遵循一个精确不变的计划，可以说是数学计划。人类的心智有高超的能力，如果将这种能力用于研究自然，理性的数学的模式就能被辨认出，并且变得可理解。
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不管怎么说，希腊人是有勇气和天才对自然现象作出推理解释的第一个民族。希腊人的理解冲动具有追寻和探险的兴奋性。在探险的同时他们制作了地图，如欧几里得几何学，以便其他人能够迅速发现到达前沿的路径，帮助征服新的地带。
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当我们引证说生活于小亚细亚的希腊城邦米利都的泰勒斯（约公元前640—前546）证明了欧几里得几何学的几个定理时，我们有更可靠的历史根据。没有关于他的时代的文献，因而认为他根据逻辑手段证明定理，也是可疑的。然而可以肯定的是他和他小亚细亚的同时代人对自然的设计作了推测。
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我们能够更加确信的是，随着毕达哥拉斯学派（一个公元前6世纪的神秘宗教组织）的创立，确定自然的理性设计征用了数学之助。物理上多种多样的自然现象显示了相同的数学性质，这一事实触动了毕达哥拉斯学派。月亮和橡胶球具有同样的形状及球形所共有的其他性质。在多元性背后存在着数学关系，数学关系必是现象的本质，这不是很明显的吗？
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