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还可以更进一步，断言这些数学家确信作为自然现象之基础的数学规律的存在，并坚持探求它们，是因为他们先验地相信上帝将数学规律结合到宇宙的建造中。每一个自然规律的发现都被欢呼为上帝智慧之光的证据，而不是研究者才智的证据。数学家和科学家的信念和态度传遍了文艺复兴的欧洲。新近发现的希腊著作面对着非常虔诚的基督教世界，生在一个世界而被另一世界所吸引的思想领袖融合了两者的思想。
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随着这种智性热情，另一个教义——“回到自然中去”的观念获得了支持。每一类科学家都放弃了以意义含混、与经验无关的教条式的原则为基础作无穷无尽的推理，而求助于自然自身作为知识的真正源泉。确实，到1600年欧洲人被激励去从事经常被称为科学革命的事业。几个事件激发或者加速了这一运动：地理学探险发现了新的陆地和新的民族；望远镜和显微镜的发明揭示了新现象；罗盘辅助导航；哥白尼提出的日心说刺激了关于我们的行星系统的新思想；清教徒革命向天主教教义做出挑战。数学不久重新获得了它作为自然之钥的地位。
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这一对现代欧洲数学的历史背景的简述主要意在表明，我们在随后章节主要探讨的数学及其在研究自然中的运用，并不是像晴空霹雳一样突然诞生。不过，我们关注的不是提供了工具来校正和扩展我们关于通常知觉到的现象之知识的初等数学，而是在解释和描述通过感官不容易获得或根本不能获得的现象中，数学所取得的成就。就这个目的来说，我们不需要研究和精通数学技巧，而理解数学是如何能使我们再现物理现象并获得关于这些现象的知识是最主要的。
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什么是数学方法的精髓？首先是基本概念的引入。有些是直接得到物质或物理客体的启发，例如点、线、整数。除了基本概念，事实上数学由源于人类心智深处的概念主导。这种概念的几个例子是：负数、代表数的集合的字母、复数、函数、各种曲线、无穷数列、变分、微分方程、矩阵和群以及高维空间。
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上述的有些概念完全缺乏直觉意义。还有一些的确有物理现象中的直觉基础，如导数，即瞬时变化率。然而，尽管它与速度的物理现象有关，导数更是一种智力构造，从质上说，与数学上的三角形是完全不同的一种贡献。
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在整个数学史上，新概念开始时总受到怀疑。甚至负数概念起初也被严肃的数学家抛弃。然而随着它的用途在应用中变得明显，每个新概念都被勉强接受了。
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数学的第二个本质特征是抽象。在其《理想国》中，柏拉图在谈到几何学家时说道：
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尽管他们利用可见的形状，并就此推理，但他们所想的不是这些，而是这些形状所相似的理型：所想的不是所画的图形，而是绝对的正方形和绝对的直径……他们其实在寻求看见物本身，而这只能通过心智之眼才能见到。你不知道这些吗？
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要使数学有力量，它必须在一个抽象概念中涵盖那个概念所涉及的所有物理显现的本质特征。这样，数学上的直线必须涵盖拉紧的琴弦、直尺的边、田地的边界和光线的路径。
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概念是抽象物可以最基本的概念——数——为例。认识不到这一点会导致混乱。一个简单的情景可用于说明这一点。一个人走进一鞋店买三双鞋，每双鞋的价格是20美元。店员说三双鞋需要60美元，等着顾客给他钱。但顾客回答说，每双鞋20美元，三双鞋的价格不是60美元，而是60双鞋。他向店员要60双鞋。顾客这样做对吗？和店员同样正确。如果鞋的双数乘以美元得出美元，那么同样的计算为什么不能得出鞋的双数？回答是我们并没有将鞋乘以美元。我们从实际情境中抽象出数3和20，相乘得到60，然后再解释这个结果来适用实际情境。
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数学的另一特征是理想化。数学家在研究直线时有意忽略粉笔线的宽度来加以理想化，或者在一些问题中将地球看成是一个完美的球形。理想化自身并不严重地偏离实在。但在用于实在时，它确实提出了这个问题，即要研究的真实的粒子或路径是否和其理想化足够接近。
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数学最显著的特征是其运用的推理方法。基础是一套公理，并运用演绎推理于其上。公理一词（axiom）来源于希腊文，意思是“认为有价值”。希腊人引入了公理概念，即如此自明的真理，没人能够怀疑它。柏拉图的“回忆说”断言，当人作为灵魂存在于真理的客观世界中时，就先天熟悉了真理，几何学的公理代表了对先前所知的真理的回忆。亚里士多德在《后分析篇》（Posterior Analytics）中坚持，根据我们不会出错的直觉可知公理为真的。而且，我们必须有这些真理，我们的推理就建基于其上。相反，如果推理要用不能确定为真理的事实，就需要进一步的推理来确认这些事实，这一过程不得不无穷地重复下去。亚里士多德还指出，有些概念必须不给出定义，否则就无起点可言。今天像点、直线这样的术语是不定义的；它们的意义和性质取决于规定其性质的公理。
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数学所处理的许多概念是由人的头脑发明的，同样，关于这些概念的公理也发明出来，以适合这些概念关于实在意在揭示的。如此，关于负数和复数的公理必然与关于正数的公理不同，或者至少后者应加以推广以包括负数和复数。新概念的微妙之处非常大，有些数学分支建立起来很久以后，才建立起正确的公理基础。
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除了数学公理，一些物理知识也加入了数学对物理世界的贡献。这可以采取物理公理的形式，如牛顿的运动定律，实验观测的概括，或者纯粹只是直觉。这些物理假设是用数学语言表述的，所以数学公理和定理可用于其上。
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不管概念和公理多么根本，是从公理得出的推论允许我们获得全新的知识，以校正我们的感官知觉。在许多类型的推理中——如归纳、类比和演绎——只有演绎推理能保证结论的正确性。因为发现1000个苹果是红的就做出结论说所有的苹果都是红的，这是归纳推理，因而是不可靠的。同样，约翰和他的孪生弟兄继承了同样的天赋，如果因为后者大学毕业就断定前者也应如此，这种论证是类比推理，当然不可靠。与此相反，尽管演绎推理可采取多种形式，却能保证结论的正确。这样，如果承认所有的人是会死的而苏格拉底是人，就必须承认苏格拉底是会死的。这里涉及的逻辑原理是亚里士多德称为三段论推理的一种形式。在演绎推理的规律中，亚里士多德还加入了矛盾律（一个命题不能同时既真又假）和排中律（一个命题必须在真和假中择一）。
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他和世人毫不质疑地接受，这些演绎原理用于任何前提时得出的结论和前提同样可靠。因而，如果前提是真理，结论也是。值得注意的是，亚里士多德是从数学家已实行的推理中抽象出这些演绎推理原理。事实上，演绎推理是数学之子。
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理解对演绎证明的坚持是多么彻底，是重要的。对于偶数我们愿意验证多少就验证多少，都会发现，每个偶数都是两质数之和。然而，我们不能断言这一结果是数学定理，因为它不是根据演绎证明得出的。同样，假设一个科学家要度量100个在不同地点具有不同大小和形状的三角形的角之和，发现在实验精确度的限度内，和都是180度。然而，不仅度量是近似的，还存在一个问题：是否没有度量过的某个三角形会产生显著不同的结果。科学家的归纳证明在数学上是不可接受的。相反，数学家从可靠的事实或公理开始。如果相等数加上相等数，和相等，这谁能怀疑？通过这些无可置疑的公理，可以演绎地证明，任一三角形的角之和都是180度。
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我们刚才描述的演绎过程是利用逻辑来为推理辩护。几乎直到现在所运用的还是亚里士多德逻辑。我们可以追问为什么应用逻辑得出的结论可应用于自然，为什么由蹲在密闭空间中的人类大脑推出的定理，像在许多情形中只是由人类头脑指示的公理一样，可应用于真实世界？我们将在第12章回到为什么数学有效这个问题。
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我们还需要提及数学的另一个重要特征——符号体系的运用。尽管一页数学符号很难说是吸引人的，毫无疑问的是，如果没有符号体系，数学将迷失在文字的荒原中。在大量的日常简写中，我们都用符号。例如我们用N. Y.来表示纽约。尽管这些符号的意义需要学习，毫无疑问符号体系的简洁有助于理解，而用语言来表达将会使头脑负担过重。
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数学家得出关于我们的物理世界的事实的方法，一言以蔽之，即为种种真实的现象建立模型。概念，通常是理想化的（无论从观察自然中得出还是由人类的头脑提供）；公理，也可以由物理事实或人类头脑提示；直觉、理想化、概括和抽象的过程都被用于建立模型。当然，还有证明，使模型的各组成成分牢固结合。人们最熟悉的模型是欧几里得几何学，不过我们将考察许多更精致复杂、更巧妙的模型，比起欧几里得几何学来，这些模型关于这不明显的现象提供远远多于前者的信息。
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我们的目的，是看看数学如何稳健地进入现代世界，不仅作为我们的不完美的感觉的校正方法，而且尤其作为扩展人类所能获得的关于世界的知识的方法。正如汉姆雷特所说：“贺拉修，在天国中和大地上，有比你的哲学之梦中更多的事物。”我们必须超越感觉知识。与感官知觉相反，数学的精髓，在于它利用人类头脑和人类推理来产生关于物理世界的知识；而即使西方文化中的普通人，也相信数学是完全运用感官知觉得到的。
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在其《科学与近代世界中》（Science and the Modern World），阿尔夫雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）强调了数学在探索物理世界中的重要性。
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随着数学不断退居于越来越抽象的思想的更高地带，它返回地面时却具有对于分析具体事实不断增长的重要性……这一悖论现已完全确立，即极度的抽象是控制我们思考具体事实的真正武器。
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20世纪的首席数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）也这样评论道，现在物理学是如此重要，不能全留给物理学家去研究。
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