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图25
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还有一个重要问题没有解决。什么规律描写行星到太阳的距离？使此问题更复杂的是，行星到太阳的距离并不恒定。开普勒探求一条能将此问题考虑在内的新原理。他相信大自然不仅是根据数学设计的，而且是和谐地设计的。他相信有一种天体的音乐产生和谐的音响效果，虽不是产生实际的声音，不过将行星运动的事实翻译成音符后还是能辨认出的。顺着这条线索，经过数学论证和音乐论证的令人惊异的结合，他得到了一条规律，就是，如果T是任一行星的公转周期，D是它到太阳的平均距离，那么
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k是对所有的行星都一样的常数（D的正确值是每个椭圆路径的半长轴）。这就是开普勒关于行星运动的第三定律，是开普勒在其《论世界的和谐》（The Harmony of the World, 1619）一书中兴高采烈地宣布的。
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因为地球到太阳的距离是93百万英里，公转周期是一年，我们可将它们代入方程来确定k的值。如果知道了行星的公转周期，就可以用这条定律来计算它离太阳的平均距离，反过来也一样。
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毫无疑问开普勒会喜爱发现行星之间的距离关系，但他所得到的结果使他欣喜若狂，在书中叙述了这条规律后，他激情迸发，唱起了对上帝的赞歌：
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上帝的智慧是无穷无尽的；他的荣耀和大能也是无穷无尽的。天空啊，唱起对他的赞歌！太阳、月亮和行星，用你们说不出的语言来颂扬他！天体的和谐，所有领悟他奇妙作品的人，赞美他吧。我的灵魂啊，赞美你的创造者吧！只是通过他而且在他之中一切才会存在。我们深知的，包含在我们虚荣的科学中，也包含在他之中。赞美、荣誉和荣耀都永远归于他。
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我们应该附带说明，开普勒能够构想出简单的规律，是因为行星之间的引力相对来说很小，而且太阳的质量恰好比行星的质量大得多。不管怎么说，开普勒的工作是一项巨大的创新，是对日心说的大大推进。
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今天所受的教育已使我们接受了日心说和开普勒定律，因而不能充分理解哥白尼和开普勒所取得的成就的意义。回顾一下他们研究所处的背景，看看他们的数学真正完成了什么，对我们是有益的。
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哥白尼和开普勒身处16、17世纪。自托勒密的时代以来地心说的力量就很强大，非常符合已牢固确立的宗教教义。地球是宇宙的中心，人是宇宙的主角。太阳、月亮和星星是特地为我们创造的。日心说否认这些基本的信条，还隐含着这样的意思，即人是许多高速旋转的球体之一上的一颗无足轻重的尘埃。那么人还可能是上帝救助的主要对象吗？新天文学还摧毁了天国和地狱，而在地心说中这些都有合理的地理位置。
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哥白尼和开普勒都有高度的宗教感，然而他们都否认基督教为中心教义之一。将地球移出了中心位置，哥白尼和开普勒就抽去了天主教神学的一块墙角石，危及整个大厦。哥白尼攻击地球是宇宙的中心的论点，指出与地球相比宇宙是如此广漠，谈论中心是没有意义的。然而，这一论证使他与教会更加对立。
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也有一些反对日心说的合理科学的论证。如果地球处于运动中，在地球轨道的不同位置上，看起来似乎是固定在天空上的恒星的方位应该不同。然而，这种差别在16、17世纪没有观测到。哥白尼回答说，与地球的轨道相比，恒星的距离非常之大。他的对手反驳道，要使方位变化观测不到，这需要的距离与恒星清晰可见的事实矛盾。
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哥白尼的解释结果证明是正确的，不过，如果得知恒星离地球距离的现代数据，即使他也会吃惊不小。从地球轨道的一个位置上到另一个位置上所见的恒星方位的变化，是由数学家弗里德里希·威尔海姆·贝斯尔（Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846）首先于1835年测出的，对于最近的恒星结果是0.76弧度秒（0.76″）。
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上述反对意见只为几个专家认真地坚持。但还有一些其他的有效科学的反驳，即使外行也可以理解。无论哥白尼还是开普勒都不能解释，地球这样重的物是怎样开始运动的，又是怎样保持运动的。过去人们相信天体是由轻物质组成的因而能够很容易运动，所以在地心说理论中其他的行星也运动这一事实并没有使他们困扰。哥白尼能够给出的最好的回答就是，对于任何球体来说，运动是自然的。同样麻烦的是这样一个问题：为什么地球的自转没有致使上面的物体飞到太空中去，就像一个旋转平台上的物体一样？的确，托勒密正是基于这个理由，拒绝承认地球的自转。更进一步的问题是，为什么地球自身没有飞散分崩？对于这后一个问题哥白尼回答说因为运动是自然的它就不会摧毁自身。他还反击道，地心说设定天空每天作快速运动，那为什么天空没有飞散分崩呢？完全没有得到回答的是这样一个问题：如果地球从西往东自转，抛向空中的物体当落回地面时应该在其原来位置的西面。而且，正如自古希腊以来几乎所有的科学家所相信的，如果物体的运动与其重量成正比，为什么地球没有把较轻的物体落在后面？即使围绕地球的空气也应该被落在后面。尽管哥白尼不能解释地球上所有的物体都随它运动，他解释空气的存在时说，空气与地球相似，因而具有同感地随地球运动。开普勒提出了一种理论说，上抛物体在地球自转的同时还落回原处，是因为有看不见的有吸引力的链条将物体连在地球上。
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反对新日心说的另一个最合理的论据是，没人能感觉到地球的自转或公转。而很显然的是，人人都能看见太阳在动。对于著名的天文学家第谷·布鲁赫来说，这些和其他的论据决定性地证明了地球必然静止不动。
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这些反驳论证的实质就是，地球的自转和公转与亚里士多德物理学不相符，而在哥白尼和开普勒的时代亚里士多德物理学是被普遍接受的。所需要的是一种全新的运动理论。
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对于所有这些反对论证，哥白尼和开普勒有一个精巧的答复。他们都取得了数学上的简化，都获得了一种具有压倒一切的和谐并在美感上高超的理论。如果数学关系是科学工作的目标，如果能给出一种更好的数学描述，这一事实又为上帝设计了世界并且很明显会运用高超的理论这样的信念所加强，这就足够压倒一切反驳。他们都相信并且清楚地陈述了，他们的工作揭示了神的工作室的和谐、对称和设计，是上帝存在的压倒一切的证据。
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鉴于反对日心说的有分量的论证多种多样，而哥白尼和开普勒仍愿意探索日心说，这是一个历史之谜。几乎每一个巨大的思想创造几十年甚至几世纪之前就有人作了破冰的工作，至少回顾时来看是这样，这就使得那决定性的一步显得很自然。然而哥白尼没有直接的科学先驱，尽管地心说已被毫不质疑地接受了1500年，他突然就接受了日心说，这在今天看来确实是不自然的。在16世纪的天文学家中，哥白尼像巨人一样屹立着。
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正如我们已指出的，哥白尼确实阅读过古希腊著作，其中几个天文学家曾提出地球运动的观点，但没人试图在这个基础上建立一种数学理论，而地心说已得到精深的发展。哥白尼的观测也没有提示需要一种全新的理论。他的仪器和其先驱的一样粗糙，他的观测也一样。他为托勒密理论的复杂性所烦扰，到他那时这一理论已纠缠在更多的本轮中以适合阿拉伯和欧洲的观测数据。在他书里给教皇保罗三世的堂皇献词中，哥白尼说当他发现数学家们在争论托勒密理论的合理性时，就第一次被激励去寻求一种新理论。不管怎么说，从历史的观念来看，他的科学成果的出现就像在平静的海面上突然升起一座大山一样令人吃惊。
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事实上，一种特殊的宗教信念能解释哥白尼和开普勒工作的方向。一种能显示上帝更伟大庄严的新的可能性，对这种可能性仅仅一瞥就足以唤醒他们、点燃他们的思想。他们努力的结果满足了他们对上帝工作室中和谐、对称和设计的期望。新理论的数学简单性证明了上帝会优先采用它，而不是一种更复杂的设计方案。
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托勒密曾宣称在解释现象时有必要采用适合现象的最简单的假说。哥白尼就用这个论据来反对托勒密理论。因为他相信宇宙是上帝的作品，他将他所发现的简单性解释为真实的设计。因为开普勒的数学更为简单，他就更有理由相信他已发现了上帝在建造宇宙时所运用的规律。开普勒这样评价他的理论：“我在内心深处肯定它为真实的，我带着惊人的狂喜来鉴赏它的美。”
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他们的思想中也有一种神秘因素，这在现在的伟大科学家中是不正常的。构想和建立一种日心理论的灵感来自对于太阳威力的某种模糊甚至原始的反应。哥白尼写道：“地球孕育自太阳，太阳统治星星家族。”下面的论断又加强了上述论证；“在这最美丽的神殿中放置这盏灯使它能同时照亮整体，谁能找到另外的更好位置吗？”
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尽管有神秘的和宗教的影响，但是哥白尼和开普勒在拒绝任何不符合观测数据的猜想时是彻底理性的。使他们的工作与中世纪的玄想相区别的，不仅是其理论的数学框架，而且还有他们对使数学符合实在的坚持。此外，对于一种更简单的数学理论的偏好是一种完全现代的科学态度。
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尽管有反对地球运动的有分量的科学论证，尽管有宗教和哲学上的保守主义，尽管公然违背常识，新理论还是逐渐被接受了。尤其是开普勒的成果公布后，新理论的简单性使数学家叹服。此外，新理论对于导航计算和历法测算远为方便，因而即便是好多没有相信其真理性的地理学家和天文学家也开始采用它。
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开始时只有数学家支持新理论，这并不意外。只有数学家，只有一个相信宇宙是根据数学简单设计的人才有心智上的坚毅，忽视占主导地位的哲学、宗教和物理信念，建立一种革命性的数理天文学。只有一个人毫不动摇地相信数学在宇宙设计中的重要性，才敢于面对新理论必然碰到的很多有力反对，依然坚持新理论。