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日心说找到了一位极有天赋的辩护者，那就是加利利·伽利略（Galileo Galilei, 1564—1642）。他生于佛罗伦萨，17岁进入比萨大学学习医学。他阅读了欧几里得和阿基米德的著作，激起了对于数学和科学的强烈兴趣，就转向了这些领域。
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帕杜阿大学提供了一个教授职位，这使伽利略于1592年前往意大利西北部。帕杜阿当时在进步的威尼斯共和国境内，伽利略享有完全的学术自由。1610年伽利略以前的学生乔西莫·德·美底奇大公请伽利略作了宫廷哲学家和数学家。迁到佛罗伦萨标志着他教书职业的结束和作为全职科学家职业的开始。
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1609年夏天伽利略风闻荷兰人发明了一种东西，通过它远处的物体像在近旁一样清晰可见。伽利略抓紧时间建造了自己的望远镜，并逐渐改进镜片直到达到了33倍的放大倍数。在向威尼斯参议院戏剧性的演示中，伽利略展示了在敌人的军舰到达两个小时之前望远镜就有能力发现它们。
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但伽利略对于他的仪器有更宏伟的计划。将望远镜对准月球，他观察到广大的凹陷和雄伟的大山，因而破除了月球表面是平滑的这一观念。通过观察太阳，他发现了其表面的神秘斑点。他还发现木星拥有4个环绕的月球（现在我们能观察到16个）。这一发现显示了一颗行星可以像地球一样拥有卫星。伽利略在《恒星使者》（The Starry Messenger, 1610）中宣布了这一发现，将他在1610年观察到的木星的4个月球描述为“不属于不显眼恒星群，而属于行星的明亮等级”。他将这些月球称为“美底奇行星”，以赞美强大的佛罗伦萨赞助者，政治上如此英明的行为在伽利略是少有的。
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哥白尼曾经预言说，如果人的视力得到增强，我们就能观察到金星和水星的盈亏，也就是说，能观察到每个行星面对地球的一面被太阳照射到的面积或大或小，正如裸眼能辨认出月球的盈亏。伽利略的确发现了金星的盈亏。这就进一步证明了行星和地球一样，当然不是如古希腊和中世纪思想家所相信的那样是完美的物体，由某种特殊的以太构成。天河，看起来只是一条宽的光带，用望远镜来看是由成千上万的星星组成，每一个都放出光芒。如此看来，还有其他的太阳，大概还有其他的行星系悬在天上。此外很明显天空中不只包含7个运动物体，而这个数字被认为是神圣不可侵犯的。通过观测，他相信哥白尼体系是正确的。
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伽利略对日心说的辩护惹恼了罗马的宗教裁判所，后者于1616年宣布此学说为异端邪说，审查了此学说。1620宗教裁判所禁止了所有教导此学说的出版物。尽管教会有这些关于哥白尼学说的禁令，教皇乌尔班八世还是允许伽利略出版一本关于此论题的书，因为他相信没有人会证明新理论必然是真的。因此，在《关于两大世界体系的对话》（Dialogue on the Great World Systems, 1632）一书中，伽利略比较了地心说和日心说。为取悦于教会从而通过审查，他加了一个序言，大意是日心说只是想象的产物。伽利略被告诫将地心说和日心说介绍为同样有根据的，但他对后者的偏向是很明显的。不幸的是，伽利略写得太好了，教皇开始害怕对日心说有利的论证会像包在银箔中的炸弹一样，仍能对天主教信仰起很大的损害。罗马宗教裁判所又一次传唤了伽利略，并以肉体折磨威胁他。伽利略被迫宣布：“哥白尼体系的虚假性是不容置疑的，尤其对我们天主教徒来说。”1633年，伽利略的《关于两大世界体系的对话》被列在禁书之列，禁令直到1822年才解除。
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我们生活在一个太空探险的时代，太空船能带人登月，能到达我们太阳系中最远的行星，因而不能再怀疑日心说的真理性。然而，对那些生活在17、18世纪的人们，即便是那些能理解哥白尼、开普勒和伽利略著作的人，也有充分理由持怀疑态度。感官证据与这一理论冲突，而哥白尼和开普勒的数学论证，除了哲学信念外只是建立在日心说的相对简单性上，因而很少有说服力。
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现代科学在哥白尼和开普勒的工作中还看出了更多的含义。黑帕库斯和托勒密在关于从圆和本轮的地心说中所组织起来的观测数据，也可以整合在哥白尼和开普勒的日心说中。尽管后两位相信新理论是真实的，现代的观点认为两种理论都可以。除了为得到数学上的简单性外，没有必要采取日心假说。实在远远不像哥白尼和开普勒所相信的那样可知，今天科学理论被看作是人的发明。现代天文学家可能会同意开普勒所说的，天空宣布了上帝的荣耀，天空显示了上帝的作品。然而，他们现在认识到对上帝作品的数学解释是他们自己的创造，数学简单性胜过了他们的感觉。那么，如何确定在我们的物理世界中什么是真实的？
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数学与知识的探求 第5章 数学主导了物理科学
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我们可以说大门已经第一次对一种新方法敞开，这种新方法充满了多种奇妙的结果，将来会引起其他人的关注。
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加利利·伽利略
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在探索数学如何揭示和确定我们关于物理世界的知识的过程中，我们已见到人们接受行星运动的日心理论是出于数学的理由。如果数学上的优点不是那样明显，这一理论能否生存是很难说的，尤其是考虑到教会的反对。然而，这一理论的确存活下来，而我们将看到，其他理论也是这样，尽管违背我们的感官知觉或迫使我们接受感官知觉达不到的物理实在。接受这种理论的基本理由是从17世纪开始的数学对科学的统治，再加上那个时代普遍接受数学是真理这一信念。我们的主要目的是探讨数学关于我们的物理世界揭示了什么，但现在我们将偏离这一目的，来看看数学是如何成为真理的顶点，成为研究物理世界的非常有效的工具。
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以萨克·牛顿（Isaac Newton）勋爵曾说过，他是站在巨人的肩膀上。这些巨人中最魁伟的就是莱内·笛卡儿（1596—1650）和加利利·伽利略（1564—1642）。现代数学所取得的巨大成就不仅归功于对数学不断增长的强调，而且归功于这两位17世纪超群的思想家所开创和追寻的方法。
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在17世纪以前，科学思想已确立的体系和科学活动的本性导源于亚里士多德。亚里士多德研究自然的方法的主要特征是寻求物质的或质的解释。亚里士多德学派试图用他们相信是基本的质或实体，例如热与冷、湿与干，来解释地球上的现象。他们认为这些质的结合产生了四种元素——地、空气、火、水。这样，热与干的质产生了火，热与湿产生了水，如此等等。四元素的每一种都有一种独特的运动。火是最轻的，自然寻找天空，而土质的东西自然寻找地球的中心。亚里士多德还研究了他所说的剧烈运动，其中一物打击、驱动另一物。
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固体、液体和气体被认为是三种具有根本不同质的物质，而不是如我们所说的，是同一物质的三种状态。对于希腊人来说，从液态变到气态是一种质的丧失、另一种质的获得。不同的物体在基本的质上不同。例如，他们认为，在将水银变成金子的过程中，就去除了水银中液体的质，而代之以坚硬的质。在近代化学的早期阶段仍然遵循这种关于基本质的观念。照这样看，硫含有可燃的质，这种质叫作燃素；盐含有可溶质；金属含有水银质。直到19世纪，热还被看成是一种叫作热素的质，当物体获得热时，就得到了热素；失去热时，就失去了热素。
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亚里士多德学派试图根据物体所含有的质或者基本物质来给物体归类，因而它们的主要目标之一就是归类，这种方法在生物学中仍是基本的。为解释一个事件如何引起另一个事件，亚里士多德学派构造了一种精致的方案，其中所有的现象都因四种原因而发生：质料因、形式因、作用因和终极因。为区分这些原因，我们来考虑一个艺术家做雕像。质料因是石头和艺术家的工具；形式因是艺术家头脑中的设计；作用因是艺术家在雕琢石头；终极因是雕像在美化房间或建筑中的目的。终极因或目的因是最重要的，因为它赋予整个活动以意义。在这一方案中，数学在哪里？因为对古希腊人来说大部分数学是几何学，而几何学研究的是图形，数学主要在描述形式因时有用，而这是相当有限的作用。
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亚里士多德学派研究自然的方法在中世纪和文艺复兴时期能占统治地位有几个原因。亚里士多德的著作包罗广泛，比其他希腊人的著作传播更广。更重要的原因是，亚里士多德关于终极因的理论为天主教神学所采纳和支持。对地球上的人类生活的解释是，它为我们走向天国作准备；教会普遍解释地球上的现象是为上帝的意图服务。
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尽管我们在这里没有必要追踪文艺复兴的历史，但我们可以肯定地说，到1600年毫无疑问欧洲科学家为数学在研究自然中的重要性所影响。最强的证据就是，为了一个在当时只有数学上的优点的理论，哥白尼和开普勒就愿意推翻旧的天文学、力学和宗教教义。
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为什么起始于17世纪的科学活动结果证明是有效的？那些作出贡献的人如笛卡儿、伽利略、牛顿、惠更斯和莱布尼茨比古代文明中的科学家智力更高吗？很难说。是因为越来越多地采用观察、实验和归纳这些罗杰·培根和弗兰西斯·培根所倡导的方法吗？显然不是。求助于观察和实验在文艺复兴时期可能是一项革新，但这种研究方法古希腊科学家至少是熟悉的。仅仅是数学在科学研究活动中的运用也不能解释现代科学的惊人成就。尽管17世纪的科学家知道他们工作的目标就是寻找出各种各样现象背后的数学关系，但对于科学活动来说探求自然界的数学关系并不是什么新鲜事。
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如果只是遵循古代文明的足迹，大概就不会有现代科学的惊人成功以及导源于17世纪及后来的科学的创造新数学的巨大动力。在17世纪，笛卡儿和伽利略改革并重新表述了科学活动的本性。他们选择了科学应该运用的概念，重新定义了科学活动的目标，改变了科学的方法论。他们的重新表述不仅给予了科学前所未有的力量，而且将科学牢牢地与数学捆在一起。事实上，他们的方案几乎将理论科学还原为数学。为理解从17世纪以来推动数学的精神，我们必须首先考察笛卡儿的观念。
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当笛卡儿在位于弗莱舍（La Flèche）的学校读书时，就开始思考人类怎么会宣称知道那么多真理。部分是因为他有一颗批判性的头脑，部分是因为他生活在一个统治欧洲上千年的世界观正受到激烈挑战的时代，对于教师和教派领袖强烈、教条式地宣布的信条，笛卡儿不能再满足了。当他意识到他是进了一所欧洲最有名的学校之一，并且并不是一个低能的学生时，就感到更有理由持怀疑态度。在学完课程后，他得出的结论是，哪里也没有确定的知识体系。他所受的教育只是使他发现了人类的无知。
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应该承认，他的确认识到通常类型的学习中有一些价值。他承认雄辩术有无与伦比的力量和美，诗歌有销魂的优雅与狂喜，但是他认为这些是天赋而不是通过学习得来的。他敬重神学因为它指出了通向天国之路，他自己也想到天国里去。但是“因为确定地习于这样理解：通往天国之路对于无知的人像对于有学问的人一样畅通，并且导向天国的天启真理超出了我们的领悟能力”，他不敢擅自将这些真理放在他无能的理性下来考察。他承认哲学“提供了貌似握有真理地谈论所有事情的手段，博得了头脑简单之人的赞赏”，然而（迄今）它没有产生任何不容置疑的东西。在批评了其他的学问，包括法学、医学和道德学以后，笛卡儿发现只有数学才是通向真理的可靠道路。
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笛卡儿明确表示他相信数学是科学的精髓。他写道：“除了几何学或抽象数学中的原理外，他不承认也不希望有任何物理学原理，因为用这些原理就可以解释自然界的所有现象，有些现象还可以证明。”客观世界是空间的充实或几何学的具体化，因而其性质可以从几何学的第一原理推导出。
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