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尽管笛卡儿的哲学和科学信条颠覆了亚里士多德主义和经院哲学，在一个基本的方面他仍是一个经院哲学家，因为他从自己的头脑中抽出关于存在和实在本质的命题。他相信先验真理的存在，智力能利用自己的力量达到关于一切事物的完美知识。这样他在先验推理的基础上陈述运动定律。然而他的确宣布了一种普遍系统的哲学，这种哲学击破了经院哲学根据地，开通了、思想的新渠道。通过将自然现象还原为纯粹物理的事件，他对驱除科学中的神秘主义和超自然力作了很多贡献。此外，因为他用大胆和创新的概念和方法与他那个时代的几乎所有科学难题格斗过，他激励了其他人去创造新的科学理论。笛卡儿的著作在17世纪后半期影响特别大。他的演绎和系统的哲学使同时代人尤其是牛顿认识到运动的重要性。对笛卡儿哲学进行解释的精装书装饰了小姐贵妇的梳妆台。
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我们这里的目的不是详细阐述笛卡儿遵循的哲学道路，不管这是多么有研究价值。与我们的主题有关的是，数学真理和数学方法是如何在17世纪的思想混乱中引导了一个伟大的思想家摸索道路。他的哲学确实可以描述为数学化的哲学。它远远不像中世纪和文艺复兴时期笛卡儿的先驱的哲学那样神秘、形而上和神学化，而是远为理性。通过仔细考察他的数学步骤中包括的意义和推理，笛卡儿教导我们在我们自身中寻找真理，而不再做古人和权威的学生。在笛卡儿身上，神学和哲学分道扬镳了。
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我们已经讨论过作为日心说捍卫者的伽利略。他也提出了一种关于科学的哲学，大部分与笛卡儿的哲学一致，但是结果证明更为彻底，是更为有效的程序。伽利略阅读自然之书的宏大计划提出了关于科学目标和数学在达到这些目标中的作用的全新的概念。是伽利略研究和征服自然的计划开创了现代数学物理学。
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我们还不清楚是什么导致伽利略提出关于科学方法论的革命性的观念。他知道托勒密称他的地心说只是数学方案，他知道哥白尼引用数学简单性来为他的日心说辩护（开普勒也是这样，不过伽利略忽视了开普勒的工作）。伽利略赞同哥白尼和托勒密的观点——世界是根据数学设计的。在他现在很著名的书《恒星使者》（Sidereal Messenger, 1610）中，他写道：
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哲学（自然）写在永远展现在我们眼前的大书上。我是指宇宙，但是如果不首先学习写这本书所用的语言、不掌握所用的符号，我们就不能理解它。这本书是用数学语言来写的，符号就是三角形、圆形和其他的数学图形，没有它们的帮助，人类就不可能理解书中的一个字，只能徒劳地在黑暗的迷宫中漫游。
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大自然是简单而有秩序的，它的行为是有规则的而且是必然的。它按照完美而不变的数学规律活动。神的理性是大自然中的合理性之源。上帝将严格的数学必然性放进这个世界中，而人类，尽管其理性和上帝的理性相关，却只有通过艰苦努力才能掌握。因而数学知识不仅是绝对真理，而且像圣经中的任何一行一样神圣不可侵犯。事实上，数学更为优越，因为关于圣经有许多不同意见，而关于数学真理却不可能有不同意见。此外，研究自然像研究圣经一样虔敬：“上帝在大自然的活动中向我们展示他自身和在圣经的神圣措辞中展示自身一样令人敬仰。”
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尽管笛卡儿向着发现运动规律迈进了一步，他并没有直接面对日心说的引入所提出的问题。在这个理论中，地球既自转又围绕太阳公转。那么为什么物体和地球一起运动？如果说地球不再是宇宙的中心，那么为什么落下的物体还落向地球？此外，所有的运动，例如抛体运动的发生似乎和地球静止时一样。需要新的运动原理来解释这些地球上的现象。
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为伽利略所提出并为后继者所遵循的有胆识的新方案就是，获取对于科学现象的量的描述，而不依赖于任何物理解释。伽利略的方案可用一个例子来说明。一个球从一人手中落下，在这样一个简单的情形中人们可能会对球为什么落下作无穷无尽的思辨。伽利略建议我们作另外的事情。从球落下的瞬间起，随着时间的过去，球从起始点落下的距离不断增加。用数学的语言来说，球落下的距离和落下所用的时间叫作变量，因为两者都随着球的下落而变化。伽利略寻求这些变量之间的数学关系。他所得到的答案如今是用那种叫做公式的数学速记法写成。就我们的例子来说，这个公式就是d＝16t2。这个公式表明，在t秒钟内落下的英尺数（d）是秒数平方的16倍。例如在3秒钟内球下落16×32即144英尺；在4秒内球下落16×42即256英尺，如此等等。
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请注意这个公式是简洁的、精确的并且在量上是完整的。公式d＝16t2关于球为什么落下什么也没说。它只是关于球怎样落下给出了量的信息。更进一步，尽管这样的公式是用来联结科学家猜想是有因果联系的变量，真实的情形是，他为了成功研究这种情况，不需要探究或理解因果联系。当伽利略强调数学描述而反对对自然界作不那么成功的质的和因果的探究时，他对于这个事实是看得很清楚的。
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因而，是伽利略寻找数学公式的决断描述了自然界的行为。像许多天才的思想一样，这种思想初看可能不会给人留下深刻印象。这些质朴的数学公式似乎没有真正的价值。它们什么也没解释，只是用精确的语言描述。然而这样的公式已证明是人类所获得的关于自然的最有价值的知识。我们将看到，现代科学的惊人的实践和理论成果主要是通过量化的、描述的知识获得的，而不是通过对于现象的原因作形而上学的、神学的甚至机械的解释。
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伽利略在他的《关于两种新科学的讨论和数学证明》（Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences, 1638）中说道：“落体运动的加速度的原因不是研究中的必要部分。”他指出，他将研究和证明运动的性质而对原因不加考虑。建设性的科学探索必须和关于最终原因的问题分开，必须抛弃关于物理原因的思辨。伽利略也学会这样劝诫科学家们：你们的事不是推断为什么，而是量化。
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对于伽利略的这种思想的第一反应可能是否定的。用公式描述自然现象似乎只是第一步。似乎是亚里士多德真正领悟了科学的真正功能，即我们应该对于现象发生的原因作物理的解释。即使笛卡儿也反对伽利略寻求描述公式的决断：“伽利略关于物体在空间中的下落所说的一切都没有可靠的基础；他本应该首先确定重量的本性。”而且，笛卡儿说道，伽利略应该反思终极的理由。然而，根据后来的发展，我们现在知道了，伽利略寻求描述的决断是关于科学方法论的最深刻、最有成效的思想。其意义后来更明显了，即他将科学直截了当地放进了数学的领域。
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寻求描述现象的公式的决断引起了这样的问题：“哪些量应该由公式联结？”一个公式联结的是变化的物理存在的数值，因而必须度量这些存在。伽利略遵循的下一个原则就是，度量那些可度量的，并把那些还不可度量的变成可度量的。这样他的问题就变成了，将自然现象中那些基本的能被度量的侧面分离出来。
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笛卡儿已经专注于在空间和时间中运动的物质，将它们作为自然界的基本现象。因而伽利略试图将运动的物质的可度量、可由数学规律联结的特征分离出来。通过分析和反思自然现象，他决定集中研究这些概念：空间、时间、重量、速度、加速度、惯性、力和动量。在选择这些性质和概念时，伽利略又一次显露了他的天才，因为他所选择的并不能直接认出是最重要的，也不是容易测量的。有一些，例如惯性，并不能明显看出是物质所拥有的，其存在不得不从观察中推断出。另一些，例如动量，是造出来的。不管怎么说这些概念结果证明在解释自然界的秘密时是最有意义的。
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伽利略科学研究方法中的另一个要素后来证明也同样重要。科学需要将数学模型作为模式。伽利略和他的直接后继者确信他们能发现一些关于物理世界的规律，这些规律像欧几里得的几何学公理“通过两点可以画一直线”一样确定无疑。也许静观、实验或观察能提示这样的物理学公理。不管怎么说，这些公理一旦发现了，其真理性在直觉上是明显的。在这方面和笛卡儿一样，有了这些基础性的直觉，伽利略希望，严格地像从欧几里得公理推出定理一样，推导出一些其他的真理。
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然而，在获取第一原理的方法这一方面，伽利略彻底背离了古希腊人、中世纪的人甚至笛卡儿。伽利略以前的人和笛卡儿相信心智提供了基本的原理。对于任何现象，心智只需要想一想，就能立即认出基础性的真理，正如数学中所证明的那样。在思考数或几何图形时，像“相等数加相等数得出相等的数”、“两点决定一条直线”这样的公理马上会自己显露出来，是不容置疑的真理。古希腊人发现一些物理原理同样有吸引力。宇宙中万物应该有一个自然的位置，这只是适宜而已。静止状态很明显比运动状态更自然。因为天体是完美的，以固定的周期重复运动，而且因为圆是允许重复运动的完美的曲线，很明显天体必然作圆周运动，或者最差其运动也是圆的组合。看来同样不容置疑的是，为使物体开始运动并保持运动，必须施加力。相信心智提供了基本原理，并不是否认观察可能进入获得这些原理的过程。然而观察只是唤起了这些正确的原理，正如看见一张熟悉的脸会使头脑想起关于这人的事情。
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伽利略强调，获得正确的基本原理的方法是关注自然所说的而不是心智所喜欢的。他公开批评这样的科学家和哲学家，他们接受那些符合他们关于自然必然怎样行为的预想的观念的规律，并不是自然先造了人的头脑，然后再这样安排世界以使它可被人的智力所接受。对于重复亚里士多德并争论他著作的意思的那些走不出中世纪传统的人，伽利略批评说，知识来源于观察而不是书本。争论亚里士多德的语词是没有意义的。他称这样做的人为纸上的科学家，幻想科学可以像《埃涅阿斯纪》（Aeneid）或《奥德赛》（Odyssey）那样来研究，或者可以通过校勘文本来研究。自然按照其所喜欢的来造物，而让人的理性尽最大努力来理解她。“当我们让自然权威的命令不起作用时，……，大自然才不管她深奥的理性和操作方法是否能为人的能力所及。”
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许多伽利略的先驱也做过这样的批评。莱奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）曾说过起始于思想并终止于思想的科学并不能得出真理，因为没有经验进入这些思考，仅仅思考什么也不能确定。“如果你不依赖于大自然的坚实基础，你的劳作将很少获誉、很少获益。”伽利略的同时代人弗兰西斯·培根高声提倡排除占据人的头脑阻止人们看见真理的各种偶像。然而，在伽利略之前，利用经验来获得基本原理只是在摸索阶段，没有确定的方向。
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然而作为一个现代人笛卡儿却不承认伽利略依赖于实验之明智。他说感觉事实只能导致幻觉。而理性能够穿透这些幻觉。从头脑所提供的内在的普遍原理中我们能够推导出自然现象并理解它们。在笛卡儿的许多科学工作中他做实验，要求理论符合事实，但在其哲学中笛卡儿仍然维系在头脑的真理上。
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尽管伽利略做实验目的明确并且结果很有说服力，但我们不能得出结论说：实验是大规模地进行，变成了科学中新的具有决定性的力量。直到19世纪情形才是这样。当然17世纪有一些著名的实验科学家：物理学家罗伯特·胡克、化学家罗伯特·波义耳、数学家物理学家克利斯提安·惠更斯，更不用说伽利略本人和以萨克·牛顿勋爵。就实验来说伽利略只是一个过渡性人物，并不是如人们所称道的那样是一个实验科学家。他相信几个判决性的实验和敏锐的观察就可以很容易产生正确的基本原理。甚至牛顿也是这样。牛顿强调说他依赖于数学，他做实验主要是为了使他的结果在物理上可理解并使“俗人”信服。伽利略的许多所谓的实验其实是“思想实验”。也就是说，他利用经验去想象如果做一个实验会产生什么样的结果，然后就确信地得出推论，似乎他实际上已做了实验。他在其著作中描述了他从未做过的实验。尽管哥白尼所留下的日心说并没有很好地与观测符合，他还是支持它。在描述在斜面上运动的实验时，伽利略并没有给出实际的数据，而是说就他那时可用的低劣的钟表来说，实验结果与理论符合的精确度是可信的。从大自然中得出的几个基本原理和很多数学推理构成了伽利略的方法。在《关于两大世界体系的对话》中，当他描述从运动的船的桅杆落下的球的运动时，其中的一个人物辛普里丘问他有没有做过实验。伽利略回答说：“没有，我不需要实验，无需经验我就能确信它就是这样，因为它不能是其他的样子。”他说他事实上很少做实验，做实验主要是为了反驳那些不遵循数学方法的人。
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伽利略的确有一些关于自然的预想，这使他确信几个实验就够了。例如当他研究加速度运动时，他设定的最简单的原理是，在相等的时间内速度的增加相等。他称之为匀加速运动。这样对于伽利略来说，科学事业中演绎的数学部分比实验部分起的作用要大。从单一的原理中流出丰富的定理，比发现这个原理本身更能使他感到自豪。这样我们就看出了一个模式：塑造了现代科学的科学家——包括笛卡儿、伽利略、惠更斯、牛顿，还包括哥白尼和开普勒——是以数学家的方式来研究自然，在普遍的方法和具体研究中都是这样。他们主要是思辨型思想家，期望通过直觉或关键性的观察和实验来抓住深广而且简单清楚的不变的数学原理，然后期望从这些基本真理中推导出新的定律，完全像在数学中建立几何学那样。演绎推理构成了科学活动的大部分，整个思想体系要这样推出。
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伽利略预期只是几个实验就够了，这一点很容易理解。因为这些人相信大自然是根据数学设计的，在他们看来没有理由不像数学家研究数学问题那样来研究科学问题。正如约翰·赫曼·蓝道（John Herman Randall）在其《现代精神的形成》（The Making of the Modern Mind）中所说：
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科学产生于对大自然进行数学解释的信念。……现代科学以自然哲学的身份兴起，并且以这个名称为人所知。这里包括哲学一词并不仅仅是偶然的，实际上描述了所用的方法。这是本质上依赖于理性的思想家所用的方法，在科学中，是依赖于作为理性的主要工具的数学原理和步骤。
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不管怎么说，伽利略关于物理原理必须建立在经验和实验基础上的思想是革命性的、决定性的。伽利略本人毫不怀疑真实的原理——即上帝创造宇宙所用的——可以获得，但是通过打开了经验之门，一不留神让怀疑的魔鬼溜了进来。因为，如果科学的基本原理必须来源于经验，为什么数学公理不是这样？在1800年以前，这个问题并没有烦扰伽利略和他的后继者。直到那时数学还享有特权的地位。
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为到达现象的实质，伽利略提倡并实行了另一条原则，即理想化。他的意思是应该忽略一些琐屑的因素。这样，一个落向地面的球会遇到空气阻力，但只是落几百英尺空气阻力是微乎其微的，几乎在所有的情况下都可以忽略。同样，一个密实的物体有大小和形状，但在本质上可当作质点来处理；也就是说，可以把它所有质量看成都集中在一点上。他还忽略了与大小、形状、数量和运动等相对的第二性的性质，如味道、颜色和气味。也就是说他采纳了区分物质第一性质和第二性质的思想。他说道：
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