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他发现，如果空气的阻力忽略不计，所有落向地球表面的物体都有同样的恒定加速度a。也就是说，它们以相同的变化率，一秒钟内每秒32英尺增加速度，用符号来表示就是：
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如果物体是自己落下，也就是说，只是从手中放开它，它将以零速度开始运动。因而，在一秒钟后它的速度是每秒32英尺；两秒钟后其速度是32×2或64英尺／秒，以此类推。在t秒后其速度v是32t英尺／秒，用符号来表示：
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这个公式准确地告诉我们落体的速度如何随时间而增加。它还表明，物体下落时间越长，速度就越大。这是一个常见的事实，多数人都观察过，从高处落下的物体，撞击地面时其速度比从低处落下的物体要快。
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我们不能通过速度乘以时间来得出落体在给定的时间内下落的距离。只有速度恒定时这样才会得出正确的距离。然而，伽利略证明，对于在t秒时下落了d距离的物体来说，正确的公式是：
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其中d是物体在t秒钟内下落的英尺数。例如，在3秒钟时，物体下落了16×32即144英尺。
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将公式（3）两边同除以16，然后两边同取平方根，就得出物体下落给定距离d所需要的时间t的公式注意落体的质量没有出现在这个公式中。这样我们可以看出所有的物体落下给定的距离都需要同样的时间。这就是传说伽利略在比萨斜塔上让物体落下时所发现的。不管怎么说，人们还是觉得难以相信，让一块铅和一根羽毛在真空中从同样的高度下落时，会在同样的时间内到达地面。
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所有物体落向地球时拥有的加速度32英尺／秒2，是由地球引力产生的。当谈论地球表面附近的物体时，我们将施加在这些物体上的引力叫做重量。尽管伽利略没有将重量和质量联系起来，我们还是应注意，地球上任何物体的重量w总是其质量m的32倍，用符号表示就是：
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这样，物体的两种不同的性质，重量和质量，联结了起来：一个总是另一个的32倍。由于这种恒常的联系，我们易于混淆这两种性质，不过我们应该清楚它们之间的区别。质量是抵制速度或方向之改变的性质，而重量是地球对物体的吸引力。如果物体在一个水平平面上，平面抵消了这种吸引力。因而，考虑水平平面上的运动时，物体的重量不起作用。但是物体的质量还起作用。我们在后面的章节将看到，区分质量和重量是多么重要。
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强调数学的作用，从17世纪以降将其置于科学的前沿阵地，这一点我们应归功于深刻的、影响巨大的哲学家笛卡儿；然而是伽利略的方法论使人类能够揭示许多自然现象的行为模式，如果不用伽利略的方法，这些不会为人所知。
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我们还可以讨论伽利略更多的具体数学成就，例如他对抛体运动的数学描述，但是我们主要关注其研究中的方法论。
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随着1638年其《关于两种新科学的讨论和数学证明》的发表，伽利略使现代物理科学驶向了数学的航道，奠定了现代力学的基础，并为所有现代科学思想树立了典范。我们将看到，牛顿继承了伽利略的方法论，无与伦比地展示了其有效性。
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数学与知识的探求 第6章 数学与引力的奥秘
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我还没有从现象中发现引力的这些性质的原因，我不构造任何假说……知道这些就够了：引力的确存在，并按照我所说明的规律起作用；而且引力足以解释天体的所有运动。
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牛顿
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1642年，就是伽利略去世的那一年，在一个偏僻的英国村落的农场中，一位新寡的妇人生出了一个脆弱的早产儿。出身如此卑微，身体如此脆弱以至生命岌岌可危，但以萨克·牛顿竟活到八十五岁，并获得了人类的最高声誉。我们将见到，牛顿本质上用的是伽利略的方法，他继承伽利略未竟的事业。正如艾尔弗雷德·诺斯·怀特海曾说过的：“伽利略发动攻击而牛顿大获全胜。”
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除了对机械装置的强烈兴趣外，青年时期的牛顿并没表现出成大器的特别迹象。只是因为他对农作不感兴趣，他母亲送他去了剑桥大学，他于1661年进了三一学院。在那里他有机会研读笛卡儿、哥白尼、开普勒和伽利略的著作，并有机会聆听著名数学家以萨克·班柔的讲课，尽管有这些优越条件，牛顿似乎获益很少。他甚至几何学很差，曾一度差点将主攻方向从自然哲学转到法律去。四年的本科学习结束了，他还是像刚入学时一样不起眼。
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就在那时伦敦周围爆发瘟疫，剑桥大学关门。牛顿在宁静的家乡伍兹骚普度过了1665年和1666年。就在这个时期牛顿开始了他在力学、数学和光学中的伟大创造。他意识到引力定律（我们马上会讨论）是普遍的力学学科之关键；他获得了一种处理微积分问题的通用方法；通过做实验他做出了划时代的发现：白光如太阳光实际上是由从紫到红所有有色光组成。牛顿后来说道：“所有这些都是在流行瘟疫的1665和1666年做出的。在那些日子里我正当创造发明之盛年，比后来的任何时期更关心数学和哲学（科学）。”