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渐渐地，数学家们开始接近对于欧几里得平行公理之地位的正确理解。在其1763年的博士论文中，后来成为海姆斯达特大学教授的格尔奥格·S·克吕格尔（Georg S. Klügel, 1739—1812）作出了一个杰出的评论：人们接受欧几里得平行公理之为真的确定性是基于经验。这一评论第一次引入了这样的思想：是经验而不是自明性支持这条公理。克吕格尔对于欧几里得断言能被证明表示怀疑。此外，他还意识到萨克里没有得出矛盾，而只是得出了奇怪的结果。
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克吕格尔的论文启发约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728—1777）继续研究平行公理。在其著于1766出版于1786的书《论平行》（Theorie der Parallellinien）中，有点类似萨克里，兰伯特考虑了两种必须择一的可能性。他也发现，假设没有通过P平行于l的直线会得出矛盾（图33）,然而，他没有断定假设至少有两条平行于l的直线通过P会得出矛盾。更进一步，他意识到任何一组不导致矛盾的假说都提供了一种可能的几何学。这样的一种几何学将会是逻辑上有效的结构，即使可能与物理形状关系不大。
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兰伯特和其他人如亚伯拉罕G·凯斯特纳（Abraham G. Kästner, 1719—1800）的成果值得强调一下。后者是格廷根大学的教授、高斯的老师。他们相信欧几里得平行公理不能根据欧几里得的其他九条公理证明出来，也就是说，它独立于欧几里得的其他公理。三者都认识到一种非欧几里得几何学的可能性——也就是说，这种几何学关于平行线的公理与欧几里得公理在本质上不同。
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致力于解决欧几里得平行公理所引起的问题的最杰出的数学家是卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss, 1777—1855）。高斯充分意识到试图确立欧几里得平行公理是徒劳的，因为这是哥廷根的常识。然而，直到1799年高斯仍然试图从其他似乎更真实的假设中推导出欧几里得平行公理，依然相信欧几里得几何学是关于物理空间的几何学，尽管他能够构想其他的合乎逻辑的非欧几何。1799年12月17日，高斯写信给他的朋友和同事沃尔夫冈·波尔约（Wolfgang Bolyai, 1775—1856）说：
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我在工作中已有所进展。然而我所选择的路径根本不会引向我们所追求的目标，而你对我言之凿凿你已到达这个目标。相反，我的工作似乎促使我怀疑几何学本身的真理性。的确，我已偶然得到了多数人会当成是［从其他的公理推导出欧几里得平行公理的］证明的许多东西，但在我看来这什么也没证明。
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自1813年以后，高斯就发展他的非欧几何学。起先他叫做反欧几里得几何学，后来又叫做超感觉世界几何学，最后才叫做非欧几里得几何学。他相信它是逻辑上自洽的，还相当肯定可用于物理世界。
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在1824年11月8日给他的朋友弗兰茨·阿道夫·陶里努斯（Franz Adolph Taurinus, 1794—1874）的一封信中，他写道：
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假定［三角形］内角之和小于180度导致了一种奇怪的几何学，非常相异于我们已有的［欧几里得几何学］，但完全自洽，我已经将其推展阐明到完全满意了。这种几何学的定理看起来是悖论，对于没入其道的人来说，是荒谬的，然而静心沉思表明它们绝没有包含不可能的东西。
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我们将不讨论高斯所创非欧几何学的细节，他创始了，但没有写成充分的演绎表述，他所证明的定理与那些我们将在罗巴切夫斯基和波尔约的成果中遇到的非常类似。1829年1月27日在给数学家、天文学家弗里德里希·威尔海姆·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846）的信中他写道，他很可能永远不会出版在这个课题上的发现，因为他担心被讥笑，或者如他自己所说，他害怕比欧世恩人的叫嚣，这个比喻是指古希腊一个头脑迟钝的部落。我们应该记住，尽管几个数学家已逐渐接近非欧几何工作的尾声，广泛的知识界依然为欧氏几何是唯一可能的几何学这个信念所主导。对于高斯在非欧几何学中的工作我们所知道的是从下列材料中搜集的：给朋友的信中，《格廷根学报》1816年号和1822年号上的两篇短评，以及在他过世后留下的文档中发现的1831年笔记。
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因创造非欧几何声誉更盛的两个人是罗巴切夫斯基和波尔约。实际上，他们的工作只是先前创新观念的收场白，然而因为他们发表了系统推演的著作，通常受到喝彩，被称为非欧几何的创造者。俄国人尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobatchevsky, 1793—1856）受业于喀山大学，自1827年至1846年是那所大学的教授和院长。自1825年起，他在许多论文和两本书中发表了对于几何学之基础的观点。约翰·波尔约，沃尔夫冈·波尔约之子，是匈牙利军官。他的关于非欧几何（他叫做绝对几何学）的26页论文《绝对空间的科学》（The Science of Absolute Space），作为其父的两卷本著作《将好学青年引入纯粹数学原理之尝试》（Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheseos）第一卷的附录出版。尽管这部书在1832—1833年间面世，因而在罗巴切夫斯基发表的著作之后，波尔约似乎在1825年就构想出非欧几何的概念，并在那时相信新几何学并不自相矛盾。
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高斯、罗巴切夫斯基和波尔约已意识到根据其他九条公理不能证明欧几里得平行公理，而且为确立欧几里得几何还需要一些附加公理。因为平行公理是独立的，所以至少在逻辑上有可能采纳一条与它矛盾的陈述，并推展这套新公理的结果。
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这些人所创立的专业知识相当简单。我们不妨来看看罗巴切夫斯基的成果，因为三者大概上都作了同样的事情。罗巴切夫斯基有胆识地放弃欧几里得平行公理，而作了萨克里实际上已作出的假设。给定一直线AB和一点P（图34），则对于AB来说所有通过P的直线分成两类，即与AB相交的一类和与AB不相交的一类。更精确地说，如果P点到直线AB的垂直距离为a，那么存在这样一个锐角A，所有和垂直线PD所形成的角小于A的直线都将与AB相交。两条和直线AB所形成的角为A的直线为平行线，A叫作平行角。经过P点而与AB不相交的直线，除了那些平行线，其他的叫作非相交线。不过在欧氏几何中，这些也叫做平行线。从这种意义上说，在罗巴切夫斯基几何学中，经过P点有无穷数量的平行线。
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他接着证明了几个关键性的定理。如果角A等于π/2，那么欧几里得平行公理成立。如果角A是锐角，那么随着垂直线a减少到零，角A增加并接近π/2。此外，当a趋向无穷时，角A减少并接近零。三角形的角度之和总是小于180度，随着三角形面积的减少接近180度。并且，两个相似三角形必然全等。
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关于这种非欧几何学，最有意义的是它能像欧几里得几何同样准确地描述物理空间。欧氏几何并不是物理空间的必然的几何学，其物理上的真理性并没有一个先验的基础来保证。这种认识首先是由高斯得到的。这并不需要专业的数学发展，因为数学已发展到这一步。
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然而，没有人会很容易地产出财宝。很显然高斯反复考虑了数学的真理性这个问题，发现了可作为根基的岩石。在1817年写给海因里希·W·M·奥尔贝斯的一封信中，他说道：
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我越来越相信，欧几里得几何的物理必然性是不能证明的，至少不能由人类理性也不适合人类理性来证明。现在不行，也许在来生我们能获得对于空间之实质的洞察。在到达那一步之前，我们必须不将几何学放在纯粹先验的算术一类，而应该和力学放在一类。
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和康德不同，高斯并不认为力学定律是真理。相反，他和另外的一些人追随伽利略，相信这些定律是建立在经验基础上。高斯断言真理在算术中从而也在建立在算术基础上的代数和分析中，因为算术的真理对于我们的心智来说是清楚的。
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罗巴切夫斯基还考虑了他的几何学对于物理空间的应用，并给出了一个论证，证明能应用于非常大的几何形状。由此看来，到19世纪30年代，不仅非欧几何得到了承认，其应用于物理空间也被看成是可能的。
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在罗巴切夫斯基和波尔约的成果发表后长达30年左右的时间里，数学家们忽视了这种非欧几何，只是视为逻辑上的奇珍。一些数学家并不否认其逻辑连贯性。另有一些认为它必含有矛盾，因而是无价值的。几乎所有的数学家都坚持物理空间的几何学，那唯一的几何学，必是欧几里得式的。威廉·W·汉密尔顿（William R. Hamilton, 1805—1865），那个时代的杰出数学家之一，在1837年表示了他对非欧几何的反对：
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任何坦诚、有智性的人都不能怀疑平行线主要性质的真理性，这在两千年以前已由欧几里得在其《几何原本》中提出了，尽管这人有理由期望见到它得到更清楚、更好的方法之处理。这一信条并不包含思想的模糊或混乱之处，并没有在人的头脑中留下合理的怀疑根据，尽管在改进其论证结构的过程中，可以有效地发挥智巧。
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1883年在对于英国科学促进协会的主席演说中亚瑟·凯雷（Arthur Cayley, 1821—1895）也支持汉密尔顿的观点：
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我的观点是，以普雷夫埃的方式表达的欧几里得第十二公理（通常叫做第五公理或平行公理）并不需要证明，而是我们的空间观、我们经验中的物理空间之不可缺少的一部分。人们通过经验熟知了它，而它是所有外部经验的基础表象……倒不是几何学命题只是近似地真，对于欧氏空间来说它们是绝对地真，而很久以来欧氏空间被看成就是关于我们的经验的物理空间。
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