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费利克斯·克莱因（Felix Klein, 1849—1925），近代真正伟大的数学家之一，也表达了差不多同样的观点。尽管凯雷和克莱因自己也从事研究非欧几何学（我们将看到，有好几种），他们只是将其视为新奇的东西，当在欧几里得几何学中引进人为的新的距离函数时成立。他们拒绝承认非欧几何和欧氏几何同样根本、同样可应用。当然，在前相对论的时代，他们的观点是立得住的。
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不幸的是，数学家们抛弃了上帝，因而那位神圣的几何学家拒绝启示他用哪种几何学设计了宇宙。数学家们不得不利用自己的才智。有几种可供选择的几何学，这一事实本身就令人震惊。更剧烈的震惊是，人们不再能肯定，非欧几何是否最终可用于物理空间。
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选择一种适合物理空间的几何学这个问题，最初是由高斯的研究提出的。而这又激发了其他的发明创造，进一步促使数学界相信，物理空间的几何学可以是非欧几里得的。创造者是格尔奥格·伯恩哈特·黎曼（Georg Bernhard Riemann, 1826—1866）。他是高斯的学生，后来成为格廷根大学的教授。尽管黎曼不知道罗巴切夫斯基和波尔约的成果的细节，但高斯知道。黎曼当然知道高斯对于欧氏几何的真理性及其必然可应用性的怀疑。
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高斯引入了另一个革命性的观念，为黎曼耸人听闻的想法铺平了道路。通常我们将球面几何当作三维的欧氏几何学中的部分来研究，因而并没引入一些叛逆性的观念。但是设想将球面作为就其本身范围内的空间来考虑，来建立一种适合这个空间的几何学。正交坐标不能用了，因为这需要直线，而球面上不存在直线。有人可能想到利用经度和纬度作为点的坐标。下一步可能会想到确定从一点到另一点的最短路径。很快，由至智的数学家们所解释的经验导向了这样的结论：最短路径是经度线圆圈这样的大圆的弧，事实上，是任何圆心在地心的圆的圆弧。这些圆将是这种几何学中的“线”。继续研究这种球面上的几何学，会发现许多奇怪的定理。例如，由大圆的弧（即这种几何学中的线段）所组成的三角形，其内角和将大于180度。
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高斯在其著名的1827年论文中所提示者是这样的，如果我们将表面作为独立的空间来研究，那么适合这些表面的二维几何学将会很奇特，将取决于这些表面的形状。如此一来，椭球体的表面（大约是橄榄球的形状），将有一种不同于球体的几何学。
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平行“线”又会怎样呢？很显然，因为任何两个大圆相交不止一次而是两次，我们不得不有这样一条公理：任何两条“线”在两点相交。很清楚的是，球面几何学后来被承认为一种新的非欧几何学，叫作二重椭圆几何。对于地球表面来说这是自然的几何学，而且，它的的确确将与球体当作三维欧几里得几何学中的表面来研究同样合乎实际，至少同样方便。
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黎曼熟悉高斯的这些思想。黎曼为取得无薪讲师（格廷根大学的一种教职）资格需作演讲，高斯指示了几个可能的题目。黎曼选择作几何学的基础，于1854年对格廷根的哲学教师们作了这次演讲，当时高斯在场。这次演讲于1868年发表，题目是《论几何学基础中的假说》（On the Hypotheses Which Lie at the Foundation of Geometry）。
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黎曼所作的关于物理空间几何学的研究重新考虑关于空间结构的整个问题。黎曼首先提起这个问题：关于物理空间究竟什么是确定的？在我们根据经验来确定物理空间中成立的特定公理之前，我们在空间这个概念中预设了什么条件或者事实？他打算从这些被当作公理的条件或者事实出发，进一步推导出性质。这些公理及其逻辑结果会是先验的并必然是真的。而空间的任何其他性质则不得不从经验中习得。黎曼的目的之一是证明欧几里得的公理是经验性的而非自明的真理。他采取了分析的方法（即代数和微积分），因为在几何学证明中我们可能受知觉误导设定一些事实，而表面上看来却认不出它们是假设。
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黎曼对先验的探求将他引向了对空间的局部研究，因为其性质在不同的点可能不同。这种方法叫做微分几何法。这与在欧几里得几何或高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的非欧几何学中将空间作为一个整体来研究不同。
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黎曼的方法将他引向了根据两个典型点或者说非特殊点来定义距离，这些点对应的坐标只有无穷小量的差别。他称这个距离为ds。他设定在三维空间（尽管他考虑的是n维）中这一距离的平方是：
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其中gij是坐标x1，x2，x3的函数，gij＝gji，对于gij的所有可能的值，右边总是正的。这种对于ds的表达是对于欧几里得几何中的公式的推广：
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这本身就是毕达哥拉斯定理的微分形式。通过将gij作为坐标的函数，黎曼提供了这种可能：在不同的点空间的性质可变化。从这个公式出发，可以用微积分的方法推导出关于长度、面积、体积及其他性质的许多事实。
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在这篇演讲中，黎曼还有许多更有意义的论点。他补充道：“这个问题还有待于解决，即在什么范围内、在何种程度上这些关于空间的先验假说可由经验确证。”物理空间的性质只能通过经验获得。具体说来，欧几里得几何学中的公理对于物理空间来说可能只是近似真的。他用这个预言家式的论断结束了这篇论文：
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所以，或者空间背后的实在必形成一个离散的流形，或者我们必须在加于其上的约束力中寻求其外在的度量关系之根据。这将把我们引向科学即物理学的领域，而就我们今天的研究目的来说，就不论及了。
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在这里黎曼提示，真实空间的性质必须把发生在空间中的物理现象考虑在内。如果黎曼不是在40岁就去世了，可能会将这深刻的思想展开详述。
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这个论点由数学家威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford, 1854—1879）作了一些发展。克利福德相信，一些物理现象，是由空间曲率的变化引起的。曲率不仅在不同的地点有变化，而且随时间不同而不同，而这是物质运动的结果。空间与多山丘的地面类似，在这样的空间中，欧几里得几何学中的规律不再有效。对物理定律的更严格的研究不能忽略空间中的这些山丘。
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克利福德在1870年写道：
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事实上我坚持：1）空间分成的小部分在性质上类似于平均说来是平的表面上的小山丘。2）这种弯曲或扭曲的性质持续地以波的方式从空间的一部分传到另一部分。3）这种空间曲率的变化实际上就是在那种我们叫作物质运动的现象中所发生的，不管这种物质是重的还是轻的。4）在这个物理空间中除了这种变化并无其他发生，这种变化可能遵循连续性定律。
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克利福德还提出了这种可能：引力效应可能是由空间曲率引起的，但当时的空间度量还不能确证他的想法。的确，尽管这种观点很精彩，还须等待爱因斯坦的研究。
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如果我们考虑多山地区地球表面的自然几何学，黎曼和克利福德所提出的观点就变得更容易理解了。在这样一个地区的表面上，可能就没有直线。此外，在无论什么样的曲面上，两点之间的最短距离几乎永远不是直线。还有，这些最短路径，即短程线（geodesics），不必具有同样的形状。这些山中居民们可能会继续考虑三角形。也就是说，给定三点和连接这三点的短程弧，这些三角形将具有什么性质？很显然，这些性质将取决于由短程弧包围的地面的形状。有些三角形的内角之和可能远大于180度，而另一些可能远小于180度。毫无疑问这些人将得出一种非欧几何。这种几何学的一项重要性质就是其非同构性：即这种几何学中的图形的性质会随地点不同而不同，正如山地表面的形状随地点不同而不同。
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高斯去世后，在1955年他笔记中的材料可为人所用了，而这时他的声名无与伦比。黎曼1854年的论文于1865年发表，这使一些数学家相信一种非欧几何学可以作为物理空间的几何学，并且认为再也不能确定哪一种几何学是正确的。
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非欧几何学及其关于几何学之物理真实性的含义逐渐为数学家们所接受，但并不是因为对于其可应用性的论证以某种方式加强了。早在1900年代量子力学的奠基人马克斯·普朗克就给出了理由：“一种新科学理论的胜利并不是通过使对手信服、使他们看见真理，而是因为其对手最终死去，而熟悉新理论的一代长大了。”
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