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我们将不讨论高斯所创非欧几何学的细节，他创始了，但没有写成充分的演绎表述，他所证明的定理与那些我们将在罗巴切夫斯基和波尔约的成果中遇到的非常类似。1829年1月27日在给数学家、天文学家弗里德里希·威尔海姆·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846）的信中他写道，他很可能永远不会出版在这个课题上的发现，因为他担心被讥笑，或者如他自己所说，他害怕比欧世恩人的叫嚣，这个比喻是指古希腊一个头脑迟钝的部落。我们应该记住，尽管几个数学家已逐渐接近非欧几何工作的尾声，广泛的知识界依然为欧氏几何是唯一可能的几何学这个信念所主导。对于高斯在非欧几何学中的工作我们所知道的是从下列材料中搜集的：给朋友的信中，《格廷根学报》1816年号和1822年号上的两篇短评，以及在他过世后留下的文档中发现的1831年笔记。
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因创造非欧几何声誉更盛的两个人是罗巴切夫斯基和波尔约。实际上，他们的工作只是先前创新观念的收场白，然而因为他们发表了系统推演的著作，通常受到喝彩，被称为非欧几何的创造者。俄国人尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobatchevsky, 1793—1856）受业于喀山大学，自1827年至1846年是那所大学的教授和院长。自1825年起，他在许多论文和两本书中发表了对于几何学之基础的观点。约翰·波尔约，沃尔夫冈·波尔约之子，是匈牙利军官。他的关于非欧几何（他叫做绝对几何学）的26页论文《绝对空间的科学》（The Science of Absolute Space），作为其父的两卷本著作《将好学青年引入纯粹数学原理之尝试》（Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheseos）第一卷的附录出版。尽管这部书在1832—1833年间面世，因而在罗巴切夫斯基发表的著作之后，波尔约似乎在1825年就构想出非欧几何的概念，并在那时相信新几何学并不自相矛盾。
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高斯、罗巴切夫斯基和波尔约已意识到根据其他九条公理不能证明欧几里得平行公理，而且为确立欧几里得几何还需要一些附加公理。因为平行公理是独立的，所以至少在逻辑上有可能采纳一条与它矛盾的陈述，并推展这套新公理的结果。
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这些人所创立的专业知识相当简单。我们不妨来看看罗巴切夫斯基的成果，因为三者大概上都作了同样的事情。罗巴切夫斯基有胆识地放弃欧几里得平行公理，而作了萨克里实际上已作出的假设。给定一直线AB和一点P（图34），则对于AB来说所有通过P的直线分成两类，即与AB相交的一类和与AB不相交的一类。更精确地说，如果P点到直线AB的垂直距离为a，那么存在这样一个锐角A，所有和垂直线PD所形成的角小于A的直线都将与AB相交。两条和直线AB所形成的角为A的直线为平行线，A叫作平行角。经过P点而与AB不相交的直线，除了那些平行线，其他的叫作非相交线。不过在欧氏几何中，这些也叫做平行线。从这种意义上说，在罗巴切夫斯基几何学中，经过P点有无穷数量的平行线。
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图34
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他接着证明了几个关键性的定理。如果角A等于π/2，那么欧几里得平行公理成立。如果角A是锐角，那么随着垂直线a减少到零，角A增加并接近π/2。此外，当a趋向无穷时，角A减少并接近零。三角形的角度之和总是小于180度，随着三角形面积的减少接近180度。并且，两个相似三角形必然全等。
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关于这种非欧几何学，最有意义的是它能像欧几里得几何同样准确地描述物理空间。欧氏几何并不是物理空间的必然的几何学，其物理上的真理性并没有一个先验的基础来保证。这种认识首先是由高斯得到的。这并不需要专业的数学发展，因为数学已发展到这一步。
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然而，没有人会很容易地产出财宝。很显然高斯反复考虑了数学的真理性这个问题，发现了可作为根基的岩石。在1817年写给海因里希·W·M·奥尔贝斯的一封信中，他说道：
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我越来越相信，欧几里得几何的物理必然性是不能证明的，至少不能由人类理性也不适合人类理性来证明。现在不行，也许在来生我们能获得对于空间之实质的洞察。在到达那一步之前，我们必须不将几何学放在纯粹先验的算术一类，而应该和力学放在一类。
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和康德不同，高斯并不认为力学定律是真理。相反，他和另外的一些人追随伽利略，相信这些定律是建立在经验基础上。高斯断言真理在算术中从而也在建立在算术基础上的代数和分析中，因为算术的真理对于我们的心智来说是清楚的。
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罗巴切夫斯基还考虑了他的几何学对于物理空间的应用，并给出了一个论证，证明能应用于非常大的几何形状。由此看来，到19世纪30年代，不仅非欧几何得到了承认，其应用于物理空间也被看成是可能的。
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在罗巴切夫斯基和波尔约的成果发表后长达30年左右的时间里，数学家们忽视了这种非欧几何，只是视为逻辑上的奇珍。一些数学家并不否认其逻辑连贯性。另有一些认为它必含有矛盾，因而是无价值的。几乎所有的数学家都坚持物理空间的几何学，那唯一的几何学，必是欧几里得式的。威廉·W·汉密尔顿（William R. Hamilton, 1805—1865），那个时代的杰出数学家之一，在1837年表示了他对非欧几何的反对：
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任何坦诚、有智性的人都不能怀疑平行线主要性质的真理性，这在两千年以前已由欧几里得在其《几何原本》中提出了，尽管这人有理由期望见到它得到更清楚、更好的方法之处理。这一信条并不包含思想的模糊或混乱之处，并没有在人的头脑中留下合理的怀疑根据，尽管在改进其论证结构的过程中，可以有效地发挥智巧。
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1883年在对于英国科学促进协会的主席演说中亚瑟·凯雷（Arthur Cayley, 1821—1895）也支持汉密尔顿的观点：
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我的观点是，以普雷夫埃的方式表达的欧几里得第十二公理（通常叫做第五公理或平行公理）并不需要证明，而是我们的空间观、我们经验中的物理空间之不可缺少的一部分。人们通过经验熟知了它，而它是所有外部经验的基础表象……倒不是几何学命题只是近似地真，对于欧氏空间来说它们是绝对地真，而很久以来欧氏空间被看成就是关于我们的经验的物理空间。
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费利克斯·克莱因（Felix Klein, 1849—1925），近代真正伟大的数学家之一，也表达了差不多同样的观点。尽管凯雷和克莱因自己也从事研究非欧几何学（我们将看到，有好几种），他们只是将其视为新奇的东西，当在欧几里得几何学中引进人为的新的距离函数时成立。他们拒绝承认非欧几何和欧氏几何同样根本、同样可应用。当然，在前相对论的时代，他们的观点是立得住的。
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不幸的是，数学家们抛弃了上帝，因而那位神圣的几何学家拒绝启示他用哪种几何学设计了宇宙。数学家们不得不利用自己的才智。有几种可供选择的几何学，这一事实本身就令人震惊。更剧烈的震惊是，人们不再能肯定，非欧几何是否最终可用于物理空间。
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选择一种适合物理空间的几何学这个问题，最初是由高斯的研究提出的。而这又激发了其他的发明创造，进一步促使数学界相信，物理空间的几何学可以是非欧几里得的。创造者是格尔奥格·伯恩哈特·黎曼（Georg Bernhard Riemann, 1826—1866）。他是高斯的学生，后来成为格廷根大学的教授。尽管黎曼不知道罗巴切夫斯基和波尔约的成果的细节，但高斯知道。黎曼当然知道高斯对于欧氏几何的真理性及其必然可应用性的怀疑。
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高斯引入了另一个革命性的观念，为黎曼耸人听闻的想法铺平了道路。通常我们将球面几何当作三维的欧氏几何学中的部分来研究，因而并没引入一些叛逆性的观念。但是设想将球面作为就其本身范围内的空间来考虑，来建立一种适合这个空间的几何学。正交坐标不能用了，因为这需要直线，而球面上不存在直线。有人可能想到利用经度和纬度作为点的坐标。下一步可能会想到确定从一点到另一点的最短路径。很快，由至智的数学家们所解释的经验导向了这样的结论：最短路径是经度线圆圈这样的大圆的弧，事实上，是任何圆心在地心的圆的圆弧。这些圆将是这种几何学中的“线”。继续研究这种球面上的几何学，会发现许多奇怪的定理。例如，由大圆的弧（即这种几何学中的线段）所组成的三角形，其内角和将大于180度。
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高斯在其著名的1827年论文中所提示者是这样的，如果我们将表面作为独立的空间来研究，那么适合这些表面的二维几何学将会很奇特，将取决于这些表面的形状。如此一来，椭球体的表面（大约是橄榄球的形状），将有一种不同于球体的几何学。
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平行“线”又会怎样呢？很显然，因为任何两个大圆相交不止一次而是两次，我们不得不有这样一条公理：任何两条“线”在两点相交。很清楚的是，球面几何学后来被承认为一种新的非欧几何学，叫作二重椭圆几何。对于地球表面来说这是自然的几何学，而且，它的的确确将与球体当作三维欧几里得几何学中的表面来研究同样合乎实际，至少同样方便。
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黎曼熟悉高斯的这些思想。黎曼为取得无薪讲师（格廷根大学的一种教职）资格需作演讲，高斯指示了几个可能的题目。黎曼选择作几何学的基础，于1854年对格廷根的哲学教师们作了这次演讲，当时高斯在场。这次演讲于1868年发表，题目是《论几何学基础中的假说》（On the Hypotheses Which Lie at the Foundation of Geometry）。
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黎曼所作的关于物理空间几何学的研究重新考虑关于空间结构的整个问题。黎曼首先提起这个问题：关于物理空间究竟什么是确定的？在我们根据经验来确定物理空间中成立的特定公理之前，我们在空间这个概念中预设了什么条件或者事实？他打算从这些被当作公理的条件或者事实出发，进一步推导出性质。这些公理及其逻辑结果会是先验的并必然是真的。而空间的任何其他性质则不得不从经验中习得。黎曼的目的之一是证明欧几里得的公理是经验性的而非自明的真理。他采取了分析的方法（即代数和微积分），因为在几何学证明中我们可能受知觉误导设定一些事实，而表面上看来却认不出它们是假设。
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黎曼对先验的探求将他引向了对空间的局部研究，因为其性质在不同的点可能不同。这种方法叫做微分几何法。这与在欧几里得几何或高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的非欧几何学中将空间作为一个整体来研究不同。