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黎曼的方法将他引向了根据两个典型点或者说非特殊点来定义距离，这些点对应的坐标只有无穷小量的差别。他称这个距离为ds。他设定在三维空间（尽管他考虑的是n维）中这一距离的平方是：
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其中gij是坐标x1，x2，x3的函数，gij＝gji，对于gij的所有可能的值，右边总是正的。这种对于ds的表达是对于欧几里得几何中的公式的推广：
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这本身就是毕达哥拉斯定理的微分形式。通过将gij作为坐标的函数，黎曼提供了这种可能：在不同的点空间的性质可变化。从这个公式出发，可以用微积分的方法推导出关于长度、面积、体积及其他性质的许多事实。
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在这篇演讲中，黎曼还有许多更有意义的论点。他补充道：“这个问题还有待于解决，即在什么范围内、在何种程度上这些关于空间的先验假说可由经验确证。”物理空间的性质只能通过经验获得。具体说来，欧几里得几何学中的公理对于物理空间来说可能只是近似真的。他用这个预言家式的论断结束了这篇论文：
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所以，或者空间背后的实在必形成一个离散的流形，或者我们必须在加于其上的约束力中寻求其外在的度量关系之根据。这将把我们引向科学即物理学的领域，而就我们今天的研究目的来说，就不论及了。
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在这里黎曼提示，真实空间的性质必须把发生在空间中的物理现象考虑在内。如果黎曼不是在40岁就去世了，可能会将这深刻的思想展开详述。
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这个论点由数学家威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford, 1854—1879）作了一些发展。克利福德相信，一些物理现象，是由空间曲率的变化引起的。曲率不仅在不同的地点有变化，而且随时间不同而不同，而这是物质运动的结果。空间与多山丘的地面类似，在这样的空间中，欧几里得几何学中的规律不再有效。对物理定律的更严格的研究不能忽略空间中的这些山丘。
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克利福德在1870年写道：
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事实上我坚持：1）空间分成的小部分在性质上类似于平均说来是平的表面上的小山丘。2）这种弯曲或扭曲的性质持续地以波的方式从空间的一部分传到另一部分。3）这种空间曲率的变化实际上就是在那种我们叫作物质运动的现象中所发生的，不管这种物质是重的还是轻的。4）在这个物理空间中除了这种变化并无其他发生，这种变化可能遵循连续性定律。
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克利福德还提出了这种可能：引力效应可能是由空间曲率引起的，但当时的空间度量还不能确证他的想法。的确，尽管这种观点很精彩，还须等待爱因斯坦的研究。
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如果我们考虑多山地区地球表面的自然几何学，黎曼和克利福德所提出的观点就变得更容易理解了。在这样一个地区的表面上，可能就没有直线。此外，在无论什么样的曲面上，两点之间的最短距离几乎永远不是直线。还有，这些最短路径，即短程线（geodesics），不必具有同样的形状。这些山中居民们可能会继续考虑三角形。也就是说，给定三点和连接这三点的短程弧，这些三角形将具有什么性质？很显然，这些性质将取决于由短程弧包围的地面的形状。有些三角形的内角之和可能远大于180度，而另一些可能远小于180度。毫无疑问这些人将得出一种非欧几何。这种几何学的一项重要性质就是其非同构性：即这种几何学中的图形的性质会随地点不同而不同，正如山地表面的形状随地点不同而不同。
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高斯去世后，在1955年他笔记中的材料可为人所用了，而这时他的声名无与伦比。黎曼1854年的论文于1865年发表，这使一些数学家相信一种非欧几何学可以作为物理空间的几何学，并且认为再也不能确定哪一种几何学是正确的。
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非欧几何学及其关于几何学之物理真实性的含义逐渐为数学家们所接受，但并不是因为对于其可应用性的论证以某种方式加强了。早在1900年代量子力学的奠基人马克斯·普朗克就给出了理由：“一种新科学理论的胜利并不是通过使对手信服、使他们看见真理，而是因为其对手最终死去，而熟悉新理论的一代长大了。”
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我们上面一直在讨论数学家们如何为物理空间的几何学而烦恼。另一个问题开始困扰19世纪的数学物理学家。在18和19世纪的科学思想中一个根深蒂固的假设就是引力之存在。根据牛顿第一运动定律，如果不受外力作用，静止的物体将保持静止，运动的物体将持续以恒定的速度沿直线运动。因而，如果没有引力，握在手中的球只是被释放时将保持悬停在空中。同理，如果没有引力，行星将沿直线射向太空。而这种奇怪的现象从来没有发生过。宇宙运作时似乎有一种引力。
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尽管牛顿证明了同样的量的定律适用于受引力作用的所有地上和天上的效应，却从来没有人理解引力的物理性质。太阳离地球93百万英里之遥，它是怎样向地球施加引力的？地球是怎样对其表面附近各种各样的物体施加引力的？虽然没有对于这些问题的答案，物理学家也没有感到困惑不安。引力是一个如此有用的概念，他们满足于接受其为物理上真实的力。的确，如果不是因为1880年左右出现的其他更紧迫的问题和困难，物理学家在引力问题上的自我满足也许还不会被扰动。
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由于引入引力而引起的另一个问题也被平静地推到一边。任何物体拥有两种有明显区别的性质：质量和重量。质量是物体对其速度或运动方向之改变的抵抗。而重量是地球吸引一物体的力。在牛顿理论中物体的质量是常量，而重量取决于物体离地球中心的距离。在地心，物体质量不变而重量为零。在月球表面上，质量还是一样的，但是月球的吸引只是地球的八十分之一，不过到引力中心的距离只是在地球表面上的四分之一。鉴于在引力定律中的平方反比律（第6章），月球对其表面上的物体的吸引是地球的16倍。两种效应的总的结果就是，物体在月球上的重量是地球上的1/80×16，即五分之一。宇航员在太空船上和在地球上具有同样的质量，但在那上面没有重量。
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虽然物质的这两种性质是有区别的，但在一给定地点两者的比例总是一样的。这一事实就像是在每年煤产量和小麦产量的比例都严格相同一样令人惊奇。如果煤产量和小麦产量实际上就是这样关联的，我们就应该在这个国家的经济结构中寻求解释。同样，也需要解释重量对质量的恒定比例。在爱因斯坦之前，还没人找到解释。
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在我们考察爱因斯坦的成果之前还需提及另一个物理学假设。解释光的本性的企图可追溯到古希腊时期。具体说来，自19世纪早期以来，普遍接受的关于光的观念是将它看作是波动，像声波一样。因为在没有媒介来负载波的情况下想象波的运动是不可能的，科学家就推断道必有一种媒介来负载光。然而没有证据表明光从遥远的星星或从太阳上传来所经过的空间含有任何物质实体来传播波。因而，科学家假设一种新的“实体”以太的存在，它不可视、不可尝、不可嗅、不可称量，也不可触摸。此外，以太还得是一种固定的媒体，弥漫整个太空，地球和其他天体在其中运动像在真空中一样自由。如此一来，假定以太拥有的性质是互相矛盾的（见第7章）。
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尽管19世纪后期物理学的基础中有许多可疑且不得理解的假设，任何时代的任何科学家群体都没有像他们那样深信已发现了宇宙的规律。19世纪是乐观的；19世纪是极度自信的。200年的部分成功冲昏了科学家和哲学家的头脑，宣称牛顿运动定律和万有引力定律是思想和纯粹理性的规律的直接结果。假设这个词没有出现在科学文献中，尽管牛顿曾经明确表示过，引力和以太概念是假设，并且是一点也没有在物理上得到理解的假设。尽管如此，对于牛顿来说不可思议的东西对于19世纪后期来说却是不可思议的成就。
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【1】 在本书作者的《数学：确定性的丧失》（Mathematics: The Loss of Certainty，牛津大学出版社，1980）中可以找到对这段历史的叙述。
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