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接下来我们来考虑麦克斯韦方程组。在19世纪结束时，人们相信同样的偏微分方程在伽利略参考系中成立。如此一来似乎在电磁学中和在牛顿力学中情形相同。然而，这一信念导致了矛盾。若定律在参考系K中成立，为得出在K′中成立的定律，我们对于K运用变换定律。对于电磁学方程，我们必须修改变换定律，加上两个参考系相对速度的项。理由很简单，速度不是不变的，麦克斯韦方程组包含光速c。譬如说，一个光信号向右以速度c传播，而另一个以速度c向左传播。向右运动的观测者在追赶光，对于他来说信号的速度是c－v。另一方面，这个观测者在逃离第二个信号，他相对于这个信号的速度是c＋v。对于运动的观测者来说，这两个光信号不以相同的速度传播，所以麦克斯韦方程组对于他来说不具有相同的形式。就麦克斯韦方程组来说，只有一个优选的参考系：相对于以太静止的参考系。
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如此一来，将麦克斯韦方程组从一个参考系变换到另一个相对于它作匀速运动的参考系，表明麦克斯韦方程组与牛顿力学定律的行为不同。在后者中，一个简单的变换就从一个参考系转到另一个参考系，而对于麦克斯韦方程组却不是这样的。
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杰出的数学物理学家亨德里克·安图·洛伦兹（Hendrick Antoon Lorentz, 1853—1928）想出了一种可行的解决方法。假如保持麦克斯韦方程组的不变性，而修改从一个参考系到另一个的变换定律，会怎样呢？为简单起见，我们假设只有空间的一维和时间变化了。对于从一个正交坐标系到另一个相对于它以匀速运动的坐标系，洛伦兹得出了如下的方程：
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这些方程假定第二个参考系与第一个沿着相同的方向运动，即沿x方向。我们注意到，在洛伦兹方程中，距离与时间是关联在一起的。此外，x和x′之间、t和t′之间的关系不像伽利略变换中那样简单。尤其是，t和t′并不是同时的，即两者不相等。我们再留意一下，c是光的速度，每秒186000英里，而人通常遇到的速度相对来说是如此之小以致洛伦兹方程实际上可还原为伽利略变换。
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1905年阿尔伯特·爱因斯坦（Alber Einstein, 1879—1955）登场了。爱因斯坦更倾向于物理而不是数学。尽管数学他懂许多，随后又不断地学了很多，数学对于他来说却不过是工具。物理学更重要。他对电磁理论的成果和赫兹的成果尤其敬佩。虽然在20世纪他关于相对论的成果是革命性的（下一章我们将看到，关于量子力学也是如此），他是召唤数学只是作为物理思想之辅助的19世纪伟大思想家中的最后一个。尽管如此，他的相对性理论是完全建立在数学基础之上的。
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研究完洛伦兹的成果和麦克尔逊—莫雷实验以后（不过关于这两者他了解多少是有疑问的），爱因斯坦致力于消除经典力学和电磁理论之间的明显的不一致，并解决我们已提到的一些其他问题（见第8章）。他的1905年论文中其中一篇的题目是《论运动物体的电动力学》（On the Electrodynamics of Moving Bodies），这篇论文中包括现在为人所知的狭义相对论。从根本上说，可以说，狭义相对论的某种特定形式是产生于电磁理论。
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爱因斯坦直面难局，作了几个假设。既然除了惯性系没有方法来确定绝对空间和时间，他设定，在力学中也一样，从一个惯性系到另一个的变换不是牛顿式的而是洛伦兹式的。这一决定不是任意的或独断的。洛伦兹曾经致力于求得麦克斯韦方程组在正交变换中的不变性。爱因斯坦相信他能够扩展牛顿定律的范围，即使仅对于惯性参考系成立也好。光速对于所有观测者来说都是一样的（而不管光源的运动），这一事实也影响了他，而这也成了其狭义相对论中的一个设定。此外，既然电磁场对于电子施加作用力，而力是一个力学概念，有充分理由相信洛伦兹方程应该适用于力学。至于以太概念他是抛弃了。究竟光是如何传播的曾经是且仍然是有待于解决的。歌德曾经写道，在理论和实践生活中最伟大的艺术是将一个难题变成一个设定。这就是爱因斯坦在1905年所作的。
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让我们来考虑一下从爱因斯坦的狭义相对论中的设定所得出的一些推论。第一个就是，有两个观测者，一个相对于另一个以匀速沿直线运动，两者对于事件的同时性意见将不一致。让我们来考虑一个有点平凡的实例。
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假设在快速运动的长火车当中的旅客同时看见两道闪光，一道发自最前面车厢的一点，另一道发自最后面的车厢。一个观测者站在铁轨旁边，也处在最前和最后车厢的中央，他也看到了两道闪光，但不是同时的。从最后车厢发出的闪光先到达观测者。要考虑的问题是：这两道闪光是同时发出的吗？
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两个观测者都会同意说它们不是同时的。因为地上的观测者正处在两道闪光中央，它们传播了同样的距离，因而到达他花费了同样的时间。因为观测者先看见从后面发出的光，这道光必是先发出的。车上的旅客会这样推断：从后面发出的光的速度在他看来是光速减去火车的速度。而从前面发出的光相对于旅客的速度是光速加上火车的速度。因为这两道光都经过火车长度的一半的距离到达他，从后面的光线必然是先发出的以使两道光线同时到达。在这种情况中似乎没有任何困难。
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这两个观测者在两道光线的发射顺序上也是一致的，因为他们都假定地上的人相对于以太静止而火车上的旅客相对于以太在运动。然而，假设采取不同常规的观点，即认为火车相对于以太静止，而是地球向着火车后部运动。根据这种观点火车上的旅客会正确地得出结论说，因为他同时看见了闪光，它们是同时发出的。地上的观测者毫无疑问会选择坚持他先前的观点，即他和地球相对于以太静止，后面车厢的闪光是先发出的。现在关于两道闪光的同时性意见不一致了，起因是对于谁相对于以太静止意见不一致。那么究竟是谁呢？
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不幸的是，火车上的旅客相信火车相对于以太静止，和地上的观测者相信地球在以太中静止同样有道理。因为迈克尔逊—莫雷实验表明，我们不能检测出经过以太的运动。因此，两个相对运动的观测者关于两个事件的同时性必然意见不一。
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如果两个观测者关于两个事件的同时性意见不一，对于距离的度量也必然意见不一。假设火星上的观测者和地球上的观测者愿意度量地球到太阳的距离。因为距离在不断变化，他们必须同意在给定的瞬间来度量。然而，为使两个观测者同意一个给定的瞬间，两者必须在事件的同时性上取得一致，譬如说标志那个瞬间的钟表响声。因为相对运动的观测者关于这些事件的同时性不会取得一致，他们“在给定的瞬间”对于地球到太阳的距离会得出不同的度量结果。
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即使物体所经过的路径的性质也取决于观测者。我们再来考虑一个简单的例子。从匀速运动的火车上掉下的石头在火车上的旅客看来是沿直线下落，但在地上的观测者看来似乎是沿着抛物线路径。换句话说，轨迹随观测者而变。
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两个相对运动的观测者不但对于距离的量度而且对于时间间隔也会意见不一。否则的话，他们将对于标志间隔结束和开始的事件之同时性取得一致：而这他们做不到。
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爱因斯坦作了进一步的推论。如果一个观测者静止，而另一个观测者相对于他以恒定的速度v沿固定方向运动——譬如说，运动的观测者在火车上——运动物体上的长度在静止的观测者看来要短些，反之亦然。至于时间，静止的观测者发现相对于地球运动的观测者进展得更慢。运动者的雪茄在静止的观测者看来持续的时间是他自己雪茄的两倍。换一种说法，参考系S′中的一个钟表静止于其中，从另一个参考系S看来，S′中的钟表每秒钟慢（1—1/β），其中反过来也成立。一般说来，两个参考系之间的关系符合洛伦兹变换。此外，除了考虑任何单一的观测者外，时间和空间的度量不能分开，正如对所有的观测者来说不能分开水平距离和垂直距离的量度。
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应该强调的是，当我们讨论不同的观测者度量长度的差别时，我们所谈的不是距离的效果或者视觉错觉。当我们谈论对于时间间隔的不同意见时，也不是在谈论心理或者情感效应。
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现在来考虑一个数量例子。一个地上的观测者会发现，相对于地球以每秒钟161000英里的速度运动的火箭船的大小是船上的人所量大小的一半。而这样一个火箭上的时钟在地球上的观测者衡量来比火箭上的观测者衡量来要慢一半。对于地球上的物体和事件的大小和时间，火箭上的观测者也会得出同样的结论。更进一步，在其自身的时空世界中，两者都是对的。
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这个长度和时间之局域性的信条，是相对性理论的惊世骇俗的新断言之一。观念的陌生性不应使我们看不见这样的事实：比起牛顿绝对时空的观念来，它们更符合实验和我们上面检视过的关于同时性的推理。的确，如果不是这样，科学家们不会坚持片刻，不管是相对性还是绝对性。相对于另一个观测者以速度v运动的观测者所见到的长度和时间关系可以从洛伦兹变换中推导出来。
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狭义相对论的设定的另一个结果涉及速度的叠加。假设一个人在静止的水中以每小时4英里的速度划行，而水流的速度是每小时2英里。总速度是每小时6英里吗？根据狭义相对论却不是这样的。总速度V用一般项来表示就是
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其中u和v是两个速度，这个公式的一个有趣特征是，当u＝c时，V＝c。
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也许狭义相对论隐含的最奇特的推论是任何物体的质量随其速度而增加。爱因斯坦在其1905年的第四篇文章中讨论了这个论题。如果用m来表示相对于观测者静止时物体的质量，其数学表达式是