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尽管对于相对论有令人吃惊的戏剧性的证实，许多人还是觉得其四维非欧几何宇宙完全不合口味。没人能够构造出四维非欧几何世界的形象，但是坚持将现在科学和数学所运用的概念形象化的人还处于其理智发展的中世纪。几乎自关于数的研究开始，数学家就已进行独立于感官经验的代数推理。今天，他们有意识地构造仅存于人类头脑中的几何学，从来就没打算将其形象化。当然，也没有完全抛弃与感官经验的接触。要使逻辑结构对科学有用，几何学和代数思考对于物理世界所作出的预言必须与观测和实验一致。然而，坚持推理链（甚至是几何学推理）中的每一步都应该对于感官有意义，那就等于剥夺了数学和物理学两千年的发展。
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我们应该回想一下，人们对于地球是球形的这样的事实是如何反应的，后来对于地球绕日运动这个事实又是如何反应的。我们的知觉当然不与这些事实一致。这样，对于时间、同时性、空间和质量的相对性概念就更容易接受了。相对论告诫我们，不应将只是在某个参考系中成立的表面现象当作任何意义上的绝对真理。像在其他物理领域中一样，在这里数学定律告诉我们什么是真理、什么是客观实在。大自然不怎么关心我们的感官印象。她继续自己的进程而不管我们是否在场。
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相对论所提出的空间和时间的合一以及物质对于时空的影响，这些思想对于20世纪早期的哲学家来说是怪异的，但现在却成为越来越广泛地接受的自然哲学的组成部分。大自然作为一个有机的整体向我们呈现其自身，空间、时间和物质浑然一体。在过去人类曾经分解大自然，选取某些他们认为最重要的性质，将其看作完全独立的实体，而忘了这只是从整体中抽象出的侧面。现在获知必须结合这些假设分离的概念以得到对于知识的一贯、满意的综合，人们却感到意外。
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亚里士多德首先明确表述了这样的哲学信条：空间、时间和物质是经验的有区别的组成部分。随后科学家们采纳了这种观点，并为牛顿所运用。我们追随牛顿，已如此习惯于将空间和时间看作物理世界中与物质分离的基础性的独特组成部分，而不再将这种观点看成是人为的、只是诸多可能的观点中的一种。当然，当代的哲学家，其中包括已过世的阿尔弗雷德·诺斯·怀特海，并不认为对于大自然的这种分析是无用的。相反，结果证明它相当有价值甚至是不可或缺的。不过我们应该意识到，它是人为的。我们不应错将我们的分析当作自然本身，正如我们不该将通过解剖人体观察到的器官当作活的身体本身。
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现在可以理解科学是在何等程度上被数学化成几何学的形式。自欧几里得的时代以来，物理空间的定律不过是欧氏几何的定理。然后，黑帕库斯、托勒密、哥白尼和开普勒以几何学概括了天体的运动。伽利略利用望远镜扩展了几何学的应用，用于无限的空间和许多百万的天体。当罗巴切夫斯基、波尔约和黎曼向我们展现如何构造不同的几何学世界后，爱因斯坦抓住了这一思想，以将我们的物理世界纳入到四维的数学世界中。从而引力、时间、物质，和空间一起，成了不过是几何结构的组成部分。这样，“根据几何学性质能最好地理解实在”这一古典时期的希腊信念，以及“物质和运动可以根据空间的几何结构来解释”这一文艺复兴时期的笛卡儿信条，获得了全面的肯定。
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数学与知识的探求 第10章 物质的分崩离析：量子理论
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正如我所反复强调的，如果不由理论来解释，任何实验都没有意义。
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马克斯·波恩
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我记得那次与波尔的讨论，……当讨论结束后我独自到附近的公园里散步时，我反复问自己这样的问题：大自然会如此荒唐，就像它在这些原子实验中对我们表现得这样？
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维那·海森堡
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本世纪第二项革命性的发展叫做量子理论。到此为止，关于物理世界中什么是实在的、大自然如何活动的知识，还没有任何发展能改变如此之大。
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讨论这个课题时，我们将不拘泥于发现的历史顺序，对于数学的贡献和那些精彩的实验也不谈很多。数学已相当高深，涉及诸如微分方程和概率论等领域，不容易表述。但是读者可以确信，数学在这里所扮演的角色和在我们前面考察过的领域中同样关键、有效。
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量子理论研究的是原子结构，并不是所有的问题都解决了，甚至有些表面的矛盾都没有解决。在这常常叫做微观物理学的学科中，我们正处在发展阶段；与此相对的宏观物理学处理的是大尺度的现象。量子理论所钻研的远在视觉和触觉所及的范围之下，因为即使非常大的原子也只能在电子显微镜下观察到。这一理论关涉的是一个不可见的寂静世界。尽管就其自身来说完全不可感，其效应却像桌子、椅子、我们自己的身体一样真实。也许与此最相似的是电磁世界。尽管对于电磁波我们没有感官知觉，我们却都知道其效应，如在无线电和电视中。
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虽然量子理论的一些成果是试探性的，它们却正在被应用。原子弹就是实在的，这远比过去的一些伟大的数学创造与我们利害攸关。
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我们的感觉使我们相信，声、光、水和物质都是连续的，但是关于光或者物质的根本结构这个问题早在古希腊时代就提出了。所有的物质都是由不可分的原子组成，这一信念可追溯到留基伯（约公元前440），后来又由德谟克里特（约公元前460—前370）加以发展（atom这个词源于希腊语，意思是不可分）。德谟克里特认为存在着许多种原子，其大小、形状、硬度、状态和位置不同。大的物体是由数量和排列不同的许多原子组成的，但原子自身不可分。这两人都说过，所有感觉到的性质都只是表象，是原子不同排列的结果。形状、大小以及刚提到过的其他的不同是原子在物理上实在的性质，而其他的性质诸如味道、热度、颜色等不在原子中而只是原子对于知觉者的作用效果。
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亚里士多德的观点与此不同。他的信条源于恩培德克勒斯（公元前490—前430年），后者坚称，有四种元素，其特性表现在土、火、空气和水中，所有物体都或多或少拥有这些特性。这些特性在吸引（爱）和排斥（恨）的作用下结合，能够解释所有物质现象。事实上，其他的元素（如铜、锡和水银）在古希腊和前希腊时期已为人所知，但亚里士多德及其后继者没有分析这些。亚里士多德相信，甚至原子也是可分的，事实上无限可分，这样物质就是连续的，没有最终不可分的微粒。亚里士多德的观点占主导地位，一直到16世纪。
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然而，从17世纪直到20世纪初普遍接受的理论是：原子是不可分的。对于根本上不同的元素如氢、氧、铜、金和水银，人们认为是有不同的原子。此外，还认为，尽管同一元素的原子重量相同，不同元素的原子却不同。普通的物质如水是由分子组成的，而后者又由原子组成。化学就是在这基础上开始的，尤其是罗伯特·波义耳（Robert Boyle, 1627—1691）在其《怀疑的化学家》（Sceptical Chemist, 1661）中就是这样做的。
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与波义耳一致的一个更明确的宣言，是由约翰·道尔顿（John Dalton, 1766—1844）于1808年做出的。道尔顿的主要思想是，如果设定对应于每一种化学元素都有特定的原子，化学定律就很容易解释了。每一种物质都由不同种类的不可分的原子的不同组合构成。
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到1860年大约有60种不同的原子已为人所知。就在那个年代德米特里·伊万诺维奇·门捷列夫（Dmitri Ivanovich Mendeléev, 1834—1901）着手按照原子的重量来排列已知的元素。他注意到在前16种元素中，第8种和第16种有相似的化学性质。然而，他发现，再往后，如果要继续按原子重量增加的顺序来排列并且使具有相似化学性质的元素相距8位，他就不得不空着一些位置。有一些未知元素属于那些空位置，这在门捷列夫看来是合理的推断。这一推理引导门捷列夫去寻找新的元素，不久研究者发现了3种，现在叫做钪、镓、锗，其化学性质门捷列夫能够根据8位下的元素性质预见到，他的确就是这样预言的。后来的发现修正了门捷列夫的周期律，但他的排列方式仍是现代周期律的精髓。尽管门捷列夫意识到对于其排列方式所揭示的规律性他还没有物理上的解释，他提倡利用周期性发现新元素，确定其原子量，并预言这些元素的化学性质，例如它们与其他元素结合组成分子的能力。
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由门捷列夫和后来的研究者发现的元素被整理有序，并根据结构的简单性编了号。这样，氢是1号，氦是2号，一直到103号的镑。原子量是其重量与氢原子重量的比值。对于氢是1，氦是4，镑是257。尽管对于原子的可分性和连续性还时而有争论，但到1900年原子被广泛接受为物质最终不可分的组成成分。1907年开尔文勋爵说原子牢不可破。然而几个不寻常的发现反驳了不可分的信条。1879年约瑟夫·约翰·汤姆逊（Joseph John Thomson, 1856—1940）爵士给出了原子确实由微粒组成的证据，并得到了电荷及非常轻的带电微粒（叫做电子）的质量的相当准确的数值。1900年亨德里克·安图·洛伦兹（1853—1928）认为这些带负电的微粒的确存在。已发现这些带电粒子的质量大约是10-27克，大约是最轻的原子即氢原子的2000分之一。电子的电荷非常小，大约是4.80325×10-10个静电单位。汤姆逊于1904年提出了原子的模型：原子核由这些更小的电子所围绕。这是第一次与原子不可分的传统信念决裂。
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这时原子理论还相当简单。所有的原子都由质子（带正电）和电子组成。质子被认为组成了原子的核。不久又发现原子的质量几乎全部集中在核里。氢的原子核是最小的，质量是1.6724×10-24克。围绕原子核的是电子，其数量是原子的序数。
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当1896年安乐尼·亨里·贝克勒尔（Antoine Henri Becquerel, 1852—1908）非常偶然地发现了放射性时，与传统理论的又一次决裂开始了。随后对于这一现象的研究是由居里家族的两位成员，皮埃尔（Pierre, 1859—1906）和玛丽（Marie, 1867—1934）进行的。变得有点明显的是，原子结构远比至此所想象的复杂。虽然关于放射性的本质我们后面要谈得更多一些，不久对于这些发现者很明确的就是，一些原子的核，例如那些重的，发出粒子和电磁波，称作阿尔法、贝塔和伽马射线。阿尔法粒子是电离的氦原子，贝塔粒子是电子，伽马射线是高频的电磁波。此外，当原子发出阿尔法粒子时，它就变成了有点轻的元素。在对于原子结构的早期研究中，放射性的产物被用来研究原子中的粒子。
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厄内斯特·卢瑟福（Ernest Rutherford, 1871—1937）曾用放射性的原子作过实验，到1910年他有这样一种构想：原子结构像太阳系一样，其中太阳居于中央，由运动的行星所围绕。在卢瑟福所提出的原子模型中，原子核居于中央，由电子所围绕，电子在不同的轨道上运动。他确信原子核的体积大约是整个原子的兆分之一（10-12）。例如，金的原子序数是79，其原子核由79个电子围绕。原子核主要由叫作质子的粒子组成。然而，为解释原子的重量，卢瑟福提出原子核中还有电中性的粒子，他称为中子。有一些质子数相同但中子数不同的原子核，这样的原子叫作同位素。
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