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这两个例子告诉我们数学所表示的并不必然完全是关于物理世界的。大自然并不规定也不禁止任何数学理论。数学物理学还必须运用牛顿万有引力定律这样的物理学公理。这些公理可能看来是对于经验的概括，但是这样的概括也可能是有点错误的。由实验确证的预言当用来作为数学或物理公理之根据时必须谨慎。这一点伯特兰·罗素在其《科学的世界观》（The Scientific Outlook, 1931）已强调过了。他举了下面的例子。如果从这样的假设开始：面包是由石头做的且石头是有营养的，就可以合乎逻辑地断言面包是有营养的。这个结论可以从实验上证实。然而，不消说，那些假设是错误的。
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另一方面，创立一门数学原来是为了用于描述一种物理过程，科学史表明前者比后者更为牢靠。约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier, 1768—1830）曾对于热传导写下了一种完备、精致的数学理论，这一理论似乎是适用于热质说。而认为热是一种流体的热质说从那以后就被抛弃了。正如埃德蒙·伯克所言：“常常是这样，理性的猜测和忧郁的事实不一样。”然而，后来证明傅立叶的数学理论在乐音（musical sounds）和其他现象的分析中不可或缺。
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的确有理由质问，对于什么是实在的，数学告诉了我们什么。科学家们奋力与难题格斗，然而解决方法却不是唯一的。在他们努力创立一种理论时，数学能派上什么用场，他们就抓住不放。他们利用可利用的工具，正如当一个人可能用短柄小斧来代替大斧子，事情也可以做好。事实上整个物理学史告诉我们，新的理论代替了旧的理论，正如相对论代替牛顿力学，量子理论代替旧的原子物理学。在探索我们的太阳系以外的宇宙时，相对论迄今所起的作用不大。尽管有非凡的成功譬如说送人登月和给土星拍照，我们也不能断言数学物理学的真理性。
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时间和空间甚至是不能被知觉的，这与质量和力不同。质量我们感觉为一种实的东西，而力我们感觉为肌肉的用力感。然而，时间和空间是构造物。我们的确有“在那里”的感觉，位置、体积和广度感。它们是空间的感性根源。时间的感性根源在事件的接续中。空间和时间的这些碎片是由抽象过程加以统一的。空间和时间也许不是我们建造关于真实世界的知识的奠基石。在相对论中它们是基础性的但也许不适合量子力学。甚至长度概念已预设了一根刚性的度量杆，但也许它不是刚性的。在某个地区变化的温度也许改变了它的大小而我们觉察不到。对于面积和体积也有类似的变化。
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我们关于物理世界的数学理论不是对我们知觉到的现象的描述，而是一种冒险性的符号建构。数学脱离了感性经验的束缚，不再描述实在，而是建造关于实在的模型，用来解释、计算和预言。
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直到大约1850年，人们还相信数学秩序与和谐是宇宙的设计中固有的，数学家们还努力揭示那个设计方案。而一种新的观念出现了，数学家们自己的创造物使他们不得不接受这种观念，这种观念就是：数学家本身是立法者，决定宇宙的定律是什么。无论是什么方案或秩序，只要它们成功描述了一类现象，数学家就强加它们于现象，而后者不知为什么继续遵循定律。这一事实意味着有一个最终的定律和秩序，数学家们越来越成功地接近它吗？对此没有答案，但至少可以说，怀疑代替了对于数学化设计的信念。大自然中的灾难——地震、陨星撞击地球、火山和瘟疫——宇宙发生论中那些未曾解决的问题，以及在我们自己的星系中的那些未知领域，更不用提人类面临的难题，所有这些不是否认了一种最终秩序的可能性吗？我们通过数学描述和预言所获得的是凭运气，就像一个散步的人发现了一百美元。
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物理学史布撒着被抛弃的理论之残骸。“大自然的盘根错节将由某个定律的有限系统涵盖”，这一不断复现的希望似乎注定是永远的失望。如果认定这些过去的经验教训对未来不适用，我们当今的理论不会被时间和经验毁灭，那我们是太大胆放肆了。我们精心创立的体系只不过是我们暂时认作是真理的东西的或多或少有用的模型。数学化的科学中没有一门能够声称唯一把握了实在的本质。认为物理学是客观的而诗歌与政治学不是，这是不正确的。全都关涉真理，没有哪种比另一种更有特权。不过，在精确性和预言方面物理学理论是无可匹敌的。在外部世界中有某种东西，数学化的理论能够捕捉住并加以概述。
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我们有一种关于大自然的科学，如人类思考它和描述它那样。科学居于人类和大自然之间。但是从量子理论来看，基本粒子不仅是石头和树是实在的那种意义上的实在，而是从真实的观测资料中得出的抽象。如果基本粒子在真实意义上的存在成为不可能，那么要将物质看成是真实的就更难了。
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尽管布莱兹·巴斯卡尔（Blaise Pascal, 1623—1662）相信大自然的数学化定律是真理，但他限制了数学的应用范围：“正确性和真理是如此精细的点，以至于我们的工具太粗钝不能精确地触到它们。如果工具达到了那个点，就遮蔽了那个点及近处的空间，从而是建基于虚假上而不是真实上。”
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其他人走得更远。P·W·布里至曼在其《现代物理学的逻辑》（The Logic of Modern Physics, 1946）中说道：“数学是人类的发明，这是最简单的不言而喻的道理，一看便知。”那么，很明显的是，像所有的人一样，数学也会犯错。我们在物理学理论上的成就归结起来，不外乎一套与观测到的现象有些联系的数学关系，以及对于物理现象作一些预言（其中有些现象根本观察不到，譬如说电磁波）。抽象推理使我们能够超越从感觉得来的图像，尽管我们还不能完全脱离后者。
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对于数学在多大程度上反映或者描述了关于物理世界的真理，这些各种各样的解释必须和许多其他的说法区别开来，这些说法所断言的是数学自身的真理性及其客观实在性，而不一定断言和外部世界的关系。譬如说柏拉图在其对话录《曼侬篇》（Menon）中断言数学结构独立于甚至先于经验。在柏拉图看来，数学的存在实际上是不朽灵魂之存在的证明，因为既然定理不是从经验中得到的，那它们必定是伴随灵魂一道进入实存的。定理的发现实际上是对于存在于记忆中的东西的回忆。
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在1800年前，这些观点为所有的数学家所坚持，而且一些后来的数学家仍然坚持。尽管威廉·R·汉密尔顿（William R. Hamilton, 1805—1865）所发明的四元数导致了对于算术之真理性的质疑，他所坚持的立场非常像笛卡儿的立场：
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代数和几何这些纯粹数学学科是纯粹理性的科学，实验无助于它们也不会增加其力量，它们与外部的、偶然的现象隔绝，至少可以隔离。……然而，它们看来是我们与生俱来的观念，获得它们只是我们原有能力的发展，我们固有人性的展开。
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阿瑟·凯雷，19世纪的大代数学家之一，在英国科学促进会的一篇演讲（1883）中说道：“我们拥有先天的认识能力，不仅独立于这种或那种经验，而是完全独立于所有的经验……在对于经验的解释中，这些认识能力是心智的贡献。”
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汉密尔顿和凯雷等人将数学看作是人类心智中固有的，而其他有些人却将它看作是存在于人之外的世界中。相信存在着一个独立于人的数学真理的唯一客观世界，这在1900年之前是完全可以理解的。即使首先认识到非欧几何学之意义的高斯，也坚持数和分析的真理性。杰·阿德马尔（Jacques. Hadamard, 1865—1963）是20世纪重要的法国数学家，在其《数学领域中发明的心理学》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中断言：“尽管我们还不知道真理，但真理先于我们而存在，不可避免地将我们必遵循的路径强加给我们。”戴维·希尔伯特，在1928年波隆纳的一次国际会议上问道：“如果数学中没有真理，那么我们知识的真理性以及科学之存在和进步又会怎样呢？”
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杰出的分析学家焦弗雷·H·哈代（Geoffrey H. Hardy, 1877—1947）在其《数学家的申辩》（A Mathematician’s Apology）一书中表达了与此有些类似的观点：“我相信数学实在存在于我们之外，我们的作用是发现或者观察它，我们浮夸地将我们所证明的定理称作自己的创造，而实际上这只是我们的观察记录。”数学家只是发现概念及其性质。
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这些断言中有一些是由并不非常关注数学基础的20世纪思想家作出的。令人感到意外的是，甚至一些基础研究中的领袖人物——戴维·希尔伯特，阿伦佐·邱奇和布尔巴基学派的成员（见第12章）——也坚持数学概念和性质在客观的意义上存在，并可由人类心智把握。这样，数学真理是发现的而不是发明的；进化的不是数学而是人类关于数学的知识。
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断言存在着客观、唯一的数学对象，并不能解释数学居于何处。这些断言只是说数学存在于某个人类之外的世界中，一个空中城堡中，只是由人类觉察到。公理和定理不纯粹是人类的创造；相反，它们像是矿中的宝藏，须经耐心的挖掘才能为人所见。然而，它们的存在独立于人，像行星独立于人一样。
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难道数学就是藏在宇宙深处的钻石，逐渐被挖掘出来吗？抑或是人造宝石，如此光彩夺目以至于使已经为自己的创造而骄傲同时部分丧失了判断力的数学家目眩？
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第二种观点——数学完全是人类思想的产物——为被称为直觉主义者的数学家所坚持。其中有些断言人类心智保证了真理性，而另一些则坚持数学是可错的人类心智之创造，而不是一套凝固的知识。
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赫曼·汉考、理查德·戴德肯和卡尔·威尔斯特拉斯都相信数学是人类的创造。戴德肯在给海因里希·韦伯的一封信中断言：“此外我还建议不要将数理解成集合本身，而应理解成一种……心智所创造的新的东西。我们是有神性的族类，拥有……创造力。”威尔斯特拉斯的话也支持这种观点：“真正的数学家是诗人。”路德维希·维特根斯坦是罗素的学生，而且本身就是个权威，他也相信数学家是发明者而不是发现者。所有这些人还有其他人都将数学看成远远超出经验和理性推理的约束之外。支持他们的立场的是这样的事实：诸如无理数和负数这样的基本概念既不是从经验研究中推导出的也显然不存在于外部世界。
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赞成数学是人造的这种观点，从根本上说都是康德主义的。康德（Immanuel Kant, 1724—1804）认为数学的源头在于心智的组织能力。不过现代主义者认为数学并不是源于头脑的形态或生理结构，而是源于头脑的活动。心智根据逐步进化的方法来组织。心智的创造活动不断进化到更新、更高的思维形式。在数学中，人类心智能够看清，创造一套在其看来有趣或有用的知识是自由的。此外，创造的领域不是封闭的。适应于现存和新生思想领域的观念会被创造出来。心智有能力设计出涵盖经验数据的结构，并为整理数据提供方法。数学之源是心智本身的逐步发展。
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当前关于数学本性的观点冲突，以及当今数学不是公认、无可置疑的知识这一事实，无疑支持数学是人类之创造的观点。正如爱因斯坦所说：“在真理和知识的领域，无论是谁，一旦致力于将自己作为法官，都会为诸神所笑而失败。”
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数学家们已经放弃了上帝，因而必须接受人，而这正是他们所做的。他们继承了数学的发展，并继续寻求大自然的规律，知道他们所得出的不是上帝的设计而是人类所为。过去的成功使他们对于自己所做的保持信心；幸运的是，大量新的成功随他们的努力而来。保持了数学之生命的是人类自己炮制的烈药——在天体力学、声学、流体力学、光学、电磁理论和工程学中的巨大成功以及其预言不可思议的准确性。就这样，数学创造及其对于科学的应用以更快的步调前进。
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詹姆斯·基因斯在其《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）中这样总结了所有这些发展：
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