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其他人走得更远。P·W·布里至曼在其《现代物理学的逻辑》（The Logic of Modern Physics, 1946）中说道：“数学是人类的发明，这是最简单的不言而喻的道理，一看便知。”那么，很明显的是，像所有的人一样，数学也会犯错。我们在物理学理论上的成就归结起来，不外乎一套与观测到的现象有些联系的数学关系，以及对于物理现象作一些预言（其中有些现象根本观察不到，譬如说电磁波）。抽象推理使我们能够超越从感觉得来的图像，尽管我们还不能完全脱离后者。
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对于数学在多大程度上反映或者描述了关于物理世界的真理，这些各种各样的解释必须和许多其他的说法区别开来，这些说法所断言的是数学自身的真理性及其客观实在性，而不一定断言和外部世界的关系。譬如说柏拉图在其对话录《曼侬篇》（Menon）中断言数学结构独立于甚至先于经验。在柏拉图看来，数学的存在实际上是不朽灵魂之存在的证明，因为既然定理不是从经验中得到的，那它们必定是伴随灵魂一道进入实存的。定理的发现实际上是对于存在于记忆中的东西的回忆。
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在1800年前，这些观点为所有的数学家所坚持，而且一些后来的数学家仍然坚持。尽管威廉·R·汉密尔顿（William R. Hamilton, 1805—1865）所发明的四元数导致了对于算术之真理性的质疑，他所坚持的立场非常像笛卡儿的立场：
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代数和几何这些纯粹数学学科是纯粹理性的科学，实验无助于它们也不会增加其力量，它们与外部的、偶然的现象隔绝，至少可以隔离。……然而，它们看来是我们与生俱来的观念，获得它们只是我们原有能力的发展，我们固有人性的展开。
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阿瑟·凯雷，19世纪的大代数学家之一，在英国科学促进会的一篇演讲（1883）中说道：“我们拥有先天的认识能力，不仅独立于这种或那种经验，而是完全独立于所有的经验……在对于经验的解释中，这些认识能力是心智的贡献。”
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汉密尔顿和凯雷等人将数学看作是人类心智中固有的，而其他有些人却将它看作是存在于人之外的世界中。相信存在着一个独立于人的数学真理的唯一客观世界，这在1900年之前是完全可以理解的。即使首先认识到非欧几何学之意义的高斯，也坚持数和分析的真理性。杰·阿德马尔（Jacques. Hadamard, 1865—1963）是20世纪重要的法国数学家，在其《数学领域中发明的心理学》（Psychology of Invention in the Mathematical Field）中断言：“尽管我们还不知道真理，但真理先于我们而存在，不可避免地将我们必遵循的路径强加给我们。”戴维·希尔伯特，在1928年波隆纳的一次国际会议上问道：“如果数学中没有真理，那么我们知识的真理性以及科学之存在和进步又会怎样呢？”
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杰出的分析学家焦弗雷·H·哈代（Geoffrey H. Hardy, 1877—1947）在其《数学家的申辩》（A Mathematician’s Apology）一书中表达了与此有些类似的观点：“我相信数学实在存在于我们之外，我们的作用是发现或者观察它，我们浮夸地将我们所证明的定理称作自己的创造，而实际上这只是我们的观察记录。”数学家只是发现概念及其性质。
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这些断言中有一些是由并不非常关注数学基础的20世纪思想家作出的。令人感到意外的是，甚至一些基础研究中的领袖人物——戴维·希尔伯特，阿伦佐·邱奇和布尔巴基学派的成员（见第12章）——也坚持数学概念和性质在客观的意义上存在，并可由人类心智把握。这样，数学真理是发现的而不是发明的；进化的不是数学而是人类关于数学的知识。
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断言存在着客观、唯一的数学对象，并不能解释数学居于何处。这些断言只是说数学存在于某个人类之外的世界中，一个空中城堡中，只是由人类觉察到。公理和定理不纯粹是人类的创造；相反，它们像是矿中的宝藏，须经耐心的挖掘才能为人所见。然而，它们的存在独立于人，像行星独立于人一样。
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难道数学就是藏在宇宙深处的钻石，逐渐被挖掘出来吗？抑或是人造宝石，如此光彩夺目以至于使已经为自己的创造而骄傲同时部分丧失了判断力的数学家目眩？
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第二种观点——数学完全是人类思想的产物——为被称为直觉主义者的数学家所坚持。其中有些断言人类心智保证了真理性，而另一些则坚持数学是可错的人类心智之创造，而不是一套凝固的知识。
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赫曼·汉考、理查德·戴德肯和卡尔·威尔斯特拉斯都相信数学是人类的创造。戴德肯在给海因里希·韦伯的一封信中断言：“此外我还建议不要将数理解成集合本身，而应理解成一种……心智所创造的新的东西。我们是有神性的族类，拥有……创造力。”威尔斯特拉斯的话也支持这种观点：“真正的数学家是诗人。”路德维希·维特根斯坦是罗素的学生，而且本身就是个权威，他也相信数学家是发明者而不是发现者。所有这些人还有其他人都将数学看成远远超出经验和理性推理的约束之外。支持他们的立场的是这样的事实：诸如无理数和负数这样的基本概念既不是从经验研究中推导出的也显然不存在于外部世界。
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赞成数学是人造的这种观点，从根本上说都是康德主义的。康德（Immanuel Kant, 1724—1804）认为数学的源头在于心智的组织能力。不过现代主义者认为数学并不是源于头脑的形态或生理结构，而是源于头脑的活动。心智根据逐步进化的方法来组织。心智的创造活动不断进化到更新、更高的思维形式。在数学中，人类心智能够看清，创造一套在其看来有趣或有用的知识是自由的。此外，创造的领域不是封闭的。适应于现存和新生思想领域的观念会被创造出来。心智有能力设计出涵盖经验数据的结构，并为整理数据提供方法。数学之源是心智本身的逐步发展。
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当前关于数学本性的观点冲突，以及当今数学不是公认、无可置疑的知识这一事实，无疑支持数学是人类之创造的观点。正如爱因斯坦所说：“在真理和知识的领域，无论是谁，一旦致力于将自己作为法官，都会为诸神所笑而失败。”
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数学家们已经放弃了上帝，因而必须接受人，而这正是他们所做的。他们继承了数学的发展，并继续寻求大自然的规律，知道他们所得出的不是上帝的设计而是人类所为。过去的成功使他们对于自己所做的保持信心；幸运的是，大量新的成功随他们的努力而来。保持了数学之生命的是人类自己炮制的烈药——在天体力学、声学、流体力学、光学、电磁理论和工程学中的巨大成功以及其预言不可思议的准确性。就这样，数学创造及其对于科学的应用以更快的步调前进。
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詹姆斯·基因斯在其《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）中这样总结了所有这些发展：
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我们遥远的祖先试图用他们自己创造的拟人论概念来解释自然，不过失败了。我们更近一些的祖先致力于用“存在着预先设计”这种思路来解释自然，结果证明同样不足。……然而，我们根据纯数学的概念来解释自然，迄今为止的成功是辉煌的。现在似乎无可争辩的是，从某种意义上说，大自然与纯数学概念的结盟比与生物学或工程学更紧密。
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在这种新近的成果中，基因斯看到了人与物理宇宙的紧密联系，说道：“几乎无可争辩的是，大自然和我们的数学意识根据同样的规律来活动。”他又有些谨慎地补充道：“尽管还是非常不完美、不充足的，宇宙可以看成是由纯思想组成的，由于缺乏一个更广的词，我们不得不称其为‘数学思想家’的思想。”为获得成功物理科学不得不付出数学抽象的代价，那些为此感到遗憾的人必须重新考虑这个问题：在关于大自然之本性的最终的科学说明中我们寻求的到底是什么？
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关于物理世界的存在和我们对于物理世界的知识，不管新的哲学学说可能说些什么，有一个事实是不可争辩的。新物理学已经远离了力学模型，甚至不再寻求物理实在的图像，已经强调甚至专注于数学描述。就所能预言的来说，这种趋势将会持续，不可能逆转。物理学的新领域离日常经验、离感性知觉是如此之远，结果只有数学能够把握之。
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如基因斯所说：“制作模型或图像来解释数学公式以及公式所描述的现象，不是趋近实在，而是远离实在，这就像是制作神灵之偶像。”
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正如在柏拉图的洞穴之喻中，人们只能看见人和事件的影子，生活在物理世界中的我们也只能看见许多物理现象的影子，这些影子是数学的。可能没有鬼魂、巫婆和魔鬼，但是存在着不可知觉、不可触摸的物理现象，就像人类的想象力之创造物一样不可知觉、不可触摸。
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接受数学化定律为实在这种倾向在许多著述中都很明显。J· W· N·萨利文在其《科学的限度》（The Limitations of Science, 1933）中说只有物质现象的量的侧面才与真实世界有关。具体说来，新的科学并不要求我们知道所研究的存在者之本质，而只需要知道其数学结构。事实上，在其《神秘的宇宙》中，基因斯看来恰当地将宇宙称为一种伟大的思想。心智不再是一个偶然的闯入者，而是物质世界的创造者和督管。
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关于量子力学，物理学家和哲学家亨利·马格瑙坚持薛定谔的波函数是真正的实在。
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也许爱因斯坦在其《我的世界观》（The World as I See It, 1934）中的说法总结了多数科学家的立场：
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迄今为止我们的经验使我们有理由相信大自然是最简单可构想的数学概念的实现。我相信通过纯粹的数学构造能够发现概念以及将概念互相联结的定律，而这些提供了理解自然现象的钥匙。……当然，经验还是判断数学构造之物理应用的标准。但是创造性的原则是在数学中。因此，从某种意义上说，我坚持下面的观点：纯思想能够把握实在，正如古人所梦想的。
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