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这里产生了一个困惑了古今科学家的谜。数学，作为独立于经验的人类思想的产物，怎么可能与物理实在中的客体符合得那么奇妙？通过纯粹思想人类理性无需经验就能发现实在事物的性质？
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尽管爱因斯坦懂得，数学公理和逻辑原理源于经验，他追问的是，由人类心智所作出的从这些公理和原理中的推论，为什么依然符合经验？
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对于为什么数学奏效这个问题的回答有各种各样的。其一是，为使推论适合经验数学家改变了公理。这一思想是最早由狄德罗在其《对于解释自然的深思》（Pensées sur l’interprétation de la nature, 1753）提出。他说数学家像是赌徒；两者都用他们自己创造的规则来玩游戏。它们的研究对象只是约定之物，没有在实在中的根据。思想家贝尔纳·勒布维·德冯特奈勒（Bernard Le Bovier de Fontenelle, 1657—1757）也是这样评价的。他攻击对于天体运动的不变规律的信念，说就玫瑰的记忆期限而言，没有园丁死过。
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现代的建模论者也持这种立场。从可能的模型开始，推导出结果，然后再和经验核对。如果模型有所不足，可以改变它。然而，从任一个模型中能推导出几百个适用的定理，这仍然提出了一个不易回答的问题。
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还有一种不同的解释，这种解释源于康德，不过有所修正。康德坚持，我们不是在认识自然，也不能认识自然。他认为，我们有感官知觉，而我们的心智先天拥有关于空间和时间的固有结构（康德用的术语是直观）；心智根据这些固有结构的规定来组织这些知觉。譬如说，我们根据欧几里得几何学的规律来组织空间知觉是因为我们的心智就是这样规定的。空间知觉经这样组织，它们当然遵循欧几里得几何学的规律（当然，康德坚持欧几里得几何学是错误的）。换句话说，我们只能见到我们的数学化的“光学装置”允许我们看。康德写道：“知性不是在从大自然中得出规律而是给大自然规定规律。”
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物理学家阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld, 1868—1951）和许多其他的科学家一样认为，给大自然立法的想法中有一种不可容忍的骄傲自大。不过，阿瑟·斯丹利·爱丁顿（Arthur Stanley Eddington, 1882—1944）爵士支持康德的观点：
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（我们）已经发现，在科学的前沿，心智只是从大自然中重获了它放进去了的东西。
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我们发现，在未知之海岸上有一个奇怪的脚印。我们设计了一个接一个深奥的理论来解释其起源。最终，我们重建了那个留下了脚印的生物。瞧，这个脚印是我们自己的。
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爱丁顿相信，人类经验的宇宙本质上是人类心智的创造；只要我们能够理解心智如何运作，就能够通过纯粹理论的方法来推导出全部的物理学——大概还有所有的科学，除了某些量纲常数，这些是偶然的，取决于我们碰巧处在宇宙的哪个位置上。
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茹莱·亨利·彭加勒（Jules Henri Poincaré, 1854—1912）提出了另一种大体上是康德式的解释，不过现在叫做约定论。他在《科学与假说》（Science and Hypothesis）中说道：
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我们能够坚持说，在欧几里得空间中可能的某些现象在非欧空间中就不可能了吗？以至于支持这些现象的实验与非欧几何学的假说直接矛盾吗？我认为不能认真地提这样的问题。在几何学的产生中实验起了相当大的作用；但是从这得出结论说，几何学即是在部分上是实验科学，也是错误的。如果几何学是实验科学，它将是近似的、临时的。那将是一种多么粗糙的近似！几何学将只是研究坚实物体的运动。而实际上，它不关注自然坚实物体；它的对象是理想的物体，绝对不可变，只是自然物体的极大的简化，是其极其不同的图像。这些理想物体的概念全部是心智构造的，而实验只是有助于我们得到这些概念的机遇。
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在这种并非由实验强加给我们的选择中，实验引导着我们。实验告诉我们的不是最真的几何学，而是最方便的几何学。谁能提出根据欧几里得系统能够解释而根据罗巴切夫斯基系统不能解释的一个具体的实验？既然我知道不会有人迎接这一挑战，我就可以得出结论说没有与欧几里得假设矛盾的实验；从另一方面说，也没有与罗巴切夫斯基假设矛盾的实验。
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彭加勒相信，对于每一部分经验，都有无数的理论能够解释和描述。对于理论的选择是任意的，不过简单性是很好的指南。我们发明和利用那些看来有效的概念；如果费上足够的精力来研究，其他的理论也会奏效。尽管彭加勒在解释怎样使数学奏效时更明确，他与康德的解释是有些一致的，因为他相信数学和大自然之间的和谐是由人类心智造就的。在《科学的价值》（The Value of Science）中他肯定地说：
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人的智性在大自然中所发现的和谐独立于这智性而存在吗？当然不。不可能有独立于构想它、看它、感觉它的精神的实在。一个那样外在的世界，即使存在，我们也永远不会知道。严格地说，所谓的“客观实在”就是对于几个思想着的存在者共同的东西，也可能对于所有人都是共同的；而我们将见到，这共同的部分，只能是由数学化定律表达的和谐性。
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哲学家威廉·詹姆斯在其《实用主义》一书中表达了同样的思想：“数学和物理科学的所有辉煌成就都起源于我们的不屈不挠的欲望：在我们的心智中给世界加上一种比我们的粗糙的经验秩序更有理性的形式。”
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在其《科学面面观》（Aspects of Science）（第二系列）中，J·W·N·萨利文更强烈地表达了这一思想：“我们是宇宙的立法者；甚至有这样一种可能性：除了我们所创造的，我们不能经验到任何东西，我们最伟大的数学创造就是这个物质宇宙本身。”
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这些人宣称科学真理是造出来的，而不是发现的。即使由它们出的推论可由实验证实，科学上的真理只是自然真理的兆象。
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爱因斯坦1938年说的话大体上支持康德的观点：
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物理学概念是人类心智的自由创造，不独是由外部世界决定的，尽管看起来似乎是这样。在我们理解实在的努力中，我们有点像一个试图理解一块密封的手表之机制的人。他看见了表面和移动的指针，甚至听见了滴答声，但是他没有办法打开盖子。如果他很灵巧，对于引起所有那些他所观察到的现象的机制，他可以形成图像；但他永远也不能确定他的图像是对于其观察的唯一解释。他永远也不能将其图像与真实的机制比较，他甚至不能想象这样一种比较可能有什么意义。
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爱因斯坦确实相信人类的数学至少部分上由实在主导。在《相对论的意义》（The Meaning of Relativity, 1945）中他说道：
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观念的世界看来不能用逻辑的方法从经验中推导出来，而从某种意义上说是人类心智的创造，没有这种创造就没有科学。尽管如此，这个观念的世界程度很小地独立于我们的经验的本性，正如衣服程度很小地独立于我们身体的形状一样。
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对于数学为什么奏效，还有一种解释是返回到17、18世纪的信念：世界是数学化设计的，不过那些较早世纪与宗教有关的信念在现代被抛弃了。这就是我们的时代最伟大的物理学家之一詹姆斯·基因斯（James Jeans, 1877—1946）在其《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）中表达的立场：
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基本的事实就是这样：科学现在给大自然所描绘的图像（看来只有这些图像能够与观察到的事实一致）是数学化的图像……大自然似乎精通纯数学的规则……不管怎么说这一点几乎是无可争辩的：大自然和我们的有意识的数学心智根据同样的规律来运作。
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像基因斯一样，伟大的科学史家、科学哲学家皮埃尔·杜昂，在其《物理理论的目的和结构》（The Aim and Structure of Physical Theory）中，从怀疑走向了绝对的肯定。开始时他将物理学理论称为“一种抽象体系，其目的是从逻辑上总结和归并一组实验定律，而没有宣称解释这些定律”。理论是近似的、临时的，“没有任何客观的指称”。科学只熟悉感官表象，“认为在理论化中我们就揭去了感官表象上的面纱，这只是幻觉，应该予以抛弃。”此外，当一个天才的科学家将数学秩序和明晰赋予混乱的表象时，他达到这个目的需要付出代价：用丝毫没有解释自然本性的符号化抽象代替了相对来说可理解的概念。尽管如此，杜昂在结尾宣称“要我们相信这种由理论造成的秩序和组织不是真实的秩序和组织的影像，这是不可能的。”
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19世纪敏锐的数学分析家查尔斯·赫米特（Charles Hermite, 1822—1901），相信有一个数学所描述的客观实在的世界。他在给数学家斯蒂尔泰的一封信中说道：
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