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佩斯金的证明是基于法国数学家、混沌理论的创始人亨利·庞加莱（Henri Poincaré）提出的一个想法。庞加莱的想法主要基于频闪摄影术的数学等效。具体来说就是，取两个完全相同的振子A和B，每当A发射的时候，就对它们拍摄快照，记录它们的变化。这一系列快照会是什么样子？振子A刚刚发射，所以A总是出现在零电位。相比之下，B的电压随着每一张照片变化。通过求解这个模型的方程，佩斯金发现了一个明确但混乱的关于B的电压随照片变化的方程。该方程表明，如果电压低于某一临界值，它会稳步下降到零电位，如果高于这一临界值，它则会稳步上升到阈值。不论发生何种情况，B最终都会与A同步。有一个例外情况是，如果B的电压刚好等于临界值，它便既不上升也不下降，停留在临界值处，两个振子的相位便相差半个周期。但这种平衡是不稳定的，即使是最轻微的扰动也会使系统趋于同步。
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尽管佩斯金成功分析了双振子的情况，但是对于任意数量的振子的情况，在那之后15年内都未能得到证明。在此期间，佩斯金的成果并没有受到关注。它被深埋在一本不出名的专著中——这基本上是他讲稿的一个影印集，只有向他所在的部门申请才能借阅。
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1989的一天，我正在翻阅一本叫作《生物时间的几何学》（Geometry of Biological Time）的书，该书的作者是理论生物学家，我心目中的英雄——阿瑟·温弗里。当时我在哈佛大学应用数学系做博士后，正在渴求一个新的研究课题。虽然在过去的8年中，我一直在钻研温弗里的书，但依然觉得很有兴味，从中可以获得源源不断的新思想与新灵感。它不仅是对先前生物振子研究的总结，也是猎人的狩猎图，是通往未来发现的向导。几乎在每一页上，温弗里都指出了对于那些富有价值、悬而未决的问题的解决方法，还有成熟问题的内幕消息。
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其中便有一个我先前未曾留意的启示：书中有一段记述了振子通过有节律的脉冲进行通信，温弗里提到了佩斯金在他的专著中提出的心脏起搏细胞模型。虽然佩斯金已经成功分析了两个完全相同的振子的情况，但是温弗里写到，“多振子问题还有待解决”。
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这句话激起了我的好奇心。对于这个已经存在多时的基本谜题，还有待解决的是什么？我当时从未听说过佩斯金的工作，但它听上去非同寻常。从未有人试图解决多振子“脉冲耦合”的数学问题，在这个问题中，振子的相互作用是通过瞬时的脉冲信号促成的。这是生物数学文献中的一个明显的空白，同时也是一个尴尬的问题，因为生物振子通过这种方式相互作用的例子极为普遍，萤火虫闪光、蟋蟀鸣叫、神经元发射电信号……全都是利用瞬时脉冲来通信的。然而，理论家出于数学上的原因常常回避脉冲耦合问题。脉冲会使得变量发生不连续的跳变，而利用微积分处理跳变比较困难，它最适合用于处理平滑变化的过程。但是，佩斯金却发现了一种分析两个不断重复互相作用的振子的方法。他是如何做到的？是什么阻碍了他解决多振子问题？
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我们的图书馆中没有购置佩斯金的专著，他友好地将相关文献寄给了我。他的分析全面、清晰、直接，我很快就了解了为什么他停留在了双振子问题上：尽管他的分析十分简洁，但方程已经变得十分庞大。3个振子的情况更糟，对于n个振子则完全不可解。我也不知该如何展开他的论点或绕过这个难题。
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为了更好地理解和体会这个问题的困难程度，我在计算机上用两种不同的方式运行了这个问题。第一种方法是向前再进一步，尝试三振子问题。我模仿佩斯金的策略，设置极小的刺激和漏电流，让计算机处理所有的代数问题。即使这样，得出的方程仍然十分恐怖——有些写满了好几页，在计算机的帮助下，我将它们简化到了可理解的程度。结果表明，对于3个振子的情况，佩斯金的推测可能是正确的。同时，结果也表明了这不是正确的处理方法。即便有计算机的帮助，这种代数问题也只会让人望而却步。
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第二种方法是模拟。脱除公式，只是让计算机一步步推进系统的演化，然后观察会发生什么。模拟无法代替数学，因为它无法给出证明，但如果佩斯金的推测是错误的，这种方法则会揭露出反例，从而为我们节约大量时间。这种证据在数学上非常有价值。当你试图证明一件事的时候，它会帮助你了解事情正确与否，给予你坚持寻找严格证明的信心。
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编程仿真很容易。当一个振子发射的时候，它会刺激其他所有振子的电压上升一个固定的量。如果任何被刺激的振子的电压超过了阈值，它就会发射，同样也会刺激其他振子。当振子处于发射间隔内的时候，使用佩斯金的公式，所有振子的电压都会朝向阈值增加。
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我尝试了100个完全相同的振子的情形。它们的初始电压随机分布在零电位和阈值之间，我将它们描绘成一群朝向阈值运动的点，这些点沿着它们共同的拱形充电曲线上升（横坐标为时间，纵坐标为电压）。即便在计算机图形技术的帮助下，我仍无法在它们的集体运动中发现某种模式，只有一片喧嚣的混乱。
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此时的问题在于信息太多。所以我开始认识到佩斯金的频闪法的另一个优势：它不仅简化了分析，而且是使系统的演化可视化的最佳方法。除了恰好在某一特定的振子发射的时刻，所有的振子都是不可见的。在这些时刻，一道假想的频闪光照亮了其余所有振子，显示出了它们的瞬时电压值。随后，整个系统陷于黑暗，直到那个特定的振子下次发射。佩斯金的模型具有一种特性，即振子是轮流发射的，没有哪个振子会插队，所以在下一次闪光之前，其他99个振子会在黑暗中发射。
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在计算机上观察可以发现，这些计算十分迅速，以至于屏幕出现了闪烁，99个振子沿着充电曲线上蹿下跳，每次闪光时它们的位置都会发生改变。这种模式是不会错的。点聚集在一起，形成零星的同步，然后合并成为更大规模的同步，就像雨滴在玻璃窗上合流一样。
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系统自发趋于同步，这简直不可思议。这是对菲利普·劳伦特和所有坚决认为萤火虫的同步在理论上不可能，并认为这种事情“必然是违背一切自然规律”的怀疑论者们的公然反对。计算机显示了一群没有意识的微小振子可以自动趋于同步，这种结果简直不可思议。人们不禁会认为这些振子是在有意识地配合，努力趋于有序，但它们并非如此。每个振子只是机械地响应其他振子发射的脉冲，完全没有目标。
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为了确认我的第一次尝试并非侥幸，我重复模拟了很多次，每次都是随机的初始条件，以及不同的振子数目，但每次都会出现同步。佩斯金的猜想似乎是正确的，我现在面临的挑战是去证明它。只有确凿的证据才能证明同步是必然的，这种证明方法是计算机无法做到的。最好的证明将澄清为什么同步是必然出现的。我请教了我的朋友，波士顿大学的数学家伦尼·米洛罗。
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我和伦尼已经相识10年了，在哈佛大学读研究生的时候，我们周末经常一起出去玩，凌晨两点一边用油腻的勺子吃炸薯条，一边以大致相同的观点谈论数学和女人。但那时我们从未一起工作过。他的研究方向是纯数学，而我是应用数学。我们可以互相理解，但并不能完全理解对方。
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读博期间，伦尼研究了一个非常抽象的问题，希望以这一课题完成博士论文。他的直觉告诉自己某个理论一定是正确的，于是他花了三年时间试图证明它。但有一天，他意识到这个理论是错误的，因为他发现了一个反例可以摧毁一切。一切都已无法挽救。然而，他并没有沮丧，反而切换到数学领域的一个新分支，解决了其中的一个关键问题，完成了论文，所有这一切只用了一年时间。
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1987年前后，我和伦尼开始一起工作。我们二人优势互补，通常由我提出问题，解释其科学背景，进行计算机模拟，提出直观论证。而伦尼会思考解决这个问题的策略，然后找到证明这一理论的方法。
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当我告诉伦尼我对佩斯金的模型进行的计算机实验时，他最初很好奇。在理解了这个问题后，他就变得跃跃欲试起来，就像一位等待走上拳台的拳击手。他给了我几分钟时间来总结我所做的工作，但没过多久，他就坚持要用自己的方法来观察它。
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伦尼毫不留情地简化了模型。对于佩斯金的原始电路模型中原有的电容、电阻、电压这些细节，他完全没有耐心。他猜测，这个模型唯一关键的特征是：每个振子都遵循一个缓慢上升的电压曲线，直至升到阈值，所以他从一开始就利用了这一曲线。他抛弃了电路，取而代之的是一个抽象的、类似于电压的变量，这个变量反复上升到阈值、发射，然后复位。然后他假想了n个完全相同的这种变量的集合，各个变量都像以前一样相互作用：当一个振子发射的时候，会刺激其他振子上升一个固定的数值，达到阈值的就会发射，而后者上升的数值稍小些。
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伦尼的简化模型不仅清晰（减少了大量代数运算），而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释，我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子，无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀，也无论是神经元还是萤火虫。
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我们能够证明，对于任意数量的振子，无论它们如何启动，这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念，简单来说就是，如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值，它们便会永远保持同步，仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中，吸收是显而易见的，振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的：一旦两个振子一起发射，它们就再也不会自己分开，因为它们的动力学特性完全相同。此外，它们与其他振子的耦合也完全相同，所以即使被其他振子刺激，它们也会保持同步，因为它们受到的刺激是相同的。因此，吸收的作用就像棘轮，总是会把系统推向同步。
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这个证明的核心是，一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中，直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家，你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式，如何才能包含所有的可能性？如何确保会发生足够多次的吸收，使系统一路走向最终的同步？
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我会在下文概述原因，不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样，经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程，充满了模糊的想法和图景，特别是在证明的初期，而那些严谨的证明后来才会出现。
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