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图1-2 3个振子同步模拟示意
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图1-2 3个振子同步模拟示意（续）
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模式变得清晰了。随着振子的增加，我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件，5个振子则需要一个四维超立方体来表示，而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信，但如果你尝试去描绘它的话，它确实如此。但是在数学形式上，处理所有维度的方法都是一样的，并不存在新的困难。所以，我选择了继续关注3个振子的情形，它包含了所有的主要思想。
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下一步是将动力学状态（即系统随时间的演化）转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下，最终是否会同步。
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你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升，然后发射，最终回到零位；它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息，我们再次利用频闪法，让系统在黑暗中运行，直到下一次振子A发射后回到零位，振子B和C做出反应。然后打开闪光灯，用照片记录下B和C的新位置。
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在几何图形中看来，正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点，即B和C更新后的电压。换句话讲，系统的动力学演化等同于一次转变，即把正方形中任意给定的点转移到新的一点，转移的依据是一些复杂的规则，取决于充电曲线的形状和刺激的大小。
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这个过程是可以重复的，新点可以视为起始点，然后通过变换转移到其他位置，它一次次地重复，蹦蹦跳跳地从正方形中的一个点跳跃到另一个点。如果系统注定会同步，那么这个点最终会跳跃到正方形的左下角，即电压坐标为（0，0）的点，这意味着两个振子同时到达了零电位。为什么会是这个角落？因为这是振子A的位置。根据我们对频闪的定义，A刚刚发射并复位，所以它的电压为0。在同步状态下，其他两个振子的电压也是0。
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原则上，针对每个初始点的情况，都可以计算出最终结果。如果所有振子最终都同步发射，那么我们就把这个初始点称为“好点”，否则就是“坏点”。我和伦尼从未找到一种方法来准确判断每个点的好坏，但我们设法证明了几乎所有的点都是好点。坏点虽然存在，但是数量很少而且十分稀疏，把它们集中起来并不占面积。换言之，如果你随机选取一个点，完全不可能选到坏点。
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这听起来或许很荒谬：如果坏点存在，你或许认为运气总会让我选到它，但事实上并不会发生。这就像往圆靶上掷飞镖，并要求它精确地落在两个分数之间的分界线上，这已经非常不可能了，而现在我们知道分界线没有宽度（就像要求它没有面积一样），这时你就可以明白为什么随机的投掷永远不会满足要求了。
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这是伦尼对于坏点的看法，虽然我们对好点更感兴趣。他的策略很容易让人联想到艺术设计中的负空间概念，即想要了解一个物体就要去了解物体周围的空间，特别是他找到了一种方法可以证明坏点不占面积。
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为了表现出论证的风格，我们可以专注于坏点中的坏点，我将这些点称为“极坏点”。这些是抵抗同步趋势最强烈的点，它们从未经历过吸收。而当系统从极坏点启动的时候，没有任何一对振子会同步，更别说整个群体了。
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为了了解为什么极坏点不占面积，我们把它们看成一个集合，进而检验当我们把变换应用到该集合中的所有点时，会发生什么。每个极坏点都会跳到其他地方，但变换后它仍是极坏点。这几乎是个无限循环：如果一点永远不会被吸收，那么经过一次变换后，它仍然永远不会被吸收。因此，新点还是极坏点。由于初始集合包括所有的极坏点（根据定义），所以这个新点必定潜伏在其中的某个地方，再从这里开始新的变换。
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结论是，变换后的集合完全落在初始区域之内。更直观地讲，就像减肥广告中经常使用的“减肥前”和“减肥后”的对比照片那样。变换后的集合，即“减肥后”的照片，完全包含在了“减肥前”的照片之内，正如减肥广告所承诺的那样。
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到目前为止，我们的论据中尚未使用任何关于充电曲线形状以及刺激大小的信息。当最终把这些细节考虑在内的时候，我们遇上了一个乍看上去似乎有些矛盾的问题，然而它实际上是论据的要点。我和伦尼能够证明“减肥前”和“减肥后”的变换有点像复印机的放大功能。任何一组点经过变换后都会放大，这与你选择的点的集合无关，就像与你放在复印机上的图片无关一样。而任何一组点的区域都会增大，特别是极坏点的集合也会放大。这里需要注意的是，这意味着极坏点的集合膨胀了，而不是收缩了，似乎与我们之前得出的结果相矛盾。更准确地说，变换后的极坏点的集合必须落在初始集合的内部，而现在它的范围却变大了，这似乎是不可能的。唯一让两个结论兼容的方法是：初始集合不占据任何区域，就像“减肥前”的照片是一根棍子的形象，这样就不存在矛盾了。当乘以一个大于1的数字时，它的面积仍然是0，所以变换后的集合可以位于初始区域内部。这正是我们想要展示的：极坏点不占据任何面积。所以如果你随机选取初始状态的话，那么你永远无法选取它们。这就是这个模型中同步一定会发生的原因。
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同样的论据也适用于任意数量的振子，当有4个或更多的振子时，需要对模型进行轻微修改，用立方体或超立方体替换二维平面。在任何情况下，起始点位于坏点的概率总是0，因此佩斯金是正确的。在他的振子模型中，每个振子完全相同，并通过脉冲相互耦合，在这种情况下，每个振子最终都会一齐发射。
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为了继续深入这个证明，我们发现佩斯金的漏电假设是非常关键的，否则从“减肥前”到“减肥后”的变换不会使区域扩大，而全部的论证都会崩溃。事实上，它必须崩溃，因为没有这个假设，这个理论就是错误的。如果充电曲线向上而不是向下弯曲，即如果电压加速上升到阈值，我们的模拟显示系统未必会同步，这些振子也可能会陷入一种随机混乱发射的模式。
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当我第一次对我们的工作成果发表演讲的时候，这个微妙的漏电假设经常会让其他数学家犯错误。在我还未来得及解释的时候，一些质问者就会打断我，说这个理论毫无价值，振子毫无疑问会同步，因为它们完全相同且彼此之间的耦合完全一样。我还能期望什么呢？但这种反对太肤浅了，它忽略了充电曲线形状的微妙影响。只有当曲线朝正确的方向弯曲的时候，同步才必定会发生。用生物学术语讲，充电曲线的形状决定了刺激是在周期开始（靠近零电位）时更有效，还是在周期结束（靠近阈值）时更有效。当曲线如佩斯金的模型一样向下弯曲的时候，对于一个给定的刺激电压，曲线上靠近阈值的振子会移动更大的相位，从而确保系统走向同步。然而，想要了解其原因，就需要进行复杂的计算，而且一定不是显而易见的。
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我们对佩斯金猜想的证明是首个对于多振子脉冲耦合问题的严格解释。然而，与真正的萤火虫或心脏起搏细胞相比，我们的模型是经过简化的。它假定，一个振子的发射总是刺激其他振子向阈值移动，从而超前它们的相位，而真正的生物振子通常会同时超前或延迟振子的相位。此外，泰国的萤火虫最为擅长同步，这个物种被称为屈翅萤（pteroptyx malaccae）。它们使用的是一种完全不同的策略，即通过不断调整自己的时钟频率，而不是调整相位，来响应接收到的闪光。换句话说，它们是在使自己的生物钟变快或变慢，而不是把分针前后拨动。通过进一步假设所有振子都是完全相同的，该模型忽略了任何真实的生物群体中所固有的遗传差异。最后，我们假定所有振子之间的相互影响是相同的，这对于心脏起搏细胞是一个粗略的近似假定，事实上，心脏起搏细胞主要影响的是与它邻近的细胞。鉴于分析中的各种局限，我们对它将要引起的反响毫无准备。
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接下来的短短几年中，共有百余篇关于脉冲耦合振子的论文发表，这些科学家遍及从神经生物学到地球物理学的各个学科。在神经生物学中，研究神经网络的理论家已经开始对流行方法感到不耐烦。流行方法主要通过描述神经元的平均发射速率（每秒钟的尖峰个数）来粗糙地描述神经元，而不是根据尖峰自身的实际时间。这个脉冲耦合振子的新框架完全符合时代的情形和需要。
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由于科学社会学发展中的一次意外，或是因为一种神秘的时代思潮，在20世纪90年代早期，其他领域的科学家也在思考这些系统。例如，加州理工学院的著名生物物理学家约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）指出了脉冲耦合神经元与地震之间的关系。在简化的地震模型中，由于地壳板块不断相互拉扯，产生的应力不断增大，直到到达一个阈值，导致板块突然滑动，以一次大爆发释放积蓄的能量。整个过程很容易让人联想起神经元电压的逐渐上升和突然发射。在地震模型中，一个板块的滑移可能足以引发其他板块的滑移，正如神经元放电可以引发大脑中其他神经元发射的连锁反应。这种级联的传播便会引发地震或癫痫发作。根据系统中其他要素的具体配置，结果可能会是轻微的隆隆声，也可能是一场大地震。
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相同的数学结构也会出现在其他交互系统模型中，从森林大火到大规模物种灭绝。每一种情况下，都会有某一个体受到越来越大的压力，逐渐趋向阈值，然后突然释放，并把压力传给其他个体，这有可能引发多米诺骨牌效应。在20世纪90年代早期，具有这种特征的模型风行一时。对这种连锁反应的统计分析结果多数微不足道，但也有一些是灾难性的。物理学家伯·巴克（Per Bak）和他的合作者就对统计结果，连同他们所谓的自组织临界性一起进行了理论研究。
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