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为了了解为什么极坏点不占面积，我们把它们看成一个集合，进而检验当我们把变换应用到该集合中的所有点时，会发生什么。每个极坏点都会跳到其他地方，但变换后它仍是极坏点。这几乎是个无限循环：如果一点永远不会被吸收，那么经过一次变换后，它仍然永远不会被吸收。因此，新点还是极坏点。由于初始集合包括所有的极坏点（根据定义），所以这个新点必定潜伏在其中的某个地方，再从这里开始新的变换。
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结论是，变换后的集合完全落在初始区域之内。更直观地讲，就像减肥广告中经常使用的“减肥前”和“减肥后”的对比照片那样。变换后的集合，即“减肥后”的照片，完全包含在了“减肥前”的照片之内，正如减肥广告所承诺的那样。
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到目前为止，我们的论据中尚未使用任何关于充电曲线形状以及刺激大小的信息。当最终把这些细节考虑在内的时候，我们遇上了一个乍看上去似乎有些矛盾的问题，然而它实际上是论据的要点。我和伦尼能够证明“减肥前”和“减肥后”的变换有点像复印机的放大功能。任何一组点经过变换后都会放大，这与你选择的点的集合无关，就像与你放在复印机上的图片无关一样。而任何一组点的区域都会增大，特别是极坏点的集合也会放大。这里需要注意的是，这意味着极坏点的集合膨胀了，而不是收缩了，似乎与我们之前得出的结果相矛盾。更准确地说，变换后的极坏点的集合必须落在初始集合的内部，而现在它的范围却变大了，这似乎是不可能的。唯一让两个结论兼容的方法是：初始集合不占据任何区域，就像“减肥前”的照片是一根棍子的形象，这样就不存在矛盾了。当乘以一个大于1的数字时，它的面积仍然是0，所以变换后的集合可以位于初始区域内部。这正是我们想要展示的：极坏点不占据任何面积。所以如果你随机选取初始状态的话，那么你永远无法选取它们。这就是这个模型中同步一定会发生的原因。
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同样的论据也适用于任意数量的振子，当有4个或更多的振子时，需要对模型进行轻微修改，用立方体或超立方体替换二维平面。在任何情况下，起始点位于坏点的概率总是0，因此佩斯金是正确的。在他的振子模型中，每个振子完全相同，并通过脉冲相互耦合，在这种情况下，每个振子最终都会一齐发射。
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为了继续深入这个证明，我们发现佩斯金的漏电假设是非常关键的，否则从“减肥前”到“减肥后”的变换不会使区域扩大，而全部的论证都会崩溃。事实上，它必须崩溃，因为没有这个假设，这个理论就是错误的。如果充电曲线向上而不是向下弯曲，即如果电压加速上升到阈值，我们的模拟显示系统未必会同步，这些振子也可能会陷入一种随机混乱发射的模式。
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当我第一次对我们的工作成果发表演讲的时候，这个微妙的漏电假设经常会让其他数学家犯错误。在我还未来得及解释的时候，一些质问者就会打断我，说这个理论毫无价值，振子毫无疑问会同步，因为它们完全相同且彼此之间的耦合完全一样。我还能期望什么呢？但这种反对太肤浅了，它忽略了充电曲线形状的微妙影响。只有当曲线朝正确的方向弯曲的时候，同步才必定会发生。用生物学术语讲，充电曲线的形状决定了刺激是在周期开始（靠近零电位）时更有效，还是在周期结束（靠近阈值）时更有效。当曲线如佩斯金的模型一样向下弯曲的时候，对于一个给定的刺激电压，曲线上靠近阈值的振子会移动更大的相位，从而确保系统走向同步。然而，想要了解其原因，就需要进行复杂的计算，而且一定不是显而易见的。
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我们对佩斯金猜想的证明是首个对于多振子脉冲耦合问题的严格解释。然而，与真正的萤火虫或心脏起搏细胞相比，我们的模型是经过简化的。它假定，一个振子的发射总是刺激其他振子向阈值移动，从而超前它们的相位，而真正的生物振子通常会同时超前或延迟振子的相位。此外，泰国的萤火虫最为擅长同步，这个物种被称为屈翅萤（pteroptyx malaccae）。它们使用的是一种完全不同的策略，即通过不断调整自己的时钟频率，而不是调整相位，来响应接收到的闪光。换句话说，它们是在使自己的生物钟变快或变慢，而不是把分针前后拨动。通过进一步假设所有振子都是完全相同的，该模型忽略了任何真实的生物群体中所固有的遗传差异。最后，我们假定所有振子之间的相互影响是相同的，这对于心脏起搏细胞是一个粗略的近似假定，事实上，心脏起搏细胞主要影响的是与它邻近的细胞。鉴于分析中的各种局限，我们对它将要引起的反响毫无准备。
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接下来的短短几年中，共有百余篇关于脉冲耦合振子的论文发表，这些科学家遍及从神经生物学到地球物理学的各个学科。在神经生物学中，研究神经网络的理论家已经开始对流行方法感到不耐烦。流行方法主要通过描述神经元的平均发射速率（每秒钟的尖峰个数）来粗糙地描述神经元，而不是根据尖峰自身的实际时间。这个脉冲耦合振子的新框架完全符合时代的情形和需要。
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由于科学社会学发展中的一次意外，或是因为一种神秘的时代思潮，在20世纪90年代早期，其他领域的科学家也在思考这些系统。例如，加州理工学院的著名生物物理学家约翰·霍普菲尔德（John Hopfield）指出了脉冲耦合神经元与地震之间的关系。在简化的地震模型中，由于地壳板块不断相互拉扯，产生的应力不断增大，直到到达一个阈值，导致板块突然滑动，以一次大爆发释放积蓄的能量。整个过程很容易让人联想起神经元电压的逐渐上升和突然发射。在地震模型中，一个板块的滑移可能足以引发其他板块的滑移，正如神经元放电可以引发大脑中其他神经元发射的连锁反应。这种级联的传播便会引发地震或癫痫发作。根据系统中其他要素的具体配置，结果可能会是轻微的隆隆声，也可能是一场大地震。
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相同的数学结构也会出现在其他交互系统模型中，从森林大火到大规模物种灭绝。每一种情况下，都会有某一个体受到越来越大的压力，逐渐趋向阈值，然后突然释放，并把压力传给其他个体，这有可能引发多米诺骨牌效应。在20世纪90年代早期，具有这种特征的模型风行一时。对这种连锁反应的统计分析结果多数微不足道，但也有一些是灾难性的。物理学家伯·巴克（Per Bak）和他的合作者就对统计结果，连同他们所谓的自组织临界性一起进行了理论研究。
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霍普菲尔德的见解是，自组织临界性可能与脉冲耦合振子系统的同步密切相关。这两个领域之间可能存在的诱人关系催生了探讨其各种可能性的数十篇论文，其中的插曲也体现了利用数学揭示貌似毫不相关的现象之下潜在的统一方法。
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我们的工作成果还引起了媒体的关注，很大程度上是因为它与萤火虫相关，这勾起了人们对于童年时代的回忆——在夏日的夜晚把这些发光的昆虫捉进玻璃瓶中。拜新闻报道所赐，我于1992年收到了一封来自田纳西州诺克斯维尔市的一名叫琳恩·福斯特（Lynn Faust）的女士寄来的信。她准备用一种优雅谦逊的方式，打破已经持续了几十年的萤火虫同步的神话。她在信中写道：
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我确信你意识到了这一点，但是以防万一，在田纳西州埃尔克蒙特附近的大雾山国家公园中也存在一种群体同步的萤火虫。这种萤火虫在6月中旬的每晚10点左右“开始活动”。它们先是熄灭6秒钟；然后便是完美的同步，数千只萤火虫在3秒内迅速闪亮6次，随后又是6秒的黑暗。
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我们在埃尔克蒙特有一间小屋（公园管理人员定于1992年12月将其拆除），据我们所知，只有在这一小片区域，才有这种特殊类型的群体同步的萤火虫存在。
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它们十分美丽，与那些黄昏后就开始闪烁的普通萤火虫非常不同。
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从那间小屋旁越过小溪，山坡上面的萤火虫会比山下的稍微提前一些开始它们的闪光周期，所以光点看上去就像“倾泻而下的萤火虫瀑布”。
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琳恩写信给公园管理人员，表示对他们收回埃尔克蒙特居民房屋的计划非常担忧，因为这可能会在科学家研究这些萤火虫之前破坏它们的栖息地。这个奇观在公园的其他地方都未曾有过，就算在一公里之外都没有，这向琳恩暗示了当地居民一定做了使这种奇观成为可能的事情。她猜测，其中的关键可能是刚被修剪过的草坪。50年来，埃尔克蒙特居民大约每两周修剪一次草坪，这使得萤火虫幼虫可以钻进短如苔藓一般的草丛过冬。同样在这片草丛中，它们春天孵化、夏天繁殖。总之琳恩认为，如果没有埃尔克蒙特周围的居民修剪草坪，这些萤火虫可能就会永远从科学界消失。
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为了证实她的草坪假说，琳恩注意到，自己发现了萤火虫最集中的地方。正是靠近小屋并延伸到修剪过的草坪的区域……不再定期修剪草坪的莱姆·欧文比大叔家已经没有幼虫了。15年来，从迈纳·麦克金纳的小屋到杰克小溪之间的草坪已经被森林所取代，而此处的萤火虫数量明显减少。
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琳恩同样担忧失去她的小屋和社区。琳恩一家人享受萤火虫的灯光表演已经40年了。每年6月，他们家三代人都会将自己裹在毯子里，静静地坐在黑暗的门廊上，等待节目的上演。
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琳恩一家人如此熟悉的景象对于科学来讲是如此新奇。琳恩家后院的观测报告可能会成为西半球萤火虫同步研究的首个完备案例。自从20世纪初《科学》杂志上爆发争论之后的数十年中，人们都武断地相信这种奇迹永远不会在美国，只会出现在亚洲和非洲。我让琳恩与乔纳森·科普兰（Jonathan Copeland）取得了联系，乔纳森·科普兰是佐治亚南方大学附近的一位萤火虫研究者。他同他的合作者，康涅狄格大学的安迪·莫采夫（Andy Moiseff）证实，琳恩家附近的萤火虫是同步闪光的，相互之间的闪光时间差不超过0.03秒。
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尽管埃尔克蒙特地区于1992年被大雾山国家公园接管，但是这些萤火虫并没有受到影响，“灯光秀”已经成为旅游项目。至于琳恩·福斯特，她仍在继续探索着自然界中无处不在的同步，依然继续着自己的新发现。在一封1999年给我的来信中，琳恩写道：“这个春天，我注意到的不过又是一种简单的同步：当四只家养雄火鸡在春季交配时节聚在一起的时候，头火鸡先叫一声，随后它们就会围成一圈，齐声‘咯咯’叫。”
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并非所有人都懂得欣赏动物界迷人的同步现象。1993年5月18日，《国家询问报》刊登了一篇文章，题目是“政府，你将大把的税收用于研究婆罗洲（一半属马来西亚，一半属印尼）的萤火虫，太不明智了！”这篇文章嘲笑国家科学基金会为科普兰的一个提案提供资金，文中写到，来自威斯康星州的共和党议员汤姆·佩特里（Tom Petri）表示：“我认为这项研究并没有什么启发性，如果是我，我会驳回这个提案。花纳税人的钱研究萤火虫，听上去可不是个好主意。”
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我们很难责备佩特里议员没有发现关键所在。研究萤火虫的价值将带给我们无尽的惊奇。例如，在1994年以前，网络工程师经常被路由器之间通信的自发搏动所困扰，直到他们认识到这些机器的行为就像萤火虫，定期地交换信息使它们在不经意间形成了同步。原因确定之后，该如何解决信息拥堵就显而易见了。有电子工程师设计了一个分散的架构，使计算机的时钟电路更为高效，这种设计模仿了萤火虫低成本、高可靠性实现同步的策略。这种卑微的生物甚至有助于拯救人类的生命。就在佩特里议员的嘲讽登报的同一星期，《时代周刊》的一篇文章中写到，医生们借用萤火虫的发光酶，即荧光素酶，来加快对治疗耐药结核菌的药物进行测试。
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