打字猴:1.701062487e+09
1701062487 伦尼的简化模型不仅清晰(减少了大量代数运算),而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释,我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子,无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀,也无论是神经元还是萤火虫。
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1701062489 我们能够证明,对于任意数量的振子,无论它们如何启动,这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念,简单来说就是,如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值,它们便会永远保持同步,仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中,吸收是显而易见的,振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的:一旦两个振子一起发射,它们就再也不会自己分开,因为它们的动力学特性完全相同。此外,它们与其他振子的耦合也完全相同,所以即使被其他振子刺激,它们也会保持同步,因为它们受到的刺激是相同的。因此,吸收的作用就像棘轮,总是会把系统推向同步。
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1701062491 这个证明的核心是,一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中,直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家,你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式,如何才能包含所有的可能性?如何确保会发生足够多次的吸收,使系统一路走向最终的同步?
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1701062493 我会在下文概述原因,不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样,经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程,充满了模糊的想法和图景,特别是在证明的初期,而那些严谨的证明后来才会出现。
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1701062497 第一步是列出所有可能的起始状态。例如,让我们重新考虑两个振子的情形。由于有佩斯金的频闪方法,我们无须在所有时刻都观察振子,观察每个周期中的一个时刻就足矣。我们选择振子A发射后返回零位的时刻,那么振子B可能位于零电位与阈值之间的任意位置。将B的电压视为数轴上的一点,零电位是0,阈值是1,我们可以看到不同的可能性组成了一个线段。这个一维线段包括了系统所有可能的起始条件(因为我们知道A位于0点,刚刚释放回到零位;B的电压是唯一的变量,一定位于0和1之间的线段上的某个位置)。
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1701062499 3个振子创造了一个更大的概率空间。现在我们需要了解两个数字:鉴于A刚刚释放回到0点,我们仍然需要指定这一刻振子B和C的电压数值,我们要看到这两个概率的分布,即B和C电压的所有组合。与几何学上与一对数字对应相似,我们可以把它们看作二维空间中一个点的横纵坐标。
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1701062501 我们画出x、y平面,与高中数学类似,x轴为横坐标,代表A发射时B的电压。y轴为纵坐标,代表同一时刻C的电压。一对电压值便可表示为此平面中的一个点。
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1701062503 因为我们允许B和C的电压可以独立地在0和1之间自由变化(包含所有的可能性),相应的点便在一个正方形区域内移动。正如旋转蚀刻素描(2)上的两个旋钮在正方形屏幕上移动机械笔。
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1701062505 3个振子的结果是,所有可能的初始条件构成了一个正方形区域:一个轴表示B,另一个表示C。在这里,我们不需要为A建立一个轴,因为A的起始位置总是在0点,通过我们对系统的定义便可以知晓(见图1-2)。
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1701062510 图1-2 3个振子同步模拟示意
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1701062515 图1-2 3个振子同步模拟示意(续)
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1701062517 模式变得清晰了。随着振子的增加,我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件,5个振子则需要一个四维超立方体来表示,而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信,但如果你尝试去描绘它的话,它确实如此。但是在数学形式上,处理所有维度的方法都是一样的,并不存在新的困难。所以,我选择了继续关注3个振子的情形,它包含了所有的主要思想。
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1701062521 下一步是将动力学状态(即系统随时间的演化)转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下,最终是否会同步。
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1701062523 你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升,然后发射,最终回到零位;它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息,我们再次利用频闪法,让系统在黑暗中运行,直到下一次振子A发射后回到零位,振子B和C做出反应。然后打开闪光灯,用照片记录下B和C的新位置。
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1701062525 在几何图形中看来,正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点,即B和C更新后的电压。换句话讲,系统的动力学演化等同于一次转变,即把正方形中任意给定的点转移到新的一点,转移的依据是一些复杂的规则,取决于充电曲线的形状和刺激的大小。
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1701062527 这个过程是可以重复的,新点可以视为起始点,然后通过变换转移到其他位置,它一次次地重复,蹦蹦跳跳地从正方形中的一个点跳跃到另一个点。如果系统注定会同步,那么这个点最终会跳跃到正方形的左下角,即电压坐标为(0,0)的点,这意味着两个振子同时到达了零电位。为什么会是这个角落?因为这是振子A的位置。根据我们对频闪的定义,A刚刚发射并复位,所以它的电压为0。在同步状态下,其他两个振子的电压也是0。
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1701062529 原则上,针对每个初始点的情况,都可以计算出最终结果。如果所有振子最终都同步发射,那么我们就把这个初始点称为“好点”,否则就是“坏点”。我和伦尼从未找到一种方法来准确判断每个点的好坏,但我们设法证明了几乎所有的点都是好点。坏点虽然存在,但是数量很少而且十分稀疏,把它们集中起来并不占面积。换言之,如果你随机选取一个点,完全不可能选到坏点。
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1701062531 这听起来或许很荒谬:如果坏点存在,你或许认为运气总会让我选到它,但事实上并不会发生。这就像往圆靶上掷飞镖,并要求它精确地落在两个分数之间的分界线上,这已经非常不可能了,而现在我们知道分界线没有宽度(就像要求它没有面积一样),这时你就可以明白为什么随机的投掷永远不会满足要求了。
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1701062533 这是伦尼对于坏点的看法,虽然我们对好点更感兴趣。他的策略很容易让人联想到艺术设计中的负空间概念,即想要了解一个物体就要去了解物体周围的空间,特别是他找到了一种方法可以证明坏点不占面积。
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1701062535 为了表现出论证的风格,我们可以专注于坏点中的坏点,我将这些点称为“极坏点”。这些是抵抗同步趋势最强烈的点,它们从未经历过吸收。而当系统从极坏点启动的时候,没有任何一对振子会同步,更别说整个群体了。
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