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图2-2 维纳设想中的振子牵引频谱图
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为了理解这张图中独特的曲线形状，请记住，开始时大多数振子都在靠近钟形曲线中间的位置。通过牵引彼此的频率，它们中的大多数折叠到了绝对中心，形成了一个强大的主流共识，对应图中高而窄的中心波峰。它们对其他人群的整体影响足够强大到会从两翼招募一些温和派（峰值的高度继续增加，原本温和派的位置降低，导致在中心峰值两侧形成了凹陷）。然而，这个共识的说服力还不够强大，并不足以移走位于边缘的最顽固的极端主义者，图中显示为频谱两端的肩部。
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维纳预测，阿尔法脑波会在其频谱中呈现出与之相同的奇特波峰和两个凹陷。如果是这样的话，这将为他的想法构筑强有力的证据，阿尔法脑波是由不同频率的振子之间的同步所引起的。要证明这种想法的正确性，维纳需要一种前所未有的高精度测量频谱的方法。在这里，维纳计划开发一种实验技术，而他的同事，麻省理工学院电子工程师沃尔特·罗森布里斯（Walter Rosenblith）在数年之前已经开发出了这项技术。罗森布里斯发明了一种在磁带上记录脑电波的方法，而不是在纸上记录。这意味着数据可以通过电子方式处理，首次实现了对脑电波频谱的定量计算。以前所有的工作都是定性分析：依赖于模式识别和接受过培训的专家的主观判断，这些专家学习过在脑电波曲线中发现模式。现在，利用罗森布里斯的方法，人们可以自动、客观地进行计算。
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在维纳写作于1958年的专著中，他宣布了结果，但他只是作了粗略的介绍，而不是展示实际的数据（如果研究结果真的令人信服，其他科学家都会这么做）。他画了一张草图版的测量频谱，图中曲线如前图所示。结果似乎有些太过巧合，吻合得令人难以置信，维纳似乎在刻意隐瞒什么。
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然而，他的文字背叛了他的自信。维纳认为，“频率牵引”是自组织的一种普遍机制，不只是大脑中振子的运转，它在自然界中无处不在，在生物和非生物中都是如此。在一次福音派的请愿中，维纳呼吁生物学家对青蛙、蟋蟀以及东南亚的萤火虫进行实验，而这发生在萤火虫的同步闪光现象记录在科学文献中很久以前。“在未进行实验之前，我不敢对实验结果发表意见，但这一研究方法让我觉得有希望，而且不太困难。”维纳在1961年写道。
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维纳的下一项工作是阐明“频率牵引”的详细理论，然而，当他试图用严谨的数学论证来支持自己的直觉的时候却遇到了难以克服的困难。他做了一些粗略的计算，但问题很棘手，最终一无所获。1964年，维纳逝世，遗憾的是，他最后也没能解决这一问题。而在一年后，一名大学生发现了解决问题的正确方法。
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当时，阿瑟·温弗里是康奈尔大学工程物理专业的高年级学生。他很久以来就梦想成为一名生物学家，但他并未选择传统路线，而是选择了数学和物理学的核心训练，希望能获得一套不同的工具。电子学、计算机科学、量子力学、微分方程等都是大多数生物学家从不接触的领域。
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当温弗里思考群体同步问题时，他想到了振子本身，而不仅仅是它们的频率。在这方面，他对这个问题的概念化要比维纳明确得多。温弗里不只是通过振子所倾向的运动速度来标记每个振子，即上文类比中的振子在政治频谱中的位置，相反，他描绘了振子在其周期中的每一步运行，归根结底，这是每个振子的精髓。当时，这个新出现的难题几乎击退了任何人，但这也正是年轻的优势——不知道什么是不可能。
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温弗里故意简化了模型。他意欲将其一般化，使之足以适用于所有生物振子群体。对于合唱的蟋蟀、闪光的萤火虫、脉动的起搏神经元等，捕捉它们的共同特征的唯一方法是忽略其所有的生化差异，聚焦于所有生物振子共有的两个属性：发送和接收信号的能力。
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使得问题如此困惑的原因是：这两个属性的变化贯穿于振子的整个运动周期，它们的影响度和灵敏度都是相位的函数。例如，萤火虫的闪光周期通常包括一次突然的闪光，随后是一段时间的黑暗，在此期间它会为闪光器官充电，然后是另一次闪光，循环往复。实验表明，接收端的萤火虫会注意另一只萤火虫的闪光，同时忽略黑暗。所以在温弗里的数学描述中，“影响度函数”在两个水平之间变化，在周期中的闪光阶段数值较大，在黑暗阶段接近为零。类似地，“灵敏度函数”将振子如何响应接收的信号进行了编码。在周期中的某个阶段看到闪光会使萤火虫调快身体内部的定时器；而在周期中的另一个阶段看到闪光，看似相同的刺激则会减慢计时器，或不产生影响。在温弗里的模型中，描述一个振子所需要的只有这两个函数，一旦它们被选定，振子的行为就可以被确定，无论是作为信号的发送者还是接收者。
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为了使这些想法尽可能具体化，我们可以将一个振子看作一名在围绕着一个圆形跑道跑步的跑者。跑道上的不同位置代表了生物活动中振子周期的不同相位。例如，如果跑道代表月经周期，那么其中就有一个位置对应排卵，另一个位置对应月经。两个位置之间的跑道便对应于期间的荷尔蒙分泌。跑完一圈后，跑步者就会又回到排卵期。再如，如果跑道代表萤火虫的闪光节律，不同的位置就暗示着萤火虫的发光机制，即从闪光到闪光器官充电积聚能量，再到下次闪光的过程。
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这样看来，两个耦合振子就像两名慢跑者跑步时彼此不间断地喊口令。口令的内容和强度是由他们当前在跑道上的位置决定的；这些信息都被总结在了温弗里的“影响度函数”中。例如，如果一名跑步者的“影响度函数”当前是较小的正值，他就会对另一人喊道：“喂，请稍微跑快点。”另一方面，如果“影响度函数”当前是较大的负值，他便会对另一人喊：“你跑得太快了，慢下来！”“影响度函数”为零则意味着跑步者什么都没对同伴说。久而久之，随着两名慢跑者围绕着跑道前进，他们喊的口号也在不断变化。
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这个框架非常普遍，可以适用于萤火虫、蟋蟀以及神经元之间类似脉冲的相互作用，即类似于一声突然的尖叫，随后周期中其余的部分全部保持沉默；也适用于麦克林托克和斯特恩发现的信息素对月经周期的持续影响，即一系列不断变化的加速或减速的请求。
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与此同时，两名慢跑者都在倾听和叫喊，他们如何对接收到的信息做出反应取决于温弗里的另一个函数——灵敏度函数，其函数值同样在跑道各处都发生着变化。当灵敏度是较大的正值时，慢跑者会服从此刻接收到的任何指令；当灵敏度为零时，他会忽略指令；当灵敏度为负值时，他会违背指令，即想让他减速时他却加速，反之亦然。这个模型同样也是很普遍的，远超过上一章中讨论的佩斯金的模型。佩斯金的模型假定振子受到刺激只能前进，而在温弗里的模型中，振子可以超前或滞后，这取决于当它们接收到脉冲时在周期中的位置。实验已经表明，后者反映了多数真实生物振子的行为。
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为简化起见，温弗里进一步假定，给定群体中的所有振子具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”。同先前维纳所做的一样，温弗里也将个体差异考虑在内：他假定群体中振子的固有频率是按照钟形曲线随机分布的。在跑道模型中，我们可以把这群振子视作一个跑步俱乐部，有数千名跑步者同时奔跑在跑道上。多数跑步者处于平均速度，但是俱乐部中也有跑得快的家伙，他们是学校中的田径明星；也有动作迟缓的家伙，他们懒散了多年，正在减肥。换句话说，俱乐部中的跑步者身上存在能力分布，就像生物种群中的振子存在固有频率分布一样。
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似乎所有这一切还不够复杂，这个模型最后一个需要指定的方面是：连接。温弗里必须假定谁在向谁喊口令，谁在听谁的口令。这会产生很大差异，差异取决于他头脑中思考的生物学实例。例如昼夜（大约24小时）节律：在这种情况下，温弗里猜测可能是人体周身存在生物钟细胞，每个细胞都会在一天的周期中分泌化学物质使进入血液。每个细胞都会沐浴在其他所有细胞的分泌物中，这也就意味，每个细胞都会与其他所有细胞通信。另一方面，蟋蟀最关注邻近伙伴的鸣叫。而对于大脑中振荡的神经元来讲，彼此间相互纠缠的复杂连接简直深不可测。
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温弗里回避这些复杂的连接，将其简化为了最简单的问题，但后来他又意识到，问题依然极其困难。他想知道如果每个振子受到所有其他振子的影响都是相等的会发生什么，就好像每一名跑步者都在回应所有其他人的口令，而不是仅仅回应他身旁人的口令。或用一个更直观的比喻，想象你坐在一个拥挤的音乐厅中，精彩的演奏结束后，如果听众开始一齐起立鼓掌，你会被整个房间内雷鸣般的节奏所驱使，而不是仅受到邻座人的影响。
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温弗里列出了他的振子系统的方程，描述了每个振子完成周期的速度。在任何时刻，一个振子的速度都是由三个因素决定的：它偏爱的步调，这与它的固有频率成正比；它当前对所有外界影响的敏感度，这取决于它处于自身周期中的位置；以及其他所有振子对其产生的总体影响，这取决于每个振子分别处于各自周期中的位置。这是海量的数学账目，但原则上，整个系统每时每刻的状态是由每个振子当前的位置决定的。换句话说，对于现状的全面了解使完整地预测未来成为可能，至少在理论上是这样。
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计算有条不紊地进行着。给定所有振子的位置，我们就可以根据温弗里的方程计算出它们的瞬时速度。这些速度随后告诉我们，每个人在下一瞬间会前进多少。假设一个瞬间只是一个很短的时间间隔，所有的振子在这段时间内平稳运行。那么每个振子绕着圆环移动的距离就等于它的速度乘以移动的时间，就像高速公路上行驶的汽车。所以，所有振子现在都可以前进到它们的新相位，然后计算一遍又一遍地重复，每次前进一个瞬间。至少在概念上，如果我们长时间重复这个过程，就会看到是什么样的命运在支配着这个振子群体。
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我刚刚描述的是被称为“微分方程组”的系统。每当我们需要利用当前位置来确定速度规律的时候，就会建立这种方程组。这类问题在牛顿的时代就进行了研究，最初主要与太阳系中的行星运动相关。太阳系中的每个行星都通过万有引力吸引其他行星，改变它们的位置，而这又进一步改变了它们之间的万有引力，以此类推。这与温弗里的振子模型非常类似，振子的相位不断变化，振子之间的影响度和灵敏度也在不断变化。正是为了解决这样的难题，牛顿发明了微积分。牛顿解决了“二体问题”，证明了地球围绕太阳运行的轨道正如开普勒先前提出的那样是一个椭圆，这是西方科学的伟大成就之一。然而奇怪的是，“三体问题”却非常难解。200多年来，世界上众多优秀的数学家和物理学家都在试图找到三个相互吸引的行星的运动方程，直到19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱才证明这项工作是徒劳的，因为方程的解根本不存在。
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此后，我们开始认识到大多数微分方程组都不可解，与上文的原因一样，我们无法找到方程的解。然而，有一种特殊情况例外，线性微分方程组是可解的。我们暂且无须关注“线性”的技术意义，重要的是，线性方程组本质上是模块化的，即一个大的、杂乱的线性问题总是可以被分解成各个更小、更易于处理的部分。每部分都可以单独解决，所有的小答案可以重新组合起来解决更大的问题。所以，对于线性问题而言，整体精确地等于部分的总和。
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然而，线性系统无法应用于太丰富多样的行为。传染病的传播、激光束强烈的相干性、湍流的摆动……所有这些都是由非线性方程组控制的。当整体不等于部分之和的时候，即当系统中存在合作或竞争的时候，控制方程一定是非线性的。
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基于以上原因，对于温弗里看到他的生物振子的微分方程组发现方程组是非线性的时，我们并不感到奇怪。他在物理课和工程课上学到的线性方法现在毫无用处，他永远也无法找到微分方程的解。至于非线性方法，只有很少一部分可用，而且被限制在非常小的系统中，例如单个振子和两个耦合振子。对于温弗里所问的这类问题，即成千上万个相互作用的非线性振子的群体动力学特征，他必须找到自己的解决方法。
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