1701062708
1701062709
◎ ◎ ◎
1701062710
1701062711
温弗里选择了用计算机来模拟他的模型。相比于数学方法，这更像是在做实验。计算机会跟踪运行在圆形轨道上的不同速率的振子。计算机并不关心是线性还是非线性，有解还是没有解，它只是一次一小步，慢慢前进，为模型的真实行为提供近似参考。温弗里希望模拟结果能够带给他关于振子行为的一些直觉上的认知。至少他可以看到发生了什么，即便并不理解原因。
1701062712
1701062713
事实上，有一种极限情况是容易理解的。如果这些振子完全忽略彼此，那么它们就会四散在圆形轨道上，因为每个振子都会按照自己偏爱的速度运行，不受其他振子的影响。速度快的会追上速度慢的，并最终套它们的圈。最终，系统内到处都是振子，这种系统被称为是不相干的。这就像演唱会中观众鼓掌的方式，我们都忽略彼此，只按照自己感觉舒服的节奏鼓掌，最终呈现出来的整体效果就是一阵持续、毫无节奏的喧嚣。
1701062714
1701062715
温弗里的模拟经常走向与之相同的不相干系统，甚至在考虑到振子的“影响度函数”时，群体仍然会积极地反抗同步。即使所有振子都从同相位起始，它们也会抵制一致，并打乱各自的节奏，整个群体始终处于混乱无序的状态。
1701062716
1701062717
但是对于其他影响度和敏感度的组合，温弗里发现，群体会自发同步。无论振子的初始相位如何，它们中的一些总会凝聚成紧密的一团，并围绕轨道同步运行。现在，群体的状态更像某些音乐会观众，没有任何刺激就会爆发出同步的掌声。
1701062718
1701062719
在这种情况下，同步就会在合作中出现。一旦几个振子偶然中出现了同步，它们联合一致的叫喊声就会从嘈杂的背景声中脱颖而出，对其他振子产生更大的影响。这些核心振子会召集其他振子向它们趋近，使得核心振子数目更多，信号更强。由此产生的正反馈过程也导致了一种失控、加速的同步的爆发，许多振子纷纷趋近并加入这个新兴的集团。然而，也有些振子会一直保持非同步状态，因为它们的固有频率太过极端，耦合作用令它们难以融入。最终的结果就是，一个群体分裂成为一个同步组和边缘的一群杂乱的振子。
1701062720
1701062721
温弗里发现，当系统自发同步的时候，没有任何振子是不可缺少的。它们之中没有领袖，任何一个振子都可以被移除，同时也不影响系统的运行。此外，群体无须以其中速度最快的成员的速度运行。根据“影响度函数”和“灵敏度函数”的选择，群体可以按照其成员的平均速度运行，也可以比任何成员的速度更快或更慢。这种现象极其违反直觉，群体的同步不是等级制度，但它也并不总是纯粹的民主状态。
1701062722
1701062723
温弗里最重要的发现来源于一个奇怪而又极具想象力的思想实验。相比于处于固有频率并呈钟形曲线的单一振子群体，他想象了一个由这种群体构成的族群，每个群体都比前一个更为均匀，或者你也可以想象有许多个不同的跑步俱乐部（见图2-3）。
1701062724
1701062725
1701062726
1701062727
1701062728
图2-3 不同跑步俱乐部中成员同步程度
1701062729
1701062730
第一个群体极为多样化，成员们能力范围分布很广。而温弗里发现，这样的俱乐部永远不会同步，其中的任何成员都不会扎堆一起跑，即便他们的“影响度函数”和“敏感度函数”倾向于使他们聚在一起。最后，他们只会徒劳地喊叫和倾听，他们的多样性会压倒群体成员在一起跑步的共同愿望，让他们分散在圆形跑道各处，就好像他们彼此互不理会，都在按照各自偏爱的速度跑步。
1701062731
1701062732
现在我们来观察一下类似于第一个，但稍微一致一些的团队。其成员具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”，但他们的能力分布在一个更窄、更陡的钟形曲线上，这意味着团队中更多的跑步者处于平均水平，跑得极快和极慢的家伙较少。你会认为，这个俱乐部实现同步的机会会更大，至少有一部分成员会同步，但温弗里发现结果完全相反。通过逐渐增加同类振子的数目，温弗里发现，直到达到一个临界点才会出现同步，这个临界点便是多样性的阈值。然后，有些振子会突然自发锁定它们的频率，开始一起跑步。随着温弗里让分布变得更窄，有越来越多的振子选择了加入同步组。
1701062733
1701062734
在完善这种描述期间，温弗里发现了生物学和物理学之间的一个意外联系。他意识到，同步类似于相变，就像水凝固成冰。凝固现象本身就令人感到惊讶。当温度仅高于凝固点1摄氏度的时候，水分子就可以自由运动，相互碰撞、翻滚。此时，水是液态。而如果我们让温度稍微下降，降到凝固点以下，就会突然诞生一种新的物质形式，就像魔术一般。数以万亿计的水分子自发规则排列，形成坚硬的晶格，我们把这种固态晶体叫作冰。随着频率分布的广度降低到临界值以下，同步是突然发生的，而不是逐渐发生。在这个比喻中，频率分布的广度类似于温度，振子相当于水分子。主要的区别是当振子达成同步的时候，它们达到的是时间上的一致，而非空间上的一致。这种概念上的转变是温弗里比喻中的巧妙之处。
1701062735
1701062736
有了这一发现，温弗里就在过去很少注意彼此的两个伟大学科之间的建立了联系。一个是非线性动力学，主要研究系统随时间演化的复杂方式；另一个是统计力学，它是物理学的分支，主要研究原子、分子或其他简单粒子构成的巨大系统的集体行为。这两个学科都可以相互弥补对方的缺陷。一方面，非线性动力学可以轻松处理只有少数变量的小型系统，但它无法处理大粒子群，而这对于统计力学而言只是小儿科。另一方面，统计力学擅长分析达到平衡状态的系统，但它不能处理任何随时间振荡或不断变化的事物。
1701062737
1701062738
现在，温弗里已经为这一混合理论铺平了道路，它比单独的任何一个理论都更强大。这是科学向前发展的关键一步，它最终能够揭示自发同步在时间和空间上的奥秘。在更实用的层面上，这意味着统计物理学的分析技术现在可以用来解决大脑细胞、萤火虫以及其他生物同步的谜题。
1701062739
1701062740
◎ ◎ ◎
1701062741
1701062742
几年后，一位年轻的日本物理学家藏本由纪看到了温弗里的书。他同样着迷于时间上的自组织现象，想要寻找一种方法来渗入其数学核心。1975年，他聚焦在了一个比温弗里模型更简化、更抽象的模型上，在令人炫目的精巧构思中，藏本由纪展示了精确解决这一问题的方法。
1701062743
1701062744
藏本由纪的模型是一项惊人的成就，它是由无穷多微分方程组成的方程组，每个方程都是非线性、相互耦合的。这类问题几乎不可解，但也确实存在极少数例外，它们就像钻石一样，因美丽而无比珍贵，稀有的它们展现出了非线性的一面。在这种情况下，藏本由纪的分析揭示了群体同步的本质。
1701062745
1701062746
乍看起来，我们很难看出藏本由纪的模型结构的特殊之处。与维纳在书中所写的一样，藏本由纪的模型结构同样描述了一个庞大、固有频率呈钟形曲线分布的振子群体。在温弗里的模型中，振子彼此之间的相互作用完全相同。而藏本由纪关键的创新是用一种特殊的相互作用取代了温弗里的“影响度函数”和“灵敏度函数”，这是一种高度对称的规则，包含并改善了维纳的“频率牵引”概念。
1701062747
1701062748
仅有两个振子组成的群体，其振子之间的相互作用的性质是最容易理解的，我们可以把它们设想成两个朋友在圆形跑道上一起慢跑。作为朋友，他们想边跑步边聊天，所以每个人都对自己原有的速度进行了调整。藏本由纪的模型中设定的规则是，领先者速度减慢的量与落后者速度增加的量相同。为了提升精确度，调整量的大小计算方法如下：用二人之间夹角的正弦函数值，乘以一个叫作“耦合强度”的数值，这个数值决定了可能的最大调整量。这种调整作用倾向于使振子同步。然而，如果他们固有的速度之间的差异远大于耦合强度，他们便无法补偿二人之间的能力差异。速度快的会逐渐甩开速度慢的，并套他的圈，在这种情况下，他们都应该考虑寻找新的慢跑伙伴。
1701062749
1701062750
这个规则的对称性让它可以通过数学进行分析。而跑道各处完全相同的前提条件与温弗里最初的构想不同，在他看来，不同的位置对应生物活动周期中不同的重要事件。但对于藏本由纪而言，所有位置都是没有区别的，不存在地标。事实上，跑步者无法知道自己的位置，所以他们只会默默奔跑，不再叫喊和倾听，但是他们会仔细观察对方。无论位于跑道的何处，他们都会利用上文中的公式适当调整自己的速度，该方程只取决于两人之间的距离，与他们各自的位置无关。
1701062751
1701062752
现在，我们可以想象一个由更多振子组成的群体，像刚才那样，将其设想成一个跑步俱乐部，俱乐部成员能力各异。成员之间相互作用的规则是每名跑步者都观察其他人，针对每个人都计算一个试探性的速度修正值，然后计算出这些修正值的平均值，这个平均值就是跑步者要采用的速度修正值。例如，假设这些跑者在某一时刻形成了非常紧密的小组，藏本由纪的规则是告诉领跑者要放慢自己偏爱的速度，因为他察觉到了所有人都在身后；位于小组中间的跑步者会收到混合信息，即有些人告诉他要加速，有些人告诉他要减速；而落后的跑步者会感受到同伴的压力，从而提高自己的速度。
1701062753
1701062754
所有这些修正每时每刻发生在每个振子身上。为了使振子之间的相互协调更有趣，我们可以假设跑步者们在跑道的随机位置开始。开始的时候没有小组，即使形成了小组，也未见得会出现在最前面领跑的位置，任何位置都是可能的。小组的形状自始至终都在发生着变化，交替领先，就像跑步者们自行按部就班一样。
1701062755
1701062756
我们并不清楚一段时间后会发生什么。田径明星可能会脱离小组，并开始套他们的圈，而懒散的人则会落后，或者甚至根本没形成小组。速度分布的范围可能太大，使得俱乐部分崩离析，跑步者四散到跑道各处。在这种情况下，每个人接收到的都是混合的信号：快点！慢点！这时，速度修正就被抵消了，每个人都开始按照自己偏爱的速度奔跑。
1701062757