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与此同时，两名慢跑者都在倾听和叫喊，他们如何对接收到的信息做出反应取决于温弗里的另一个函数——灵敏度函数，其函数值同样在跑道各处都发生着变化。当灵敏度是较大的正值时，慢跑者会服从此刻接收到的任何指令；当灵敏度为零时，他会忽略指令；当灵敏度为负值时，他会违背指令，即想让他减速时他却加速，反之亦然。这个模型同样也是很普遍的，远超过上一章中讨论的佩斯金的模型。佩斯金的模型假定振子受到刺激只能前进，而在温弗里的模型中，振子可以超前或滞后，这取决于当它们接收到脉冲时在周期中的位置。实验已经表明，后者反映了多数真实生物振子的行为。
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为简化起见，温弗里进一步假定，给定群体中的所有振子具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”。同先前维纳所做的一样，温弗里也将个体差异考虑在内：他假定群体中振子的固有频率是按照钟形曲线随机分布的。在跑道模型中，我们可以把这群振子视作一个跑步俱乐部，有数千名跑步者同时奔跑在跑道上。多数跑步者处于平均速度，但是俱乐部中也有跑得快的家伙，他们是学校中的田径明星；也有动作迟缓的家伙，他们懒散了多年，正在减肥。换句话说，俱乐部中的跑步者身上存在能力分布，就像生物种群中的振子存在固有频率分布一样。
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似乎所有这一切还不够复杂，这个模型最后一个需要指定的方面是：连接。温弗里必须假定谁在向谁喊口令，谁在听谁的口令。这会产生很大差异，差异取决于他头脑中思考的生物学实例。例如昼夜（大约24小时）节律：在这种情况下，温弗里猜测可能是人体周身存在生物钟细胞，每个细胞都会在一天的周期中分泌化学物质使进入血液。每个细胞都会沐浴在其他所有细胞的分泌物中，这也就意味，每个细胞都会与其他所有细胞通信。另一方面，蟋蟀最关注邻近伙伴的鸣叫。而对于大脑中振荡的神经元来讲，彼此间相互纠缠的复杂连接简直深不可测。
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温弗里回避这些复杂的连接，将其简化为了最简单的问题，但后来他又意识到，问题依然极其困难。他想知道如果每个振子受到所有其他振子的影响都是相等的会发生什么，就好像每一名跑步者都在回应所有其他人的口令，而不是仅仅回应他身旁人的口令。或用一个更直观的比喻，想象你坐在一个拥挤的音乐厅中，精彩的演奏结束后，如果听众开始一齐起立鼓掌，你会被整个房间内雷鸣般的节奏所驱使，而不是仅受到邻座人的影响。
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温弗里列出了他的振子系统的方程，描述了每个振子完成周期的速度。在任何时刻，一个振子的速度都是由三个因素决定的：它偏爱的步调，这与它的固有频率成正比；它当前对所有外界影响的敏感度，这取决于它处于自身周期中的位置；以及其他所有振子对其产生的总体影响，这取决于每个振子分别处于各自周期中的位置。这是海量的数学账目，但原则上，整个系统每时每刻的状态是由每个振子当前的位置决定的。换句话说，对于现状的全面了解使完整地预测未来成为可能，至少在理论上是这样。
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计算有条不紊地进行着。给定所有振子的位置，我们就可以根据温弗里的方程计算出它们的瞬时速度。这些速度随后告诉我们，每个人在下一瞬间会前进多少。假设一个瞬间只是一个很短的时间间隔，所有的振子在这段时间内平稳运行。那么每个振子绕着圆环移动的距离就等于它的速度乘以移动的时间，就像高速公路上行驶的汽车。所以，所有振子现在都可以前进到它们的新相位，然后计算一遍又一遍地重复，每次前进一个瞬间。至少在概念上，如果我们长时间重复这个过程，就会看到是什么样的命运在支配着这个振子群体。
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我刚刚描述的是被称为“微分方程组”的系统。每当我们需要利用当前位置来确定速度规律的时候，就会建立这种方程组。这类问题在牛顿的时代就进行了研究，最初主要与太阳系中的行星运动相关。太阳系中的每个行星都通过万有引力吸引其他行星，改变它们的位置，而这又进一步改变了它们之间的万有引力，以此类推。这与温弗里的振子模型非常类似，振子的相位不断变化，振子之间的影响度和灵敏度也在不断变化。正是为了解决这样的难题，牛顿发明了微积分。牛顿解决了“二体问题”，证明了地球围绕太阳运行的轨道正如开普勒先前提出的那样是一个椭圆，这是西方科学的伟大成就之一。然而奇怪的是，“三体问题”却非常难解。200多年来，世界上众多优秀的数学家和物理学家都在试图找到三个相互吸引的行星的运动方程，直到19世纪末，法国数学家亨利·庞加莱才证明这项工作是徒劳的，因为方程的解根本不存在。
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此后，我们开始认识到大多数微分方程组都不可解，与上文的原因一样，我们无法找到方程的解。然而，有一种特殊情况例外，线性微分方程组是可解的。我们暂且无须关注“线性”的技术意义，重要的是，线性方程组本质上是模块化的，即一个大的、杂乱的线性问题总是可以被分解成各个更小、更易于处理的部分。每部分都可以单独解决，所有的小答案可以重新组合起来解决更大的问题。所以，对于线性问题而言，整体精确地等于部分的总和。
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然而，线性系统无法应用于太丰富多样的行为。传染病的传播、激光束强烈的相干性、湍流的摆动……所有这些都是由非线性方程组控制的。当整体不等于部分之和的时候，即当系统中存在合作或竞争的时候，控制方程一定是非线性的。
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基于以上原因，对于温弗里看到他的生物振子的微分方程组发现方程组是非线性的时，我们并不感到奇怪。他在物理课和工程课上学到的线性方法现在毫无用处，他永远也无法找到微分方程的解。至于非线性方法，只有很少一部分可用，而且被限制在非常小的系统中，例如单个振子和两个耦合振子。对于温弗里所问的这类问题，即成千上万个相互作用的非线性振子的群体动力学特征，他必须找到自己的解决方法。
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温弗里选择了用计算机来模拟他的模型。相比于数学方法，这更像是在做实验。计算机会跟踪运行在圆形轨道上的不同速率的振子。计算机并不关心是线性还是非线性，有解还是没有解，它只是一次一小步，慢慢前进，为模型的真实行为提供近似参考。温弗里希望模拟结果能够带给他关于振子行为的一些直觉上的认知。至少他可以看到发生了什么，即便并不理解原因。
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事实上，有一种极限情况是容易理解的。如果这些振子完全忽略彼此，那么它们就会四散在圆形轨道上，因为每个振子都会按照自己偏爱的速度运行，不受其他振子的影响。速度快的会追上速度慢的，并最终套它们的圈。最终，系统内到处都是振子，这种系统被称为是不相干的。这就像演唱会中观众鼓掌的方式，我们都忽略彼此，只按照自己感觉舒服的节奏鼓掌，最终呈现出来的整体效果就是一阵持续、毫无节奏的喧嚣。
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温弗里的模拟经常走向与之相同的不相干系统，甚至在考虑到振子的“影响度函数”时，群体仍然会积极地反抗同步。即使所有振子都从同相位起始，它们也会抵制一致，并打乱各自的节奏，整个群体始终处于混乱无序的状态。
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但是对于其他影响度和敏感度的组合，温弗里发现，群体会自发同步。无论振子的初始相位如何，它们中的一些总会凝聚成紧密的一团，并围绕轨道同步运行。现在，群体的状态更像某些音乐会观众，没有任何刺激就会爆发出同步的掌声。
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在这种情况下，同步就会在合作中出现。一旦几个振子偶然中出现了同步，它们联合一致的叫喊声就会从嘈杂的背景声中脱颖而出，对其他振子产生更大的影响。这些核心振子会召集其他振子向它们趋近，使得核心振子数目更多，信号更强。由此产生的正反馈过程也导致了一种失控、加速的同步的爆发，许多振子纷纷趋近并加入这个新兴的集团。然而，也有些振子会一直保持非同步状态，因为它们的固有频率太过极端，耦合作用令它们难以融入。最终的结果就是，一个群体分裂成为一个同步组和边缘的一群杂乱的振子。
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温弗里发现，当系统自发同步的时候，没有任何振子是不可缺少的。它们之中没有领袖，任何一个振子都可以被移除，同时也不影响系统的运行。此外，群体无须以其中速度最快的成员的速度运行。根据“影响度函数”和“灵敏度函数”的选择，群体可以按照其成员的平均速度运行，也可以比任何成员的速度更快或更慢。这种现象极其违反直觉，群体的同步不是等级制度，但它也并不总是纯粹的民主状态。
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温弗里最重要的发现来源于一个奇怪而又极具想象力的思想实验。相比于处于固有频率并呈钟形曲线的单一振子群体，他想象了一个由这种群体构成的族群，每个群体都比前一个更为均匀，或者你也可以想象有许多个不同的跑步俱乐部（见图2-3）。
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图2-3 不同跑步俱乐部中成员同步程度
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第一个群体极为多样化，成员们能力范围分布很广。而温弗里发现，这样的俱乐部永远不会同步，其中的任何成员都不会扎堆一起跑，即便他们的“影响度函数”和“敏感度函数”倾向于使他们聚在一起。最后，他们只会徒劳地喊叫和倾听，他们的多样性会压倒群体成员在一起跑步的共同愿望，让他们分散在圆形跑道各处，就好像他们彼此互不理会，都在按照各自偏爱的速度跑步。
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现在我们来观察一下类似于第一个，但稍微一致一些的团队。其成员具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”，但他们的能力分布在一个更窄、更陡的钟形曲线上，这意味着团队中更多的跑步者处于平均水平，跑得极快和极慢的家伙较少。你会认为，这个俱乐部实现同步的机会会更大，至少有一部分成员会同步，但温弗里发现结果完全相反。通过逐渐增加同类振子的数目，温弗里发现，直到达到一个临界点才会出现同步，这个临界点便是多样性的阈值。然后，有些振子会突然自发锁定它们的频率，开始一起跑步。随着温弗里让分布变得更窄，有越来越多的振子选择了加入同步组。
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在完善这种描述期间，温弗里发现了生物学和物理学之间的一个意外联系。他意识到，同步类似于相变，就像水凝固成冰。凝固现象本身就令人感到惊讶。当温度仅高于凝固点1摄氏度的时候，水分子就可以自由运动，相互碰撞、翻滚。此时，水是液态。而如果我们让温度稍微下降，降到凝固点以下，就会突然诞生一种新的物质形式，就像魔术一般。数以万亿计的水分子自发规则排列，形成坚硬的晶格，我们把这种固态晶体叫作冰。随着频率分布的广度降低到临界值以下，同步是突然发生的，而不是逐渐发生。在这个比喻中，频率分布的广度类似于温度，振子相当于水分子。主要的区别是当振子达成同步的时候，它们达到的是时间上的一致，而非空间上的一致。这种概念上的转变是温弗里比喻中的巧妙之处。
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有了这一发现，温弗里就在过去很少注意彼此的两个伟大学科之间的建立了联系。一个是非线性动力学，主要研究系统随时间演化的复杂方式；另一个是统计力学，它是物理学的分支，主要研究原子、分子或其他简单粒子构成的巨大系统的集体行为。这两个学科都可以相互弥补对方的缺陷。一方面，非线性动力学可以轻松处理只有少数变量的小型系统，但它无法处理大粒子群，而这对于统计力学而言只是小儿科。另一方面，统计力学擅长分析达到平衡状态的系统，但它不能处理任何随时间振荡或不断变化的事物。