1701062737
1701062738
现在，温弗里已经为这一混合理论铺平了道路，它比单独的任何一个理论都更强大。这是科学向前发展的关键一步，它最终能够揭示自发同步在时间和空间上的奥秘。在更实用的层面上，这意味着统计物理学的分析技术现在可以用来解决大脑细胞、萤火虫以及其他生物同步的谜题。
1701062739
1701062740
◎ ◎ ◎
1701062741
1701062742
几年后，一位年轻的日本物理学家藏本由纪看到了温弗里的书。他同样着迷于时间上的自组织现象，想要寻找一种方法来渗入其数学核心。1975年，他聚焦在了一个比温弗里模型更简化、更抽象的模型上，在令人炫目的精巧构思中，藏本由纪展示了精确解决这一问题的方法。
1701062743
1701062744
藏本由纪的模型是一项惊人的成就，它是由无穷多微分方程组成的方程组，每个方程都是非线性、相互耦合的。这类问题几乎不可解，但也确实存在极少数例外，它们就像钻石一样，因美丽而无比珍贵，稀有的它们展现出了非线性的一面。在这种情况下，藏本由纪的分析揭示了群体同步的本质。
1701062745
1701062746
乍看起来，我们很难看出藏本由纪的模型结构的特殊之处。与维纳在书中所写的一样，藏本由纪的模型结构同样描述了一个庞大、固有频率呈钟形曲线分布的振子群体。在温弗里的模型中，振子彼此之间的相互作用完全相同。而藏本由纪关键的创新是用一种特殊的相互作用取代了温弗里的“影响度函数”和“灵敏度函数”，这是一种高度对称的规则，包含并改善了维纳的“频率牵引”概念。
1701062747
1701062748
仅有两个振子组成的群体，其振子之间的相互作用的性质是最容易理解的，我们可以把它们设想成两个朋友在圆形跑道上一起慢跑。作为朋友，他们想边跑步边聊天，所以每个人都对自己原有的速度进行了调整。藏本由纪的模型中设定的规则是，领先者速度减慢的量与落后者速度增加的量相同。为了提升精确度，调整量的大小计算方法如下：用二人之间夹角的正弦函数值，乘以一个叫作“耦合强度”的数值，这个数值决定了可能的最大调整量。这种调整作用倾向于使振子同步。然而，如果他们固有的速度之间的差异远大于耦合强度，他们便无法补偿二人之间的能力差异。速度快的会逐渐甩开速度慢的，并套他的圈，在这种情况下，他们都应该考虑寻找新的慢跑伙伴。
1701062749
1701062750
这个规则的对称性让它可以通过数学进行分析。而跑道各处完全相同的前提条件与温弗里最初的构想不同，在他看来，不同的位置对应生物活动周期中不同的重要事件。但对于藏本由纪而言，所有位置都是没有区别的，不存在地标。事实上，跑步者无法知道自己的位置，所以他们只会默默奔跑，不再叫喊和倾听，但是他们会仔细观察对方。无论位于跑道的何处，他们都会利用上文中的公式适当调整自己的速度，该方程只取决于两人之间的距离，与他们各自的位置无关。
1701062751
1701062752
现在，我们可以想象一个由更多振子组成的群体，像刚才那样，将其设想成一个跑步俱乐部，俱乐部成员能力各异。成员之间相互作用的规则是每名跑步者都观察其他人，针对每个人都计算一个试探性的速度修正值，然后计算出这些修正值的平均值，这个平均值就是跑步者要采用的速度修正值。例如，假设这些跑者在某一时刻形成了非常紧密的小组，藏本由纪的规则是告诉领跑者要放慢自己偏爱的速度，因为他察觉到了所有人都在身后；位于小组中间的跑步者会收到混合信息，即有些人告诉他要加速，有些人告诉他要减速；而落后的跑步者会感受到同伴的压力，从而提高自己的速度。
1701062753
1701062754
所有这些修正每时每刻发生在每个振子身上。为了使振子之间的相互协调更有趣，我们可以假设跑步者们在跑道的随机位置开始。开始的时候没有小组，即使形成了小组，也未见得会出现在最前面领跑的位置，任何位置都是可能的。小组的形状自始至终都在发生着变化，交替领先，就像跑步者们自行按部就班一样。
1701062755
1701062756
我们并不清楚一段时间后会发生什么。田径明星可能会脱离小组，并开始套他们的圈，而懒散的人则会落后，或者甚至根本没形成小组。速度分布的范围可能太大，使得俱乐部分崩离析，跑步者四散到跑道各处。在这种情况下，每个人接收到的都是混合的信号：快点！慢点！这时，速度修正就被抵消了，每个人都开始按照自己偏爱的速度奔跑。
1701062757
1701062758
在藏本由纪对于这种混乱状态的分析中，他发现用一个单独的数字来量化同步的程度是有帮助的，这个数字叫作“序参量”（见图2-4）。
1701062759
1701062760
1701062761
1701062762
1701062763
图2-4 同步程度量化
1701062764
1701062765
直观地讲，相对于每个人一个接一个地跑，肩并肩跑步是一种更紧密的同步形式，因此应该有一个更高的同步分数，即更高的序参量。序参量的数值总是介于0和1之间，由一个数学公式计算而来，数值大小取决于每个人的相对位置。一种极端的情况是，每个人都处于完美的同步状态，此时的序参量等于1；另一种极端情况是，跑步者随机分散在跑道上，此时的序参量等于0；而一个松散小组的序参量小于1。
1701062766
1701062767
与温弗里不同，藏本由纪并没有使用计算机来为系统的行为提供线索，而是仅仅听从了直觉的指引。这使得他猜测的最终结果更具先见之明：藏本由纪预测，从长远看，群体总是会进入一个尽可能稳定的状态。跑步者仍在前进，但他们在小组中的相对位置并没有改变，所以序参量是恒定的。此外，小组自身也会按照由其成员决定的某个折中的速度平稳前进，在藏本由纪看来，这个速度应该也是恒定的。
1701062768
1701062769
这是一次大胆的数学猜想，藏本由纪只寻求那些与他的直觉相匹配的方程的解。如果方程的解中没有恒定的序参量和恒定的小组速度，那么他就选择无视。他知道自己寻找的是什么，并准备无视其余的一切。这是一种大胆的思考方法，因为如果真相并非如他所想，就会被错过。另一个危险是，他可能会徒劳无功，因为可能并不存在他所期望的解的类型。然而，藏本由纪认为这种解一定存在，于是便开始着手寻找它们。为了给自己尽可能大的灵活性，他没有提前指定序参量和小组速度，只是规定它们必须是恒定的。确定它们的数值是问题的一部分。
1701062770
1701062771
藏本由纪发现，这个系统能够以两种非常不同的方式满足他的要求。序参量可以永远等于0，这意味着群体完全且永远是杂乱无章的。小组从未形成过，你会看到跑道各处分散着各种速度的跑步者，这是系统距离同步最远的状态。令人惊讶的是，无论跑步者的能力千差万别还是不分伯仲，这种“非相干状态”总是一种可能的结果。即使他们的速度完全相同，一旦最初设定完成后，这种“非相干状态”就会永远持续下去。直观上的感觉是，跑步者没有受到影响，没有小组吸引他们加入，所以我们默认每个人都在按照自己偏爱的速度跑，整个群体依然像先前一样混乱。另一种可能性是“部分同步”状态，由三个小组组成：由平均水平的跑步者组成的同步小组；由懒散的龟速跑步者组成的非同步小组；以及由田径明星组成的非同步小组。与前一种“非相干状态”不同，这种状态并非总会出现。藏本由纪发现，只有差异在一个特定的阈值之内时，这种状态才会出现。如果钟形曲线比这个阈值更宽，就意味着俱乐部成员的差异相当大，此时“部分同步”状态便会出现。这暗示着，在萤火虫或脑细胞群体中，振子必须极为相似，否则将不会出现同步。
1701062772
1701062773
藏本由纪一举证实了维纳和温弗里两人的观点。“部分同步”状态正是维纳构建阿尔法脑波模型时所思考的。维纳的脑电图谱中央的窄峰对应同步小组，两侧的尾巴对应太慢或太快的难以被吸收进小组的非同步振子。而温弗里曾发现的相变与藏本由纪发现的阈值相同。他们二人都意识到，只有群体成员足够相似，同步小组才会形成。而维纳漏掉了这重要的一点。
1701062774
1701062775
令人感到新奇和振奋的是，除去看到了相变以外，藏本由纪还为它推导出了正确的公式。此外，他还可以精确地计算出小组的有序程度，即一个钟形曲线宽度的函数。藏本由纪的公式表明，一个微小的同步核心会诞生在阈值处，此时序参量略微大于0。随着振子差异的减小，它们会变得更加相似，序参量随着同步小组吸引的群体中更多的成员而增大。最后，当钟形曲线宽度等于0时（对应于全同振子），藏本由纪的公式预示了一个完美的有序状态，即所有振子全部同步。
1701062776
1701062777
◎ ◎ ◎
1701062778
1701062779
1986年，我刚博士毕业不久，开始与波士顿大学数学家南希·科佩尔一起攻读博士后。南希40岁出头，刚刚开始她的职业生涯。她风趣而又富有魅力，是一位深刻的思想家，同时也是一位迷人的讲师，当时被公认为最优秀的数学生物学家之一。特别是，她和她的合作者巴德·艾门特劳德（Bard Ermentrout）制造了一次轰动，他们把新的数学方法带到了对神经系统的研究中。我们在开会时见过几次面，当时我的目标是深化自己的数学训练，她似乎是我职业生涯下一阶段的理想导师。当我提出想研究多振子问题时，她建议我深入研究一下藏本由纪的模型。
1701062780
1701062781
我立刻被藏本由纪的模型迷住了。在我的研究生课程中，教授总是教导我们说，大型非线性系统是魔鬼，几乎不可能解决。然而，这里就有一个解决方案，它十分完美，也并不难以理解。在仔细阅读藏本由纪的论证时，我发觉自己开始一行行地跟随着他的脚步前行。南希笑对我的热忱，然后温柔地指出了藏本由纪的论证中存在的所有缺陷和不合理的逻辑跳跃。对于一个初出茅庐的数学家而言，我在这里看到了大量的机会。我想要通过自己的工作让藏本由纪的推测站得住脚。转年，我开始和南希一起工作，试图证明一个我们二人都坚信正确的理论。尽管我从未成功解决这个问题，却也越来越痴迷于这个模型。
1701062782
1701062783
甚至在博士后学习结束以后，接下来的数年时间里我仍然在断断续续地思考那个模型。让我着迷的问题是，秩序究竟是如何从随机状态中涌现的？一个由数以百万计的粒子组成的系统如何自发地组织自己？这个问题听起来很神秘，带有浓厚的宗教色彩，不禁让人们联想起《圣经》中的创世故事，《圣经·创世纪》中记载，地球的开端是虚空且未成形的，古希腊人把这种状态称为“混沌”。
1701062784
1701062785
我们可能永远也无法理解宇宙中的秩序的起源，但是在藏本由纪的模型所假想的宇宙中，这个问题简化了许多，我们可以用数学解决它。在这里，创世问题变成了“非相干如何产生同步”。有一天我突然意识到，有一个简单的方法可以把这个问题构建成解微分方程组的问题：我需要将非相干视作一种平衡状态，然后计算它的稳定性。
1701062786