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第一个群体极为多样化，成员们能力范围分布很广。而温弗里发现，这样的俱乐部永远不会同步，其中的任何成员都不会扎堆一起跑，即便他们的“影响度函数”和“敏感度函数”倾向于使他们聚在一起。最后，他们只会徒劳地喊叫和倾听，他们的多样性会压倒群体成员在一起跑步的共同愿望，让他们分散在圆形跑道各处，就好像他们彼此互不理会，都在按照各自偏爱的速度跑步。
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现在我们来观察一下类似于第一个，但稍微一致一些的团队。其成员具有相同的“影响度函数”和“灵敏度函数”，但他们的能力分布在一个更窄、更陡的钟形曲线上，这意味着团队中更多的跑步者处于平均水平，跑得极快和极慢的家伙较少。你会认为，这个俱乐部实现同步的机会会更大，至少有一部分成员会同步，但温弗里发现结果完全相反。通过逐渐增加同类振子的数目，温弗里发现，直到达到一个临界点才会出现同步，这个临界点便是多样性的阈值。然后，有些振子会突然自发锁定它们的频率，开始一起跑步。随着温弗里让分布变得更窄，有越来越多的振子选择了加入同步组。
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在完善这种描述期间，温弗里发现了生物学和物理学之间的一个意外联系。他意识到，同步类似于相变，就像水凝固成冰。凝固现象本身就令人感到惊讶。当温度仅高于凝固点1摄氏度的时候，水分子就可以自由运动，相互碰撞、翻滚。此时，水是液态。而如果我们让温度稍微下降，降到凝固点以下，就会突然诞生一种新的物质形式，就像魔术一般。数以万亿计的水分子自发规则排列，形成坚硬的晶格，我们把这种固态晶体叫作冰。随着频率分布的广度降低到临界值以下，同步是突然发生的，而不是逐渐发生。在这个比喻中，频率分布的广度类似于温度，振子相当于水分子。主要的区别是当振子达成同步的时候，它们达到的是时间上的一致，而非空间上的一致。这种概念上的转变是温弗里比喻中的巧妙之处。
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有了这一发现，温弗里就在过去很少注意彼此的两个伟大学科之间的建立了联系。一个是非线性动力学，主要研究系统随时间演化的复杂方式；另一个是统计力学，它是物理学的分支，主要研究原子、分子或其他简单粒子构成的巨大系统的集体行为。这两个学科都可以相互弥补对方的缺陷。一方面，非线性动力学可以轻松处理只有少数变量的小型系统，但它无法处理大粒子群，而这对于统计力学而言只是小儿科。另一方面，统计力学擅长分析达到平衡状态的系统，但它不能处理任何随时间振荡或不断变化的事物。
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现在，温弗里已经为这一混合理论铺平了道路，它比单独的任何一个理论都更强大。这是科学向前发展的关键一步，它最终能够揭示自发同步在时间和空间上的奥秘。在更实用的层面上，这意味着统计物理学的分析技术现在可以用来解决大脑细胞、萤火虫以及其他生物同步的谜题。
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几年后，一位年轻的日本物理学家藏本由纪看到了温弗里的书。他同样着迷于时间上的自组织现象，想要寻找一种方法来渗入其数学核心。1975年，他聚焦在了一个比温弗里模型更简化、更抽象的模型上，在令人炫目的精巧构思中，藏本由纪展示了精确解决这一问题的方法。
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藏本由纪的模型是一项惊人的成就，它是由无穷多微分方程组成的方程组，每个方程都是非线性、相互耦合的。这类问题几乎不可解，但也确实存在极少数例外，它们就像钻石一样，因美丽而无比珍贵，稀有的它们展现出了非线性的一面。在这种情况下，藏本由纪的分析揭示了群体同步的本质。
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乍看起来，我们很难看出藏本由纪的模型结构的特殊之处。与维纳在书中所写的一样，藏本由纪的模型结构同样描述了一个庞大、固有频率呈钟形曲线分布的振子群体。在温弗里的模型中，振子彼此之间的相互作用完全相同。而藏本由纪关键的创新是用一种特殊的相互作用取代了温弗里的“影响度函数”和“灵敏度函数”，这是一种高度对称的规则，包含并改善了维纳的“频率牵引”概念。
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仅有两个振子组成的群体，其振子之间的相互作用的性质是最容易理解的，我们可以把它们设想成两个朋友在圆形跑道上一起慢跑。作为朋友，他们想边跑步边聊天，所以每个人都对自己原有的速度进行了调整。藏本由纪的模型中设定的规则是，领先者速度减慢的量与落后者速度增加的量相同。为了提升精确度，调整量的大小计算方法如下：用二人之间夹角的正弦函数值，乘以一个叫作“耦合强度”的数值，这个数值决定了可能的最大调整量。这种调整作用倾向于使振子同步。然而，如果他们固有的速度之间的差异远大于耦合强度，他们便无法补偿二人之间的能力差异。速度快的会逐渐甩开速度慢的，并套他的圈，在这种情况下，他们都应该考虑寻找新的慢跑伙伴。
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这个规则的对称性让它可以通过数学进行分析。而跑道各处完全相同的前提条件与温弗里最初的构想不同，在他看来，不同的位置对应生物活动周期中不同的重要事件。但对于藏本由纪而言，所有位置都是没有区别的，不存在地标。事实上，跑步者无法知道自己的位置，所以他们只会默默奔跑，不再叫喊和倾听，但是他们会仔细观察对方。无论位于跑道的何处，他们都会利用上文中的公式适当调整自己的速度，该方程只取决于两人之间的距离，与他们各自的位置无关。
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现在，我们可以想象一个由更多振子组成的群体，像刚才那样，将其设想成一个跑步俱乐部，俱乐部成员能力各异。成员之间相互作用的规则是每名跑步者都观察其他人，针对每个人都计算一个试探性的速度修正值，然后计算出这些修正值的平均值，这个平均值就是跑步者要采用的速度修正值。例如，假设这些跑者在某一时刻形成了非常紧密的小组，藏本由纪的规则是告诉领跑者要放慢自己偏爱的速度，因为他察觉到了所有人都在身后；位于小组中间的跑步者会收到混合信息，即有些人告诉他要加速，有些人告诉他要减速；而落后的跑步者会感受到同伴的压力，从而提高自己的速度。
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所有这些修正每时每刻发生在每个振子身上。为了使振子之间的相互协调更有趣，我们可以假设跑步者们在跑道的随机位置开始。开始的时候没有小组，即使形成了小组，也未见得会出现在最前面领跑的位置，任何位置都是可能的。小组的形状自始至终都在发生着变化，交替领先，就像跑步者们自行按部就班一样。
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我们并不清楚一段时间后会发生什么。田径明星可能会脱离小组，并开始套他们的圈，而懒散的人则会落后，或者甚至根本没形成小组。速度分布的范围可能太大，使得俱乐部分崩离析，跑步者四散到跑道各处。在这种情况下，每个人接收到的都是混合的信号：快点！慢点！这时，速度修正就被抵消了，每个人都开始按照自己偏爱的速度奔跑。
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在藏本由纪对于这种混乱状态的分析中，他发现用一个单独的数字来量化同步的程度是有帮助的，这个数字叫作“序参量”（见图2-4）。
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图2-4 同步程度量化
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直观地讲，相对于每个人一个接一个地跑，肩并肩跑步是一种更紧密的同步形式，因此应该有一个更高的同步分数，即更高的序参量。序参量的数值总是介于0和1之间，由一个数学公式计算而来，数值大小取决于每个人的相对位置。一种极端的情况是，每个人都处于完美的同步状态，此时的序参量等于1；另一种极端情况是，跑步者随机分散在跑道上，此时的序参量等于0；而一个松散小组的序参量小于1。
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与温弗里不同，藏本由纪并没有使用计算机来为系统的行为提供线索，而是仅仅听从了直觉的指引。这使得他猜测的最终结果更具先见之明：藏本由纪预测，从长远看，群体总是会进入一个尽可能稳定的状态。跑步者仍在前进，但他们在小组中的相对位置并没有改变，所以序参量是恒定的。此外，小组自身也会按照由其成员决定的某个折中的速度平稳前进，在藏本由纪看来，这个速度应该也是恒定的。
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这是一次大胆的数学猜想，藏本由纪只寻求那些与他的直觉相匹配的方程的解。如果方程的解中没有恒定的序参量和恒定的小组速度，那么他就选择无视。他知道自己寻找的是什么，并准备无视其余的一切。这是一种大胆的思考方法，因为如果真相并非如他所想，就会被错过。另一个危险是，他可能会徒劳无功，因为可能并不存在他所期望的解的类型。然而，藏本由纪认为这种解一定存在，于是便开始着手寻找它们。为了给自己尽可能大的灵活性，他没有提前指定序参量和小组速度，只是规定它们必须是恒定的。确定它们的数值是问题的一部分。
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藏本由纪发现，这个系统能够以两种非常不同的方式满足他的要求。序参量可以永远等于0，这意味着群体完全且永远是杂乱无章的。小组从未形成过，你会看到跑道各处分散着各种速度的跑步者，这是系统距离同步最远的状态。令人惊讶的是，无论跑步者的能力千差万别还是不分伯仲，这种“非相干状态”总是一种可能的结果。即使他们的速度完全相同，一旦最初设定完成后，这种“非相干状态”就会永远持续下去。直观上的感觉是，跑步者没有受到影响，没有小组吸引他们加入，所以我们默认每个人都在按照自己偏爱的速度跑，整个群体依然像先前一样混乱。另一种可能性是“部分同步”状态，由三个小组组成：由平均水平的跑步者组成的同步小组；由懒散的龟速跑步者组成的非同步小组；以及由田径明星组成的非同步小组。与前一种“非相干状态”不同，这种状态并非总会出现。藏本由纪发现，只有差异在一个特定的阈值之内时，这种状态才会出现。如果钟形曲线比这个阈值更宽，就意味着俱乐部成员的差异相当大，此时“部分同步”状态便会出现。这暗示着，在萤火虫或脑细胞群体中，振子必须极为相似，否则将不会出现同步。
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藏本由纪一举证实了维纳和温弗里两人的观点。“部分同步”状态正是维纳构建阿尔法脑波模型时所思考的。维纳的脑电图谱中央的窄峰对应同步小组，两侧的尾巴对应太慢或太快的难以被吸收进小组的非同步振子。而温弗里曾发现的相变与藏本由纪发现的阈值相同。他们二人都意识到，只有群体成员足够相似，同步小组才会形成。而维纳漏掉了这重要的一点。
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令人感到新奇和振奋的是，除去看到了相变以外，藏本由纪还为它推导出了正确的公式。此外，他还可以精确地计算出小组的有序程度，即一个钟形曲线宽度的函数。藏本由纪的公式表明，一个微小的同步核心会诞生在阈值处，此时序参量略微大于0。随着振子差异的减小，它们会变得更加相似，序参量随着同步小组吸引的群体中更多的成员而增大。最后，当钟形曲线宽度等于0时（对应于全同振子），藏本由纪的公式预示了一个完美的有序状态，即所有振子全部同步。
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1986年，我刚博士毕业不久，开始与波士顿大学数学家南希·科佩尔一起攻读博士后。南希40岁出头，刚刚开始她的职业生涯。她风趣而又富有魅力，是一位深刻的思想家，同时也是一位迷人的讲师，当时被公认为最优秀的数学生物学家之一。特别是，她和她的合作者巴德·艾门特劳德（Bard Ermentrout）制造了一次轰动，他们把新的数学方法带到了对神经系统的研究中。我们在开会时见过几次面，当时我的目标是深化自己的数学训练，她似乎是我职业生涯下一阶段的理想导师。当我提出想研究多振子问题时，她建议我深入研究一下藏本由纪的模型。