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我立刻被藏本由纪的模型迷住了。在我的研究生课程中，教授总是教导我们说，大型非线性系统是魔鬼，几乎不可能解决。然而，这里就有一个解决方案，它十分完美，也并不难以理解。在仔细阅读藏本由纪的论证时，我发觉自己开始一行行地跟随着他的脚步前行。南希笑对我的热忱，然后温柔地指出了藏本由纪的论证中存在的所有缺陷和不合理的逻辑跳跃。对于一个初出茅庐的数学家而言，我在这里看到了大量的机会。我想要通过自己的工作让藏本由纪的推测站得住脚。转年，我开始和南希一起工作，试图证明一个我们二人都坚信正确的理论。尽管我从未成功解决这个问题，却也越来越痴迷于这个模型。
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甚至在博士后学习结束以后，接下来的数年时间里我仍然在断断续续地思考那个模型。让我着迷的问题是，秩序究竟是如何从随机状态中涌现的？一个由数以百万计的粒子组成的系统如何自发地组织自己？这个问题听起来很神秘，带有浓厚的宗教色彩，不禁让人们联想起《圣经》中的创世故事，《圣经·创世纪》中记载，地球的开端是虚空且未成形的，古希腊人把这种状态称为“混沌”。
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我们可能永远也无法理解宇宙中的秩序的起源，但是在藏本由纪的模型所假想的宇宙中，这个问题简化了许多，我们可以用数学解决它。在这里，创世问题变成了“非相干如何产生同步”。有一天我突然意识到，有一个简单的方法可以把这个问题构建成解微分方程组的问题：我需要将非相干视作一种平衡状态，然后计算它的稳定性。
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为了澄清这些熟悉的词语，即平衡、稳定的数学意义，我们可以想一下房间中的一些例子。如果我们把一杯水放在厨房的桌子上，水会在杯中左右摇晃一两秒，然后平静下来。水面呈水平时，这就是平衡状态。从这个意义上讲，水会永远保持这种状态。另外，平衡也被称为稳定，因为如果我们摇一摇杯子，然后停止，过一会儿，水面仍会恢复到水平。因此，平衡意味着没有变化，稳定意味着轻微的扰动消失。现在再来看看另一个例子。拿一支削尖的铅笔，将它笔尖朝下竖立起来，使保持平衡，然后放手。如果铅笔完美地保持了平衡，它将会继续立在那里，根据定义，这也是一种平衡状态。但很显然它是不稳定的：即使是最小的空气扰动也会将铅笔吹倒，而且它再也无法自己立起来。
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对于藏本由纪的模型，非相干是一种平衡状态。如果各个频率的振子均匀分散在圆周上，那么它们会永远均匀地分散着。虽然振子围绕圆周运动，但是它们的间距始终保持不变。这里有一个悬而未决的问题是：这种平衡是像杯子中的水一样稳定，还是像笔尖立在桌子上的铅笔一样不稳定？如果它是不稳定的，那么就将意味着同步会自发出现，跑步者最终会形成一个小组。
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这个问题困扰了人们15年。藏本由纪曾公开表示自己对它感到好奇。在书中，他还曾写到自己不知道该如何开始。这个问题令人困惑，因为振子有无限多种不同的方式达成“非相干状态”，这正是困难之处。非相干并不是单一的状态，它是由无穷多个状态组成的大家庭。
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多年来，我一直不知道如何在稳定问题上取得进展。后来，在一个深夜，在入睡前的黎明时分，一个奇怪的画面进入到了我的脑海中：振子并不真的像跑步者，而是像流体中的分子。正如水是由数以万亿计的离散的分子组成的，这个虚构的“振子流体”由数以万亿计的围绕圆形跑道运动的离散点组成。这个图景着实比藏本由纪的模型更古怪。我需要将分布图中的每一种频率设想成不同的流体，这里有无限多种不同的频率，如同彩虹的色彩的混合。所以，我构想了一道由各色流体组成的彩虹，所有流体都围绕同一圆周旋转，从不混合，正如振子永远不会改变其固有频率。这个迷幻构想的优点是：非相干变成了一个单独的状态。它不再是一个拥有无穷多状态的大家庭，而是只有一种均匀密度的状态，即各种颜色的流体均匀地分散在圆周上。
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我从床上跳了下来，抓起纸笔。梦境中的想法往往是幻想，但这次感觉像是正确的。我要做的，首先是让流体力学定律适用于我假想的振子流体。然后，我列出了检测稳定性的方程组：对平衡状态的系统施加干扰，求解扰动方程（这些方程是可解的，因为它们是线性的，即便初始系统并非线性），检测干扰是增强还是减弱。
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这些扰动方程表明，问题的答案取决于振子的相似程度。如果它们完全相同，或几乎相同，那么当振子同相聚集在一起，处于同步初期的时候，扰动会呈指数级增加。接着，指数增长率公式便可脱口而出（类似于利率与你在银行中的存款增长速度的关系）。先前从未有人发现这样的公式。无论对错，这都是一个确定的预测。我当时还在想，到了早晨，我一定要在电脑上验证它。
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当我一行行写出计算过程时，手心一直在出汗：我的设想全都是正确的。我看到了秩序的诞生，然后我停了下来。是否存在一个临界频率，使增长率降为0，并且使“非相干状态”不再稳定呢？是的，临界状态就出现在藏本由纪发现的阈值处，这下我放心了。我刚刚发现了一种计算相变的新方法，即自发同步第一次出现时的临界点！
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天亮后，我打电话给同事伦尼·米洛罗，把自己的发现讲给他听。我描述了自己关于振子流体的想法，但没多久他就打断了我：“这是什么诡辩？”作为一名纯数学家，他从未研究过流体力学，他喜欢直来直去、不附带任何形象的描述。对他而言，整个计算听起来有些可疑。当天晚些时候，我去了办公室，证实了预想的增长率与计算机模拟结果完全一致。于是，伦尼很快认同了我的想法。
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我们一起解决了阈值另一侧的“非相干状态”的稳定性，这里的频率分布范围很大，类似于冰点之上的温度。我们期望“非相干状态”现在可以变得稳定，但是方程告诉我们它是“中性稳态”，这是一个非常罕见、边缘性的情形，此时的“瞬态干扰”既不增加也不衰减。
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我们可以设想一个光滑的半球形碗底部有一个弹珠，如果你把弹珠从碗底移开，它会滚回来：碗底是一个稳定的平衡点。现在我们假设碗的形状可任意调整，通过转动旋钮，你可以逐渐把它变为较平坦的形状，它的曲率更小，像一片巨大的隐形眼镜。这样的碗底仍然是稳定的，但稳定性比前者差一些：移走的弹珠会慢慢滚回来。随着你继续转动旋钮，碗的形状变得越来越扁平，旋转到一个临界值的时候会变成完全水平的形状，接着，它会变成一个倒置的隐形眼镜，一个平缓的穹顶，直至最后变成一个倒扣的半球形。在变形过程中，碗底变成了穹顶的顶部。而移走的弹珠会从侧面滚下来，平衡状态也变得不稳定了。改变发生在稳定与不稳定之间的临界边界，即隐形眼镜变成完全平坦的时候。当旋钮转到这个位置，且只有这个位置时，平衡既不是稳定的，也不是不稳定的，这就是中间状态——“中性稳态”。从中性平衡状态移走的弹珠不会滚回来，但也不会滚远。
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这个比喻表明，“中性稳态”通常只发生在转变过程中，发生在系统参数设置（那个控制其属性的“旋钮”）为临界值的时候。但是藏本由纪的模型打破了这个规则，它的“非相干状态”固执地停留在“中性稳态”，即使我们加宽钟形曲线，使群体更多样化，结果依然如此。在较广的范围内调节旋钮并不会带来任何改变。
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我们同麻省理工学院应用数学专业的导师保罗·马修斯讨论了这一令人惊奇的结果。保罗进行了一些计算机模拟，结果却让它变得愈加神秘了。他使用了一种不同的方式来检测稳定性，即通过计算序参量的长期状态，发现它呈指数级快速衰减，这通常是稳定状态的鲜明特征，而非“中性稳态”。现在我们更加困惑了，为什么通过一种测量方法检测到的非相干是“中性稳态”的，而用另一种方法测得的结果却是稳定状态的？
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几周后，保罗在他的祖国，英国华威大学做了一个演讲，并描述了我们得到的奇怪的结果。听众中的一位教授乔治·罗兰兹（George Rowlands）对保罗讲，他看到的并没有那么奇怪：学界称之为“朗道阻尼”，等离子体物理学家列夫·朗道（Lev Landau）在45年前就发现了这种现象。
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我们几人都对等离子体不甚了解，但我们都听说过朗道。朗道是20世纪最重要的物理学家之一。在一个专业化的时代，他掌握了理论物理学的每一个分支，从亚原子粒子到流体中的湍流。列夫·朗道是个个性张扬、脾气暴躁的天才。1962年1月7日，他在莫斯科市郊发生的一场车祸中几乎丧命，职业生涯因此终结。撞击导致了他全身11处骨折，颅骨遭到重创，胸部被刺穿，膀胱破裂，昏迷不醒。连续100天，他的脑电图都不再显现生命体征，医生用呼吸机勉强维持着他的生命。期间有4次他被宣告死亡，每一次都靠医生竭力救治得以起死回生。同年晚些时候，朗道被授予了诺贝尔物理学奖，以表彰他在10余年前的发现，他用量子理论解释了超流态氦在温度接近绝对零度时的奇异状态。1964年10月，朗道终于出院了，但他并未完全康复，在几年后与世长辞。
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朗道做出的诸多贡献之一是，他在20世纪40年代末曾预言了关于等离子体的反常现象。等离子体有时又被称为“物质的第四态”，温度比固体、液体或气体更高。它们被发现于太阳和热核聚变反应堆中，此时，普通的原子被加热成为一种离子化的气体，由数量大致相等的电子和带正电荷的离子组成。当静电波穿越高度稀薄的等离子体时，这种被称为“朗道阻尼”的矛盾现象就会出现。朗道表示，即便粒子之间没有碰撞，也不存在任何形式的摩擦或耗散，静电波仍然会衰减。乔治·罗兰兹意识到，支配“朗道阻尼”的数学机理本质上与藏本由纪的模型中衰减到“非相干状态”的机理相同：等离子体中的电子相当于振子，它们在电场中产生的电波的大小相当于序参量。
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令人吃惊的是，太阳中的超热等离子体中存在一个暴力世界，在这个世界里，原子会被习惯性地剥掉电子；另一个是生物振子的和平世界，在这个世界里，萤火虫会安静地沿着河岸闪光，而这两个世界中间居然可能存在着联系。虽然演员不同，但是它们的相互作用的抽象模式是相同的。一旦这种联系被发现，我们就可以把朗道的技术转移到藏本由纪的模型中，进而解答这一持续了数年的谜题。匹兹堡大学物理学家约翰·戴维·克劳福德（John David Crawford），从生物同步性的研究中获得了启发，进而解决了一个长期存在的关于等离子体特性的问题。
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生物振子如何互相同步的理论从数学角度讲是成功的，它们揭示了自然界最基本的自组织机制之一。然而，一个更为棘手的问题是：这些模型是否忠实地描述了现实？它们所预示的现象是否与从真实的萤火虫、心脏起搏细胞或神经元中得到的数据一致？
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我们并不知道答案，迄今为止还未测试过。进行实验很困难，因为需要在单个的动物和细胞的级别进行测量，特别是它们的固有频率以及它们对于不同强度、不同时长的刺激的反应；也需要在整个网络的级别进行测量，以量化各个振子之间的相互作用。如果把振子放在网络里测量，就可能会受到其他振子的影响；如果把振子从网络中移出来，无论是像外科手术那样摘除，还是采用其他方式，过程中都可能损坏周围的振子和它们之间的连接。另外，除了几个小神经元系统以外，网络之间的连接通常是未知的。如果不了解谁在与谁相互作用，我们就无法定量测试模型。例如，在一棵满是萤火虫的树上，你必须要搞清楚那些能看见其他同类的萤火虫，并逐个测量所有萤火虫的固有闪光速率，最后还要测量每只萤火虫的“影响度函数”和“灵敏度函数”。甚至没有人尝试过只包含两只萤火虫的实验，更不用说成群的萤火虫了。
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偏向于定性的实验会证实或否认相变的存在。我们预测，同步的程度是急剧增加的，而不是渐进的，因为耦合强度或频率分布是通过临界值调整的。同样，实验仍然十分棘手。为了改变萤火虫之间的耦合强度，你需要将它们放在黑暗的房间中，然后用调光器调节房间内的光线强度，使得萤火虫可以更容易或更困难地看见彼此。想要做到这些很容易，但要测量这群萤火虫所有的同步闪光模式却是极其烦琐的。如果没有这些信息，就没有办法确定同步的程度，因此也就无法确定是否发生了相变。用神经元进行类似的实验可能会稍容易一些，但我们必须用药物将细胞逐渐分开，并同时记录每一个细胞（再次强调，技术上很难实现），还要确保药物只改变了细胞之间的耦合，并没有改变其他属性。目前还没有人尝试过这一实验。
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或者，我们可以考虑维纳的频谱中那条从两侧凹陷中升起的狭窄的中央高峰。这是维纳“频率牵引”理论的基石，鉴于其核心作用，我竟然从未听说过它被复制，这使我疑惑不已。另外还有些东西也很可疑。如果维纳和他的合作者果真发现了确切的证据，即他认为是同步标志的双凹陷频谱，那么他为什么不给出数据，使之不言自明呢？在维纳写于1958年的书《随机理论中的非线性问题》（Nonlinear Problems in Random Theory）中，维纳提供了我们之前看到的频谱的示意图，完全对称的波峰从完全对称的两个凹陷中升起，都准确地集中在10赫兹的位置上。随后，在1961年版的《控制论》中，他终于提供了一些真实的数据（大概是他所拥有的最具说服力的例子），然而却并未出现他钟爱的凹陷。
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