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只有应用几何学、可视化，以及要求全局思维的非线性动力学，才能胜任这项工作。当然，这项工作是艰巨的，它需要立即看到所有的可能性，需要探讨数百个非线性方程的动力学特性，这对应上百个维度的抽象空间中的数学变换。但在1990年前后，在混沌理论获得成功的鼓舞下，非线性领域已经准备好了去迎接这一挑战。理论家们充满了自信和渴望，而擅长数学的生物学家已经纵身投入了高维空间，在黑暗中摸索，尝试去了解关于萤火虫、神经元、心脏细胞耦合的理想模型。在下文中，我们将体验佐治亚理工学院的一位年轻的物理学家科特·威森弗尔德的新视角，他想要将其带入到约瑟夫森结阵列的分析中。
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1990年，威森弗尔德已经名声大噪。1987年，他与同事共同撰写了论文，介绍了“自组织临界”(16)的概念。这是一个雄心勃勃的理论，它宣称能解释为什么那么多复杂的系统似乎永远停留在灾难的边缘。该理论后来被应用于解释在大规模的灭绝事件、地震、森林火灾以及其他复杂过程中观察到的奇特的统计模式。在这些过程中，多米诺效应通过系统传递，通常会产生小瀑布，偶尔则会引发大洪水。这项工作勇敢无畏、极富争议。大多数物理学家认为它是我们理解复杂系统的一个重要进展，而一些怀疑论者则认为这只是一时流行，爱开玩笑的人则称之为“平凡的自我吹捧”。
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当时，威森弗尔德是布鲁克海文国家实验室的博士后研究员（如今他是一名助理教授），想要独自进行探险。他一直着迷于耦合非线性振子，甚至在刚刚开始自组织临界的研究时还特意研究了耦合摆。他对约瑟夫森结阵列的电路方程倍感亲切，因为这让他想起了自己过去常常思考的钟摆问题。当威森弗尔德开始同彼得·哈德利（Peter Hadley）和马克·比斯利（Mac Beasley）一起工作时，他便正式踏入了这一领域。哈德利是斯坦福大学的研究生，比斯利是哈德利的导师，也是超导专家，他们已经意识到非线性动力学可以用于约瑟夫森结阵列的分析。当他们得到了威森弗尔德的帮助时，这个项目便开始了。这是一个强大的团队：哈德利是一名勤奋的学生，在计算机模拟方面拥有高超的天赋和敏锐的嗅觉；比斯利身材瘦长，满头白发，见识广博，经验丰富；威森弗尔德则是非线性动力学领域的顶级高手之一。
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他们决定着重研究“串联阵列”，即所有的结点首尾相连。从数学的角度看，这种结构是最容易处理的，同样可应用于发电技术。虽然单个的约瑟夫森结只能产生大约1微瓦的电力，这对于任何实际应用而言都太过微弱，但通过合作，它的输出可以显著放大。正如全体观众同步鼓掌的声音要大过任何一名观众单独鼓掌一样，相比于单独的约瑟夫森结，同步的约瑟夫森结阵列是更强大的辐射源。例如，如果你能找到一种方法劝诱1 000个结点同相位振荡，那么传递到另一个器件（与阵列并联的“负载”）的能量将放大100万倍（联合功率正比于结点数的平方）。可难点之一是找到一种方法来使它们同步。没有人知道电路的最佳结构或负载的最佳种类。事实上，甚至没有人真正知道为什么阵列应该或不应该同步。这是一个根本性的问题，是整个领域的共同障碍。
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威森弗尔德和他的合作者清楚，负载的电特性（阻碍电流的方式）很可能是至关重要的。没有负载，结点永远不会同步，它们甚至无法感受到彼此的电子振荡。最简单的负载特性类似于电阻，通过的电流与它两端的电压成正比，或者它的特性可能更像电容（通交流、隔直流）或电感（与电容相反，通直流、隔交流）。在一般情况下，负载可能涉及三种阻抗的组合，根据不同的强度加权，有很多种选择。
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通过对上述多种情况进行计算机模拟，三位科学家绘制出了同步状态的稳定性特征，了解了哪种负载可以最好地同步阵列。但是他们同样也碰到了预料之外的东西，这些东西引人注目、难以忽视。当阵列不同步时，它们通常会陷入一种完全不同的秩序中：所有的结点以相同的周期振荡，但都竭力保持在步调最不一致的状态，仿佛它们互相极力排斥。威森弗尔德团队称这种奇怪的组织模式为反相状态，后来又被称为伸展状态。
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对于两个结点而言，伸展状态就像惠更斯所观察到的钟摆同步时的现象：钟摆以相同的速率摆动，但两者整整相差半个周期。一个发“嘀”声，同时另一个发“嗒”声。对于两个以上的结点，伸展状态将周期划分为相等的部分。如果有10个结点，它们将执行相同的动作，彼此相隔1/10个周期。它们全都按照相同的方式运动，彼此错开相同的时间。我们很想将这种群体行为想象为优雅的舞蹈，在阵列中荡漾的波，但这种想象是一种误导。波不一定必须从一个结点传递到相邻的结点，它们可以按照任意次序传递。如果将电子振荡想象为机械振荡的话，那么伸展状态看起来会有点像一排跳舞的机器人，它们全都执行相同的一套动作，但在空间上是任意排列的：一个机器人完成某个动作，然后队尾的机器人完成相同的动作，接下来任意一个位置的机器人也完成相同的动作。机器人可以以任意次序跳舞，每种排序都是一个有效的伸展状态。它们只在空间安排上有所不同，并不是执行的动作或彼此间的时间间隔不同。
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阵列越大，序列的空间排列的可能性就越多。数量的增长极为迅速，甚至比指数增长更快，例如5个结点有24种伸展状态，10个结点有32 680种伸展状态。威森弗尔德认为，这种爆炸性的增长可能会为未来的约瑟夫森计算机提供存储器体系的结构基础，每个存储器可以被存储为一个不同的伸展状态。相比于0和1的静态集合，伸展状态将以一种动态模式进行编码，即阵列中电子运动的螺旋舞。神经科学家认为，我们对气味的记忆就与之类似，此时的振子是大脑嗅球中的神经元，不同的激发方式编码不同的气味。
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通过仅仅几个结点，你就可以制造一个巨大的存储器，想要多大就有多大。但这里有一个问题：为了让方案有效运转，每个状态都必须是稳定的，以阻止电路中的随机噪声引起的状态变化。现在的问题就变成了，伸展状态是稳定的吗？它们的稳定性如何取决于负载？当时的威森弗尔德还无法用数学的方法解决这个问题。更重要的是，他意识到自己仍然缺乏全局性理解。除了同步状态和伸展状态，还会有哪种状态呢？它们如何组成一个整体？威森弗尔德的目标野心勃勃：对于任意数量串联的结点以及与阵列并联的任意类型的负载，他都要去了解其所有可能的群体行为。
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1990年，当我在得克萨斯的一次会议上遇到威森弗尔德时，立即产生了一种亲切感。我们年龄相仿，具有相似的背景和科学志趣，而且我们发现在一起时双方都很开心。他向我介绍了他对约瑟夫森结阵列问题的观点，我当即感觉我们在一起工作或许会很有趣。威森弗尔德或许对这件莫大的乐事感到有些纠结，特地向我说明了这项工作的科学应用前景（如果有人问你为什么要做这项工作，你应该严肃回答自己的理由）。但老实说，应用不是我们对这些阵列感兴趣的真正原因，驱动我们的是纯粹的好奇心，是解决美丽耦合振子系统的数学问题所带来的一种纯粹的快乐。
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尤其是，这个方程组本身就有着令人陶醉之处。每个结点之间的耦合似乎都是相同的，尽管在物理上它们是串联的，就像链条中的环形连接，但方程使它们看起来更像是多对多连接的。这让我备感惊诧和惊喜。通过先前对佩斯金的心脏细胞模型以及温弗里和藏本由纪的生物振子模型的研究，我已经熟悉了这种怪异的、超对称的连接。在那些设置中，多对多的耦合单纯是为了便于研究。没有人知道正确的方程组，大家自然都从最简单的例子开始。当然，真正的心脏细胞和萤火虫与近邻个体的相互作用要远强于远处的个体。
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当与先前相同的平等主义耦合出现在约瑟夫森结的方程组中时，我机警地点点头。“不，不，”威森弗尔德告诉我，“确实是那样。多对多耦合在这里完全正确，它直接来自电路方程。方程的原理是，当结点串联时，每个结点上流过的电流大小相等，就像一队救火队员传递的水一样。”威森弗尔德答应会议结束后给我写一封长信，记录下所有的细节。
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在我打开信封之前，我便从他写地址的笔迹知道，和他在一起工作会很有趣。他的笔迹优雅、高低起伏，清晰而又奇形怪状。经历了多年学生考试阅卷工作的我总结出了一套业余的笔迹分析方法，屡试不爽：如果所有答案都用紧密细小的字母书写，像机器一般完美，仿佛打字机打出来的一般，那么这名学生一定是班中的顶尖学生。顺便一提，这条规则对凌乱的字迹则不起作用。笔迹潦草的学生有可能一塌糊涂，有可能才华横溢，也有可能处于二者之间的任何位置。但优美的笔迹本身就是个好现象。
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威森弗尔德建议我们从最理想化的可能问题开始：两个相同的约瑟夫森结串联，由恒定电流驱动，假设负载是一个电阻，每个结点中只有两条路径。（对于某些类型的结点，第三条路径——位移电流，可以忽略，这是一个不错的取舍。）
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这些简化的优势在于，我们可以通过绘制普通的二维图片将系统的动力学特性可视化。在任何给定的瞬间，每个结点都有明确的相位，就像快照中的钟摆歪在了某个角度上。通过水平绘制一个相位，竖直绘制另一个相位，我们便可以将所有可能的组合表现为正方形中的点，任意一个方向都有360度可能的相位，这个正方形可以被称为系统的“状态空间”。它有一个有趣的几何特性，让人联想起一款老式电脑游戏，一艘宇宙飞船从屏幕右边起航，然后神奇地出现在了左边，撞到底部后又从上边出现。约瑟夫森结阵列的状态空间也拥有这种神奇的特性，因为相位360度和0度没什么区别（就像一个垂直的钟摆，你转动它旋转了一周后，它仍是垂直的）。由于正方形的左右边缘对应相同的物理状态，数学家们便想象它们无缝连接在一起，就像你把一张纸卷成一个圆柱体，把边缘粘在一起。此外，顶部和底部边缘同样也是相同的，所以它们也应该连在一起，这意味着圆柱体弯曲成了圆环状，形成了一个圆环面（见图6-1）。
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图6-1 串联约瑟夫森结的二维示意图
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结论是，这个最简单的约瑟夫森结阵列的状态空间相当于一个圆环的表面。环面上的每一个点都对应阵列的电气状态，反之亦然。随着时间的推移，阵列的状态时刻都在变化，圆环面上的对应点平滑地过渡，像一粒尘埃轻轻滑过表面。这个假想的流谱——它的漩涡和回流、静止和奔流，都是阵列固有的电路方程。鉴于当前相位的数值，方程决定了它们将会在下一个瞬间如何变化。
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方程组是非线性的，我们无法寄希望于明确解决它，但我们认为，推断流谱整体的定性特征或许是可能的。例如，停滞点（圆环面上微粒卡住的位置）对应阵列的电平衡状态，所有的电流和电压不随时间变化，这种状态的稳定性可以通过想象微粒被推离进行评估；如果它总是自动返回，仿佛被吸入了排水管，那么这种平衡状态就是稳定的。或者假设流谱包含一个封闭的回环，微粒可以在漩涡中循环不休，经过一定时间后总是重新回到它的起始位置。这种循环意味着一种周期性重复，即阵列中的电子振荡。威森弗尔德和我知道这样的循环是必然发生的，但我们完全不了解它的稳定性，不知道它是否会把附近的状态带入漩涡。
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最简单的循环是同步振荡，两个结点的相位在任何时刻都是相等的。相应的轨迹沿着正方形的主对角线流动，自左下角出发，然后到东北方，直至从右上角离开，随后立即返回左下角（因为360度和0度对应同一相位）。在正方形上看，轨迹似乎从一角不连续地跳跃到了另一角，但在表现系统真正状态空间的圆环面上看，则并没有显示出跳跃，这种过渡更像是无缝的。
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我们在分析整体流谱时震惊地发现，每条轨迹都在以类似的方式重复自己。每个解都是周期性的。从表面判断，这可能并不令人十分惊讶。至少在中学教科书中，没有假想的轴承，没有空气阻力，钟摆的来回摇摆就是永恒重复的。在这种情况下，无论你从多大的角度释放钟摆都不重要，无论多大角度，它都会一直摇摆下去。其他“守恒”的机械系统也是如此，在假想的理想化条件中，不存在一切形式的摩擦和机械损失，机械能完全守恒。但这也正是约瑟夫森结阵列的周期性运转状态对我们来说如此令人震惊的原因——阵列中存在摩擦。在电气术语中，摩擦就意味着电阻。结点自身存在电阻（对应于正常电流的通路），负载也是一个电阻。但不知何故，约瑟夫森结阵列却是一个守恒系统。
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威森弗尔德和我推断这种矛盾的状态可能是只研究两个结点的人为结果。对于两个以上的结点，也许这个系统可以张开它的两翼，表现出更具代表性的行为范围。我有一些古老的计算机程序，用于早期研究生物振子的工作。我曾经用其中一个程序来模拟温弗里和藏本由纪的模型，数百个彩色的点围绕着一个圆形轨道运行；还有一个程序用来模拟佩斯金的心脏细胞模型，事实证明，这十分有助于当振子释放时对其进行频闪拍照。所有这些程序都可以适用于分析约瑟夫森结阵列方程组。如今，随着威森弗尔德回到佐治亚理工学院，我回到麻省理工学院，分工就成了情理之中的事情。我们决定，由威森弗尔德和他的学生郭曾（Kwok Tsang）负责对两个以上的结点进行数学分析，而我则负责尝试对其进行计算机模拟。
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