1701063680
数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）曾说，把一个问题称为非线性问题就像去动物园谈论你看到的所有好玩的非大象动物。他想表达的是，大多数动物都不是大象，大多数方程都是非线性的。线性方程很容易描述，有理想化的解，即原因与结果成正比。例如驱动力与反应就是成正比的。将一条钢梁分别弯曲2厘米和1厘米，前者受到的应力是后者的两倍。“线性”这个词指的便是这个比例：如果你描绘出钢梁的挠度与所施加的力的图表，就可以看到二者呈线性关系。（此处的线性指的并不是次序，例如“线性思维”，如一件事接一件事地直线思考）。
1701063681
1701063682
线性方程组是易于处理的，因为它们是模块化的，可以被分解。每一部分都可以单独分析和解决，最后，所有这些单独的答案都可以重组，即将它们逐个加起来，从而得出原始问题的正确答案。在线性系统中，整体精确地等于部分之和。
1701063683
1701063684
但线性经常是对于更复杂现实的近似。大多数系统只有当其接近平衡状态，且我们不对系统施加太大压力时才会表现出线性。一名土木工程师可以在风力不太大的条件下预测摩天大楼将如何在风中摇晃。电路只要不被电源浪涌烧毁，它的特性就是完全可以预测的。当系统呈现出非线性，脱离了正常工作范围时，一切都免谈。
1701063685
1701063686
然而，我们并不能认为非线性是危险的，甚至是不受欢迎的。事实上，生命本身就依赖于非线性。当整体不等于部分之和时，当事物间出现了合作或竞争，不只是将它们的单独贡献相加的时候，你就可以肯定非线性是存在的。生物学中到处都在使用非线性——我们的神经系统由非线性组件组成；生态学定律（在我们所了解范围内）是非线性的；艾滋病患者的联合治疗——药物鸡尾酒疗法是非常有效的，这正是因为免疫反应和病毒的种群动态都是非线性的；三种药物联合的药效要远强于三种药物的独立药效之和。人的心理状态毫无疑问也是非线性的，因为如果你在同一时间听你最喜欢的两段歌曲，你不会得到双倍的快乐。
1701063687
1701063688
非线性系统的这种协同特性正是它们难以被分析的原因。它们不能被分开，整个系统必须作为一个连贯的实体一起检查。正如我们先前看到的，这种必要的全局思维是理解庞大的振子系统如何自发同步的最大挑战。一般来说，自组织的所有问题从根本上说都是非线性的，所以对于同步的研究一直与非线性研究密不可分。
1701063689
1701063690
非线性系统的协同特性也是使它们如此丰富多彩的原因。科学中的每个重要且悬而未决的问题，从意识到癌症，再到经济的集体盲目，都是非线性的。在接下来的几个世纪里，科学界会努力攻克非线性问题。从20世纪60～70年代开始，所有同步科学的先驱——维纳、温弗里、藏本由纪、佩斯金以及约瑟夫森，他们已经照亮了一条通向山顶的道路，这是一条通向庞大振子系统的自发有序的路径。随着混沌理论的兴起，又有新的盟友加入了探索。虽然两者的路径不同，却通往同一座高峰。
1701063691
1701063692
◎ ◎ ◎
1701063693
1701063694
非线性问题先前一直晦暗难懂。正是基于这个原因，洛伦茨在混沌问题上的研究进展足以令人振奋。现在，事情突然变得清晰了，即使是最简单的非线性系统也可以表现出非常复杂的行为，其复杂程度远超出人类的理解范围。这听起来像是一个悲观的结论，但它同样可以让人们燃起希望，这意味着一些看似随机的现象中可能蕴含有更深层的规律。
1701063695
1701063696
随后，混沌理论的第二波浪潮到来了，这波浪潮揭示了混沌本身。与它充满误导性的名字不符，混沌实则包含了一种惊人的新秩序。这一关键发现是由物理学家米切尔·费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）完成的。费根鲍姆发现，存在特定的普遍规律支配着从有序到混沌的转变。粗略地讲，完全不同的系统可以通过同样的方式走向混沌。他的预言很快就在电子电路、旋转流体、化学反应、半导体以及心脏细胞的各种实验中得到了证实。这就好像古老的毕达哥拉斯的梦想成真了：世界不是由土、气、火和水组成的，而是由数字组成的。费根鲍姆的规律超越了心脏细胞与硅基半导体之间的表面差异。不同的物质遵循着同样的混沌规律，其他普适定律也很快就会被发现，僵局似乎被打破了。
1701063697
1701063698
这是非线性科学史上的一段快乐时光。“混沌”这个词语本身很酷。这个领域被一些人吹捧为20世纪物理学的第三次伟大革命，另外两次是相对论和量子力学。“混沌”首次渗透了非线性的一些奥秘，并在以前似乎毫不相关的领域之间建立了联系。1987年，詹姆斯·格莱克（James Gleick）的畅销书《混沌》（Chaos）将混沌理论推向了大众。书中记述了洛伦茨和费根鲍姆等人的英雄事迹，费根鲍姆留着贝多芬式的发型，一根接一根地抽着烟，午夜游荡在洛斯阿拉莫斯国家实验室的街道上，寻找着湍流的秘密。当时，杰夫·戈德布卢姆（Jeff Goldblum）在《侏罗纪公园》（Jurassic Park）中扮演了一名混沌理论家，身穿皮衣，看起来像个摇滚明星。混沌好像真的来了——特别是在戈德布卢姆在劳拉·德恩（Laura Dern）的导演下完美地表演了蝴蝶效应之后。
1701063699
1701063700
在那之后，蝴蝶效应成为这个新科学最为熟悉的标志。这再合适不过了，因为它表现了混沌的鲜明特征。这个词来自洛伦茨1979年的一篇论文的标题“可预测性：巴西的一只蝴蝶扇动了几下翅膀会引发得克萨斯的龙卷风吗”，其背后隐藏的原理是，在混沌系统中，微小的扰动以指数级快速增加，致使长期预测变得不可能。
1701063701
1701063702
蝴蝶效应的一个令人沮丧的推论（大约是公认的）是，两个无序系统永远无法彼此同步。即使你做了很大的努力，用同样的方式开启它们，它们的初始状态也仍然存在一些微小的差别。通常情况下，细微的差别在很长一段时间都会很小，但在混沌系统中，错误的级联和反馈十分迅速，系统几乎立刻会出现偏离，从而破坏同步。由此得出的结论可能是，非线性科学中最有活力的两个分支——混沌和同步，可能永远不会紧密结合，因为它们本质上是矛盾的。
1701063703
1701063704
虽然这听起来有道理，但是我们现在已经知道，宣称“混沌同步不合法”的论断是错误的。混沌是可以同步的。
1701063705
1701063706
这一现象最初发现于20世纪90年代早期，随之出现的是另一个关于混沌本身的视角的转变。传统上看来，混沌被认为是令人讨厌的东西，是应该被抑制和从工程中移除的东西。在革命的鼎盛时期，混沌成了一个著名的让人感到好奇的学科。人们承认它在自然界的普遍性，并揭露了其中隐藏的秩序。没有人知道它是否对事情有益，但这没关系，人们为它自身的缘故而着迷。现在，随着混沌同步的发现，混沌理论再次发生了沧桑巨变。一夜之间，人们开始承诺混沌是有用的。物理学家和工程师都梦想着如何利用其卓越的性能，实现一些潜在的实际应用，例如为手机通话以及其他形式的无线通信加密，以防止被窃听等。
1701063707
1701063708
混沌同步的发现同样丰富了我们对于同步本身的理解。过去，同步一直被认为与节律相关，这两个概念如此紧密地联系在一起，人们很容易就会忽视它们之间的区别。节律性意味着某事物在固定的时间间隔内重复之前的行为，同步意味着两件事同时发生。混沌的出现是因为许多同步现象同时也具有节律性。同步的萤火虫不仅闪光一致，它们的闪光还具有周期性，闪光的时间间隔固定；心脏起搏细胞以恒定的速率，步调一致地发射；月球绕地球公转一周的同时也自转一周，它的自转和公转都遵循着周期性，循环往复。
1701063709
1701063710
但我们都知道，至少在理论上来说，同步无须周期性也可以持续。这里可以想象一下管弦乐队的演奏家，所有的小提琴在同一时间进入，并自始至终保持同步。但他们的演奏不是周期性的：他们不会一遍遍地重复演奏同一乐章。在双人花样滑冰世锦赛中，选手二人的优雅动作同步发生，但每个动作都别出心裁，从未出现过重复。
1701063711
1701063712
这些无周期的同步给我们留下了深刻的印象，让我们欣喜，甚至让我们感动。它们的共同点在于，它们似乎需要智慧和技艺，这也是为什么混沌同步的发现是如此惊人的原因：它表明，无意识的事物可以胜任原始的同步壮举。而纯力学系统即使保持着完美的一致，也会不可预知地发生偏离。
1701063713
1701063714
◎ ◎ ◎
1701063715
1701063716
要理解混沌同步的工作原理，第一步是理解混沌本身。我们中的许多人从一开始就对混沌抱有错误的成见。（顺便说一句，我们对于周期性的理解就不是这样。我们的本能理解是正确的。我们身边所有的周期——心脏的跳动、四季的更替、卡车倒车时刺耳的嘀嘀声，这些都给了我们正确理解周期性的准确感觉。你能感到自己心中有一面鼓在随着游行队伍的行进而有节奏地震动。现在我们需要培养对于混沌同样的感觉。）
1701063717
1701063718
我们迷惑的一部分源于这个词本身。在口语中，混沌意味着一种完全无序的状态。然而，在技术意义上，混沌是指一个随机出现的状态，但它实际上是由非随机规律产生的。因此，它占据了一个介于有序与无序之间的陌生的中间地带。它表面上看起来古怪，实际上却包含了神秘的模式，受严格的规则支配。从短期来看，混沌是可以预测的，但从长远来看，它是不可预测的。它从不重复自己，它的行为是非周期的。
1701063719
1701063720
混沌由洛伦茨方程支配，它可被一个奇特而美丽的装置生动地阐明，该装置是洛伦茨在麻省理工学院的前同事威廉·马尔库斯（Willem Malkus）设计的一台桌面水车。它的用途是一个教具，用于给学生们形象化地展示运转中的混沌，是由马尔库斯和他的同事卢·霍华德（Lou Howard）设计的，装置主体是一个转盘，转盘边缘附着数十个漏水的纸杯，样子就像摩天轮上的椅子。马尔库斯告诉我，这个装置的原型“一团糟”，即水从水壶里倒进来，让转盘转动，水会慢慢地从杯子里流出来，洒得桌子和地板上到处都是。而他改良后的水轮则完全是一个独立的机器（见图7-1）。
1701063721
1701063722
1701063723
1701063724
1701063725
图7-1 运转状态下的混沌模型
1701063726
1701063727
一个直径约30厘米的塑料轮子，在稍微倾斜于水平方向的平面上旋转（与普通的水车不同，普通的水车在垂直平面内旋转）。按下开关，水自动抽到伸出来的支管中（多孔软管），然后通过几十个小喷嘴喷到轮子边缘隔开的腔室中（相当于简易版本中的杯子）。在每一个腔室的底部，水通过一个小孔漏出，汇集在轮子下方的公共蓄水池中，再经过水泵抽回到喷嘴中。这种再循环方案保证了稳定的水流入量。
1701063728
1701063729
当你打开机器时，起初并没有什么特别的事情发生。轮子不动，接着水流入腔室，发出潺潺悦耳的声音；与此同时，腔室也在排水，但排水速度慢于进水。一旦腔室太满，轮子变得头重脚轻，就会开始朝一个方向转动，像一个正在倒下的倒立摆。这种转动会将一组空的腔室带到支管下，同时将充满水的腔室从喷嘴下方移开。很快你便会发现一种模式：轮子始终朝一个方向旋转，我们假设其为逆时针方向。一分钟后，旋转变得越来越缓慢，勉强转到顶端，原因是轮子边缘的水的位置使得轮子越来越不平衡。随着轮子尽力完成最后一次转动，旋转减慢并停止，方向就将发生改变，开始朝顺时针转动。片刻之后，这个轮子进入了良好的稳态：顺逆时针随意转动，在不可预知的时间点上变换方向。它可能顺时针旋转三次，然后逆时针转一次，朝一个方向转四次，再朝反方向转七次，没有能辨别出的趋势。这个模型长期的运转状态是非周期的，其中的运动从不衰减、从不重复。