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要理解混沌同步的工作原理，第一步是理解混沌本身。我们中的许多人从一开始就对混沌抱有错误的成见。（顺便说一句，我们对于周期性的理解就不是这样。我们的本能理解是正确的。我们身边所有的周期——心脏的跳动、四季的更替、卡车倒车时刺耳的嘀嘀声，这些都给了我们正确理解周期性的准确感觉。你能感到自己心中有一面鼓在随着游行队伍的行进而有节奏地震动。现在我们需要培养对于混沌同样的感觉。）
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我们迷惑的一部分源于这个词本身。在口语中，混沌意味着一种完全无序的状态。然而，在技术意义上，混沌是指一个随机出现的状态，但它实际上是由非随机规律产生的。因此，它占据了一个介于有序与无序之间的陌生的中间地带。它表面上看起来古怪，实际上却包含了神秘的模式，受严格的规则支配。从短期来看，混沌是可以预测的，但从长远来看，它是不可预测的。它从不重复自己，它的行为是非周期的。
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混沌由洛伦茨方程支配，它可被一个奇特而美丽的装置生动地阐明，该装置是洛伦茨在麻省理工学院的前同事威廉·马尔库斯（Willem Malkus）设计的一台桌面水车。它的用途是一个教具，用于给学生们形象化地展示运转中的混沌，是由马尔库斯和他的同事卢·霍华德（Lou Howard）设计的，装置主体是一个转盘，转盘边缘附着数十个漏水的纸杯，样子就像摩天轮上的椅子。马尔库斯告诉我，这个装置的原型“一团糟”，即水从水壶里倒进来，让转盘转动，水会慢慢地从杯子里流出来，洒得桌子和地板上到处都是。而他改良后的水轮则完全是一个独立的机器（见图7-1）。
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图7-1 运转状态下的混沌模型
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一个直径约30厘米的塑料轮子，在稍微倾斜于水平方向的平面上旋转（与普通的水车不同，普通的水车在垂直平面内旋转）。按下开关，水自动抽到伸出来的支管中（多孔软管），然后通过几十个小喷嘴喷到轮子边缘隔开的腔室中（相当于简易版本中的杯子）。在每一个腔室的底部，水通过一个小孔漏出，汇集在轮子下方的公共蓄水池中，再经过水泵抽回到喷嘴中。这种再循环方案保证了稳定的水流入量。
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当你打开机器时，起初并没有什么特别的事情发生。轮子不动，接着水流入腔室，发出潺潺悦耳的声音；与此同时，腔室也在排水，但排水速度慢于进水。一旦腔室太满，轮子变得头重脚轻，就会开始朝一个方向转动，像一个正在倒下的倒立摆。这种转动会将一组空的腔室带到支管下，同时将充满水的腔室从喷嘴下方移开。很快你便会发现一种模式：轮子始终朝一个方向旋转，我们假设其为逆时针方向。一分钟后，旋转变得越来越缓慢，勉强转到顶端，原因是轮子边缘的水的位置使得轮子越来越不平衡。随着轮子尽力完成最后一次转动，旋转减慢并停止，方向就将发生改变，开始朝顺时针转动。片刻之后，这个轮子进入了良好的稳态：顺逆时针随意转动，在不可预知的时间点上变换方向。它可能顺时针旋转三次，然后逆时针转一次，朝一个方向转四次，再朝反方向转七次，没有能辨别出的趋势。这个模型长期的运转状态是非周期的，其中的运动从不衰减、从不重复。
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水轮的转动是不规律的，即使它的驱动方式并没有什么不规律可言。水泵以恒定的速率汲水，而轮子似乎无法做出决定。这种运动也是不可复制的，下一次你打开水轮时，它的反转模式仍然无法预测。当你花费极大的精力以确保一切都几乎与上一次一样，它的运动会在短时间内与上一次保持相同，但随后仍然会发生变化，此后则是完全无关的正转和反转序列。
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当然，如果你用完全相同的方式开启水轮，那么转动的规律性会再现。这意味着确定性：只有当前的状态才能决定未来的状态。轮子的运动是由确定的方程支配的——牛顿运动定律和流体力学定律，因此，从原则上讲，如果你知道所有的初始变量，那么你就可以预测出轮子未来的运动方式，直至永远。方程本身不包含任何噪声、随机性以及其他的不确定性来源。此外，如果你在计算机上求解方程，使用的初始变量数值完全相同，那么预测的结果每次都是相同的。从这个意义上讲，一切都是可复制的。
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但在计算机外的现实世界中，每次运行的变量都不是完全相同的。细微的差异，都会改变轮子的运动，例如上次实验后留在某腔室中的一滴水，或是某位兴奋的观众呼出的一口气。这种变化起初是不易察觉的，但很快就会出现不可预料的后果。
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以上这些就是混沌的特征：在确定性系统中看似随机的无规律行为；由于确定性的规律，短期内可预测；又因为蝴蝶效应的不可预测性，长期则无法预测。
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混沌的现象引起了一些微妙的哲学问题，这些问题蒙蔽了一些粗心的人。例如，我的几名学生对蝴蝶效应嗤之以鼻，认为它平淡无奇。我们都知道，小事情确实可以在我们的生活中引起巨大的不同，甚至会影响国家的命运。由于如此多的复杂性、如此多的无法解释的变量夹杂其中，微不足道的事件有时确实会引发与之不相称的连锁反应。下面是一首描述王国没落的古代诗歌。
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断了一枚钉子，掉了一只蹄铁；
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掉了一只蹄铁，折了一匹战马；
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折了一匹战马，摔死了一位将军；
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摔死了一位将军，吃了一场败仗；
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吃了一场败仗，亡了一个国家。
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但直到混沌理论出现后，这首诗才得到了广泛的认同。类似的连锁反应甚至可以让最简单的系统苦恼不已：水轮、旋转的月球、滴水的水龙头，这些力学系统中的所有定律都已知，只存在几个变量。即使在这些系统中，也潜伏着混沌的种子，随时准备展现它们带来的惊喜。
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另一个微妙之处是：在混沌中，每个点都是不稳定的点。这比罗伯特·弗罗斯特（Robert Frost）的书《未选择的路》（The Road Not Taken）中的旅行者所面临的困境更糟，比旅行者被混沌支配的生活更加岌岌可危（充满不确定性）。每一刻都是真理的时刻。每一个决定都会产生长期的后果，将你的生活改变得面目全非。当你系衬衫扣子时，你完全无法预知选择从上向下系还是从下向上系，在其数年后产生的结果会有多么的不同。我们的生活可能就是这样的，我们只能沿着一条轨迹前进，所以我们无法知道当我们从下向上系扣子时，命运会发生怎样的改变。但为了保持心智健康的生活，我们只能相信，几乎所有的决定都是无关紧要的。电影《双面情人》（Sliding Doors）就对这种困境进行了探索，影片中描绘了一个女人生活的两个完全不同的版本，而这两种不同的命运取决于在屏蔽门关闭时她是否赶上了地铁。
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相比于混沌系统，有节律的系统并不显现这种对小干扰的过度敏感。拍打一个节拍器，它会断断续续地移动，但随后仍会恢复它持续不断的嘀嗒声。虽然这会使计时产生偏差，但这种偏差不会随着时间的推移而增长。通过下面这个假设，我们可以看得更清楚。有两个相同的节拍器，初始状态是同步的，干扰其中的一个，它恢复后就不再与另一个同步，二者之间会有一个固定的时间间隔，这种差异不会增加也不会减小。更普遍的是，当一个非混沌系统受到轻微的扰动，干扰要么不增加，要么增加幅度非常轻微，且与时间长短成比例。
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有人说，误差的增长速度不会快于随时间的线性增速。这里的要点是如何进行定量计算。误差的线性增长暗示，混沌系统至少在原理上是可预测的。潮汐、哈雷彗星的回归、日食的时间，所有这些都有强烈的节律性，因而可以预测，因为微小的干扰不会迅速增长成为主要误差。预测非混沌系统的时间每长一倍，其初始状态的测量精度就要提高一倍。让系统多运行三倍长的时间，你的测量精度就要提高三倍。换句话讲，可预测的范围也是线性增加的，它与初始状态的测量精度成正比。
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而另一方面，混沌系统有着一种完全不同的表现方式，正是在这里，我们开始了解到蝴蝶效应真正令人丧失信心的含义。成功地预测一个混沌系统状态的时间长度取决于三个因素：我们可以容忍多大的预测误差；我们对初始状态的测量精度的高低；我们无法控制的时间尺度，又被称为“李雅普诺夫时间”，它主要取决于系统本身的内在动力学特性。
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粗略地讲，我们能够预测的时间的极限长度即相当于李雅普诺夫时间，此后，真实初始状态的测量误差会滚雪球似的迅速增大，超出可容忍的限度。通过降低我们的预测标准或提高我们的初始测量精度，我们总是可以预测更长的时间。但问题是，可预测的极限总是取决于初始测量精度：如果你想预测两倍长的时间，且仍要达到相同的精度，那么它将花费你十倍而不是两倍的努力。如果你有雄心，想预测三倍长的时间，那么它将花费100倍的努力；四倍长的时间就需要1 000倍的努力，以此类推。在混沌系统中，所需要的初始测量精度是呈指数级增长的，而不是线性增长。
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