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图8-2 卷轴波的不同状态
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同时，核心的奇点会沿着卷轴的边缘拉长成一段奇异的细丝，就像螺旋波围绕它的核心旋转一般，卷轴波围绕它的细丝线旋转。
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这是一个旋转的卷轴波：科学界从未见过这样的东西。我们不易找到类比。卷轴波是化学龙卷风。是的，除了溶液保持静止，移动的是化学活动的波，是传播激励的三维旋风。此外，就如龙卷风从云层到达地面，但是卷轴波的终点在何方呢？温弗里深信，它们不可能只停留在溶液中间的某个位置。它们不是终止在边界上（烧杯壁），就是终止在顶部的气液界面上，或者它们根本不需要终点。换句话讲，卷轴波可能不停地追逐自己的尾巴，并包围自己。相比于龙卷风，它可能更像一个烟圈。
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这种景象令温弗里十分着迷。这种“卷轴环”真的存在吗？1973年，他证实了卷轴环是确实存在的。他的实验设计十分巧妙，不同于通常烧杯中溶液的B-Z反应，温弗里准备了一厚叠多孔纤维素滤纸，滤纸里面浸透了相同的化学药剂。在完成了他认为可以出现卷轴环的恰当条件后，他让反应继续进行，并用化学方法锁定它。为了检验样本，他把一厚叠滤纸切成薄层，就像使用显微镜的技术人员制作的玻片标本，然后一片片地放置在无反射的玻璃板上。样品结果与预期完全相同，波的形状呈现出炸面圈的形状，而截面为螺旋形。
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但随后，温弗里好奇是否会有其他类型的卷轴环存在。卷轴环在闭合前会扭转特定的圈数吗？既然腰带可以这样扭转，那卷轴环为什么不可以呢？它们可以打结吗？卷轴环可以像手镯或锁子甲一样彼此连接吗？温弗里尝试用不同的方式将卷轴环联结、扭曲和打结，但他很快发现其中的一个假设是不成立的。
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温弗里利用拓扑学定理，证实了扭曲的卷轴环是不可能的，至少无法作为一个孤立的实体存在。扭曲的卷轴环的结构是自相矛盾的：如果环被扭曲，它会自动被另一条奇异线穿过，这意味着原来的环本质上不是孤立的。拓扑学定理已经揭示了第二个卷轴环一定与第一个相连，虽然尚未预见到。随着进一步努力，温弗里发现，尽管孤立的卷轴环是不存在的，但是相互联结成对的卷轴环则可以存在。它似乎是一种完全可行的结构。
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这个结论的言外之意很诱人：卷轴环的几何形状是受规则支配的。有些结构是允许的，有些则不被允许。一定存在着有待我们发现的规则。
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我们首先要做的是描绘出扭曲的卷轴环的形状。温弗里抽象的拓扑学证据暗示，扭曲的卷轴环被另一个奇异线穿过，但我们二人都无法描绘出整个结构，不知道如何将扭曲的卷轴和另一条贯穿它的奇异线拼接成一个整体。事实上，当温弗里数年前试图手绘它的结构时，他无意中画了一张毫无意义的埃舍尔(21)风格的绘画，就像埃舍尔的那幅《上升与下降》，画中描绘了一群正在攀登四层楼梯的僵尸，上到楼顶后却又不可思议地出现在了楼梯的底部。
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但现在一切都不同了。我们拥有了苹果计算机，计算机可以为我们画出这个表面，我们需要做的只是告诉它画什么。我的工作是编写一个计算机程序，粗暴地计算出这个表面。这背后隐含的思想很简单：扭曲的卷轴仅仅是一圈圈螺旋形条纹而已，每一条相比于它的邻居都微微翘起。所以，我命令计算机去计算螺旋线上的点，然后复制它，并围着圆环将螺旋线向前推进一格，同时将螺旋线扭转一格。一遍遍重复这个操作，直到螺旋返回到起始位置为止，这样便画出了一个围绕圆环的轨道和一个完整的扭曲。唯一棘手的问题是，每条螺旋线有多长？换言之，它有多少个转弯？在这里，化学给出了答案：螺旋波继续前进，直到撞上另一个为止。因此，螺旋线碰撞的部分应该被擦除，因为它们会互相抵消，就像应激介质中相互碰撞的波那样。
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按照要求，苹果计算机得出了数百个数字组成的表格，代表着扭曲卷轴表面上的点组成的网络。现在，我们需要做的就是通过计算机图形程序运行这些数字，它最终揭示出扭曲的卷轴环。我对温弗里购买的软件——比尔·巴奇三维图形系统跃跃欲试，我们屏住呼吸，但结果却大失所望，计算机上显示出的图形太粗糙了，网格点的数量严重不足。显然，比尔·巴奇的系统已经无法胜任了，刚才的结果也是按照我们的要求勉强计算出来的。最后，我们只好徒手把这些点连接起来。我们打印出了粗糙的图片，用彩色铅笔粉饰打印的痕迹，希望可以看到令人惊讶的东西。但是很不走运，见证奇迹的时刻尚需等待。
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与此同时，温弗里和我开始研究更理论的问题，寻找卷轴波的拓扑规则。因为没有明确的方向，于是我们感到需要更好的直觉。温弗里的实验里贮存着大块红色绿色的牙蜡，还有橙色的成型黏土，以及取之不尽的吸管。所有这些都是制作打结点、联结以及扭曲面必不可少的材料。
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这就是我们的工作。我坐在电脑前或实验室的长凳上塑造牙蜡，试图将其塑造成从未见过的形状，温弗里则总是用记号笔在画板上绘制卷轴波图案，然后用剃刀“吱吱吱吱”地把好想法剪下来，将它们粘到实验室笔记本中。对我们而言数个小时有如弹指一瞬。偶尔，我们会在顿悟时打破平静。然后，我们会努力解释想到的景象，澄清它，用直觉体会它，我们总要创造一些词语，因为三维几何形状非常难以捉摸，难以表达。但最终，我们总能理解彼此，并一起着手把这些想法变成理论的曙光。这些数学谈话紧张而兴奋。对我来说，这种感觉就像拥有了一个更强的大脑，它会持续一整天之久，日复一日。通常我们一起吃午饭，在阳光明媚的日子里，我们会坐在公寓的游泳池里，他在画板上绘图，而我则在脑海中描绘这个场面。到了晚上十点，我们总会感觉头痛，不得不回去休息。
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到了8月，我们已经找到了联结和扭曲的卷轴环所有可能结构的规则，但打结的规则很难找，我们对其一无所知。我们开始从最简单的例子着手：单个的卷轴环，上面系着一个三叶结。为了制作三叶结，我们准备了一根鞋带，打一个反手结，就像开始系鞋带一样，然后把末端连在一起。我们得到的曲线是一条打结的环，看上去就像一片三叶草的轮廓（见图8-3）。
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图8-3 三叶草形状的卷轴环
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我们对三叶草形状的卷轴环是否具有数学意义和化学意义十分好奇。如果是在烧杯中的B-Z反应，它是否必定会联结到其他环上？它可以单独存在吗？它也可以通过正确的方式扭曲吗？果真如此的话，那么扭转多少圈是合适的呢？它产生的波是什么样的？
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为了使这些抽象问题更明确，我把一些牙蜡卷成更长更纤细的部分，弯曲它们，把它们的末端连接起来，直到它们看上去像一片三叶草。此时，奇异线便像是卷轴又长又细的木销钉，波就像卷轴展开后的羊皮纸。这个表面始于销钉终于销钉，同时紧紧围绕在销钉周围。幸运的是，在数学意义上，卷曲是无关紧要的：它总是可以通过拉紧卷轴波而消除（我们假想波是由氨纶组成的）。卷轴波的关键是，它始于奇异线，也终于奇异线，它的表面没有其他边界。用另一种颜色的牙蜡，我开始制作波的表面，一次制作一个格，总是从奇异线开始做起，按照我自己的方式进行，直到所有的小格合并成一个连续的薄层。
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下一个问题是，这张薄层有一面还是两面？这个问题可能听上去很疯狂：单侧曲面是什么？最著名的例子就是莫比乌斯带（Mobius strip），一张纸条扭转半圈，然后闭合成一个环。如果你用手指从某处开始，沿着莫比乌斯带前进，最终你的手指会回到纸条的另一面（尽管这个说法是错误的——这里并不存在“另一面”，因为正面和背面是相同的）。从这个意义上讲，莫比乌斯带只有一个面。
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如果我的牙蜡表面是单侧曲面，那就糟透了。化学理论表明，卷轴波一定是双侧曲面，这源于应激介质的基本事实：波垂直传播，侵入平静的范围，留下耐火的灰烬。这意味着波同时具有正面和背面，但莫比乌斯带不是这样。或者用另一种方式说，想象一下，如果把莫比乌斯带的一面画成红色，表示向前燃烧的那一面，然后把另一面画成黑色，表示灰烬的那一面。但它们是同一面，所以你在红色上面又画了一层黑色。如果波只有一面，那么向前传播的整体概念则没有任何意义。
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画一片三叶草有很多方法。奇怪的是，有些方法会画出单侧曲面（因此是被禁止的），有些方法则会画出预想的双侧曲面，因而提供了预选的波阵面形状。经过一阵摆弄，我意识到，所有可接受的表面都是拓扑等价的，通过适当的弯曲和拉伸，每一个都可以通过连续变形成为预想的任意双侧曲面（见图8-4）。因此，只有一个正确答案，它就是三叶草形状的卷轴波。
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