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我被分配负责考试的应用数学部分。我们计划测试四至五名学生，其中一人就是邓肯·瓦茨，瓦茨是澳大利亚人，身高约1.9米，带着自信的微笑，体型酷似“绿帽”兵(24)。出于对混沌理论的痴迷，瓦茨来到了康奈尔大学。在澳大利亚时，他主修物理，是澳大利亚国防学院的顶尖学生之一，曾参与角逐罗德奖学金(25)。
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答辩委员会主席向我点了点头。“斯托加茨教授会首先提问。”我要求瓦茨在新月形区域中采用保角映射法求解拉普拉斯方程。其他几位教授瞪着我，显然这个问题是学生们不会研究的（我初来乍到，无从知道这些）。尽管瓦茨并未作过多思考，但是他噼噼啪啪地说了几分钟，说了些他在大学里如何研究保角映射。我意识到了自己的失态，主动想要提出一个不同的问题，但我的一位同事似乎很享受室内燃起的火药味，表示不同意更换问题，他要看看瓦茨会怎么办。
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瓦茨逐渐摸索到了解决问题的方法，显然他已经忘记了标准解法，但不知如何却找到了一条通向正确答案的路径。瓦茨可能已经慌乱了，但并未表现出来。事实上，他给我们留下了一个有趣的奇怪印象。
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几个月后，瓦茨的反应对我产生了意义，我注意到他实验室大门上贴着一张照片，照片中的瓦茨，双手挂在澳大利亚珀彭迪丘勒角一处70米高的垂直海崖上。我意识到，自己刚刚物色到了下一名博士生。
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我和瓦茨开始商量，为他寻找合适的论文项目。可选择的课题包括混沌激光器应用于私人通信或淋巴系统血管中的振荡问题。但无论是激光还是淋巴都没能打动我们。经过了半年的犹豫不决，我们俩都感到十分沮丧。
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1995年，春光明媚的一天，我在神经生物学与行为系做了一场关于萤火虫同步的演讲，我的同事罗恩·霍利（Ron Holy）和他的学生正在这里研究蟋蟀的通信。我要强调的是，到目前为止，同步理论和任何实际生物实例之间的联系都少得可怜，而且还不清楚它们是否有效，也许设计一些关于蟋蟀群体行为的实验可以得到答案。一位叫蒂姆·福里斯特的博士后对此十分兴奋；他大学时主修数学，现在是生物声学专家。他给出了肯定的答复，乐于探讨雄蟋蟀如何策划规模巨大的合唱以吸引雌蟋蟀。他主动提出要抓一些“动物”，并自愿设计一套实验，使得我们可以测试自己的数学模型，甚至将我们引向新的数学模型。
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瓦茨对这个项目非常感兴趣，于是每隔几天就与福里斯特会面。与此同时，我们幻想着要去尝试的实验。我们的梦想是同时测量所有蟋蟀的鸣叫，追踪它们每一秒趋于同步的进程：对于萤火虫或生物钟细胞以及其他生物振子群体的同类型实验都是前所未有的。另一个目标是测试相变，用温弗里和藏本由纪模型进行长期预测，但实证检验却从未做过。我们的计划是循序渐进地改变蟋蟀之间的耦合。在低耦合状态下，此时它们几乎听不到彼此的叫声，它们各自不同的先天鸣叫速率会阻止它们同步。就像跑道上那些不能待在一起的跑步者，因为他们的自身能力分布太广，如果耦合太弱的话，鸣叫速率快的蟋蟀会同速率慢的分开。群体会陷入喧嚣。另一方面，如果我们能逐渐增强蟋蟀间的相互影响（通过让它们的鸣叫更响或更长，或通过某种方式使蟋蟀更敏感），温弗里和藏本由纪的理论暗示我们，应该去了解耦合的临界值，即很多蟋蟀突然开始齐声鸣叫的突变处。
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即使我们未找到相变，我们也希望记录下真实群体中彼此同步是如何突然发生的。福里斯特先前的导师进行的早期实验表明，单独的蟋蟀会随着其他蟋蟀的叫声进行调整。因此，如果它在准备鸣叫时听到了叫声，它会通过必要的修正使自己神经时钟提前。如果它在自己刚刚鸣叫之后听到了叫声，这表明它自己的鸣叫过早，它的神经系统会自动校正时钟，稍稍推迟下一次的鸣叫。通过这种方式，蟋蟀神经系统的工作非常像惠更斯的钟摆，负反馈产生了某种促进同步的变化。如果我们可以从许多只单独的蟋蟀中量化出它的鸣叫节律，并描绘出每一只蟋蟀如何调整自己的节奏以回应其他蟋蟀的鸣叫，那么数学便能够在很宽的条件范围内预测出它们的集群行为。
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福里斯特建造了精妙的隔音小盒，每个盒子里面放一只蟋蟀。每个盒子里都有自己的小麦克风，以便将盒子内蟋蟀的叫声传到其他盒子，盒子里还有一个微小的扬声器来放大传入的信号。这种人为的实验设计使得我们可以控制相互作用强度。我们可以放大鸣叫声，也可以像我们期望的那样温柔地播放它。通过使用各种不同的连接方式将盒子连接起来，我们甚至可以控制让某只蟋蟀听特定蟋蟀的鸣叫。
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瓦茨一边思考着可选择的方法，一边开始考虑更普遍的连接。在现场，哪只蟋蟀听从哪只的鸣叫并不明显。总之，它们似乎是随机分散在树上，没有形成明显的模式。雄蟋蟀可能只响应最靠近它的竞争者，也可能收听所有蟋蟀的鸣叫。我们甚至并不清楚连接是否重要，或许它们在任何条件下都会同步。
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1996年1月的一天，瓦茨走进我的办公室，他带来一个另类的想法——这是他研究方向的又一次变化。当瓦茨对连接想入非非时，突然想起了父亲曾经说过的话，我们与美国总统之间都只相隔6次握手。瓦茨很好奇这种说法的真实性，果真如此的话，那么它对于世界的连接方式又意味着什么？
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“是的，”我说，“我听说过六度分离理论。这是一个乔装的数学问题，等待着用公式表示。”
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“但这不是全部，”瓦茨继续说，“六度分离理论与我们正在研究的蟋蟀奥秘有关。假设生物振子网络按照这种方式连接，每个振子之间都相隔几次握手，这会影响群体走向同步的方式吗？每个振子都紧密连接，群体会快速而又轻松地实现同步吗？系统还会像藏本由纪模型一样，随着耦合强度增加而出现相变吗？”
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“没人知道这些问题的答案，”我对瓦茨说，“我们从不研究那种网络。”这就是他的观点。振子理论家们一直认为，他们的网络是完全规则的，像晶体中的原子一样有序。温弗里、佩斯金、藏本由纪都已经用最大连通性建立了模型，每个振子都与其他所有振子耦合。没有哪种网络可以更密集地连接；没有哪种结构会更简单。在这些模型后来的扩展中，数学家将那些振子首尾相接连成了一条长链，或对称地放置在方格或三维点阵的角落。类似这种规则的几何形状对于解释物理学和工程学的问题是合理的，例如，在约瑟夫森结阵列中，超导振子故意行列整齐地制造。甚至在连续的介质中，例如装满别洛索夫-扎鲍廷斯基反应的烧杯中，连接仍然是规则的：化学物质主要朝最近的邻居扩散。
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另一方面，对于大脑中神经元的缠绕，格子和点阵显然是不合适的。此处的细胞广泛连接到邻近的细胞，而且还在穿越皮层的中途发出长距离的纤维。更好的几何模型应当包含一种更松散、更轻松的结构，它是一种有序和无序的大杂烩，具有群集的局部连接和随意的全局连接。或许蟋蟀也是如此。一个完整的新类型的振子网络或许正在等待我们去发掘。
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我对此是持怀疑态度的。规则网格上的耦合振子已经十分难以应付，分析这些新的混合网络自然更加无望。但我喜欢瓦茨的主动精神，并不想扼杀它。
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当我们开始四下议论瓦茨的想法时，我开始逐渐领会他更重要的观点。同样的问题也必然会出现在其他类型的动力学系统中，并不只是耦合振子而已。每当非线性元素被连接在巨大的网络中时，接线图便至关重要。这是一个基本原则：结构总是会影响功能。社交网络的结构会影响信息和疾病的传播；电网的结构会影响电力传输的稳定性。生态系统中的物种也是如此，全球市场中的公司，活细胞中的酶级联反应，都遵循这一原则。网络的布局会深刻塑造其动力学特性。
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然而，理论家们通常都会绕开连接问题。当他们不再假设不切实际的规则排列时，便走上了另一个极端，建模成完全随机的连接。例如，1969年，理论生物学家斯图尔特·考夫曼（Stuart Kauffman）提出了一个理想化的基因网络模型，模型中每一个基因被其他两个基因的产物调节，而这两个基因是从基因组中随机选择的。之所以这样设计，并不是因为考夫曼相信实际情况真的如此，但由于1969年时我们对基因网络的连接方式一无所知，随机假设是一种无可奈何的方法，是在没有任何信息情况下的无效假设。数学流行病学家经常求助于相同的假设，他们会假设，被感染者随机与易受感染者混合，尽管对许多种疾病（尤其是性传播的疾病）而言，接触网络不可能是随机的。与规则网络类似，随机网络是十分诱人的理想化网络。理论家们沉迷于这种网络，并不是因为它们逼真，而是因为它们最容易分析。
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到了1996年，规则网络与随机网络的二重唱开始看上去愈发不合理。所有互联网用户都感觉到互联网既是一种模式，又是一座迷宫，网页链接总是指向相同话题的其他网页，但偶尔也会偏离到特殊的岔道。艾滋病病毒和埃博拉病毒表明，传染病主要在密集的社区内传播，而且还借助飞机传播。所以瓦茨现在提出涉足到未知领域，走向有序和无序的边界是合适的。
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我们开始尝试想象一个“中间”网络可能的样子。最简单的方法是选取一个规则的网络，平滑地将其转化成一个随机的网络，这或多或少有点像好莱坞变脸特效，就像迈克尔·杰克逊的唱片《黑或白》（Black or White）中那样。例如，在变换的中途，我们会挑出原网络中一半的连接，删掉它们，并用相同数量的连接散落在随机的节点对之间。由此得到的网络与原网络仍然拥有相同数量的连接，但它是半随机、半规律的。或者我们不重新连接半数的连接，而是选择0和1之间的其他数字。通过输入任意期望的重新连接数量，我们可以逐步在0（得到的仍然是原网络）和1（得到的是完全重连的、无序的网络）之间调整网络。
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举一个具体的例子。请想象将60亿个节点排成一个环，这些节点代表计算机、神经元、人以及其他任何组件。假设每个节点都恰好连接了1 000个邻居：500个结点在它的右侧，500个在它的左侧。这是一个极度有序的网络，一个完美对称的环结构。在这个阶段，调谐器设置为0，作为谱线的固定端。现在从0开始慢慢转动旋钮，逐渐改变网络形态。一些边开始被打破并重新组合。随着变形的继续，越来越多的边变成了随机连接，这削弱了原始环点阵的对称性，同时部分打破了其完整的结构。
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我们引入两个统计数字，以量化网络不断演化的结构。其一是“平均路径长度”，它将分离度可视化。为了计算它，我们选取任意节点对，清点它们之间路径长度的边的数量；然后在其他节点对之间重复上述过程，然后计算得到的路径长度的平均值。
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