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1967年，哈佛大学社会心理学家米尔格拉姆设计了一个实验，以测试美国社会是更像一群毫无联系的孤岛，还是更像一张巨大的连锁网络。实验的目的是跟踪随机选择的美国人之间的一系列相识的人。米尔格拉姆给了人脉链起点的那个人一个文件夹（那是一个令人印象深刻的小册子，有点儿像护照，上面印有哈佛印章），里面有命令，将它送给指定的目标人物，但又有一条要求：“如果你不认识目标人物，不要企图直接联系他。而是要将这个文件夹送给看上去比你更了解目标人物的熟人，这个熟人必须是你能亲密到直呼其名的程度。”这样，文件夹便会在熟人之间传遍全美国，渐渐接近目标。为了开启关系链，米尔格拉姆招募来自美国中西部的志愿者，他后来解释道：“作为一个自然的开始，我认为最好选择遥远的城市作为起点，例如堪萨斯州的威奇托或内布拉斯加州的奥马哈（从坎布里奇看去，这些城市似乎隐约‘在外面’，在大平原或某处）。”内布拉斯加州的实验涉及160名起始者，所有人都试图接触到相同的目标人物，目标人物是一名股票经纪人，住在马萨诸塞州的沙仑，在波士顿工作。当时，米尔格拉姆不相信任何一条关系链会成功，也不知道它们会需要多少步才能成功。“当我问一个聪明的朋友，这个实验需要花费多少步时，他估计从内布拉斯加到沙仑至少需要100步以上。”米尔格拉姆写道。
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实验的结果让人大跌眼镜：44个文件夹只通过2～10名中间人就成功传递到目标人物手中。中间人的中位数是5，对应链条中的6个节点——即流行的“六度分离”中的数字。其他关系链没有成功，是因为有些人不愿意合作并放弃传递文件夹。
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正如这些有趣的结果显示，它们仍然是不确定的。这些关系链可能都不是最短的，因此真正的平均路径长度无法估计。它甚至可能是无限的：可能有生活在不可逾越的社交圈子中的两个人，他们之间没有关系链。如果没有更多关于网络局部连接的信息，我们就不可能计算它的集群。要回答这些更详细的问题，我们还是需要找到一个社会网络，其特征被完全描绘出来，每个节点和边都有不容置疑的记录。
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数学家们曾打趣地开始了一次这样的枚举，他们的圈子以匈牙利学者保罗·厄尔多斯为中心，厄尔多斯在日常生活的各个方面都完全不称职，他甚至不会（或是不愿意）在自己的吐司上抹黄油。然而，厄尔多斯却拥有20世纪最丰富和最具创造性的数学头脑。他喜爱安非他明（一种合成的兴奋剂），拎着他那破旧的手提箱漫游世界，他会出现在你的家门口，并宣称“我的大脑是敞开的”，这意味着他准备好了帮你解决数学问题。
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厄尔多斯与许多人合作过，所以数学家之间计算各自的“厄尔多斯数”成为流行的游戏。如果你是少数几个有幸同厄尔多斯一起撰写过论文的人之一（这类人有507位），你的厄尔多斯数即为1。如果你并未同厄尔多斯一起写过论文，但你同和他一起写过论文的人写过，那么你的厄尔多斯数为2。数学界的笑话是，谁的厄尔多斯数会大于等于2。有一个网站列出了所有厄尔多斯数为1或2的幸运者，但没有列出厄尔多斯数为3的人。因为厄尔多斯数为3的人是海量的。我就是其中之一。如果没有完整的名单，我们就无法计算这个社交网络的平均路径长度和集群。结果证明，人类社交网络难以捉摸到了让人崩溃的地步。
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每当我们向外行描述自己的工作时，他们总会问起凯文·贝肯游戏。我们总是付之一笑，但现在我们看到了摆脱窘境的机会。电影演员的网络可以是社交网络的替代品。社交网络通过友谊连接，演员的网络则通过电影连接。我们可以将在同一部电影中出现的两位演员视为相隔一步。如果二人没有合作过，但拥有一名共同的合演者，那么他们相隔两步，以此类推。虽然有点儿异想天开，但这种网络非常便于理解。互联网电影数据库中几乎包含了每一部电影中的演员。另一方面，它的规模同样也会导致一个问题：1997年4月，该网络包含了100万名演员中的近1/4，所以计算量是巨大的。即使是世界上最大的超级计算机之一——康奈尔的超级计算机也难以处理内存中所有的数据。
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幸运的是，弗吉尼亚大学的计算机科学家布雷特·查登（Brett Tjaden，亦称贝肯的先知）已经花了几个星期来计算任意两名演员之间的最短路径。他发现，网络有一个有趣的全局结构。它被一个巨大的、相连的部分（被称为“巨大的组件”）所支配，90%的演员都位于其中，包括凯文·贝肯和你所听说过的所有演员。但它也包括少数几个小岛，零星的默默无闻的演员被从主流演艺圈中切断开来。例如，一个人和他的朋友们在电影学校中参演了一部电影，但他们都没再参演过其他电影。
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利用查登的数据，瓦茨计算出在巨大组件中任何两名随机选择的演员都是分离的，他们平均仅仅相隔3.65部电影：这个小数字令人印象深刻，因为演员数据来自每个国家、流派以及从无声电影到现代电影的不同时代。如果网络已经完全随机，相应的数字会更小，但不会小很多，是2.99。另一方面，集群则非常大，是0.79，大约是随机网络的3 000倍。
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因此，我们再次看到了相同的二元矛盾：短路径长度和高度集群，是小世界网络的鲜明特征。无论什么原因，或许是运气，抑或是更深层次事物的暗示，我们现在看过的三个网络（它们并非是仔细挑选的）结果都被证明是小世界。这种相似性在网络的不同规模和科学来源之下显得特别突出。我们开始感到，小世界网络可能是非常普遍的。
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顺便说一句，这种分析也将凯文·贝肯推下了神坛。他在触角最广的演员榜单中名列第669位，参考的是他同巨大组件中的所有演员之间的平均分离度数。通过这项测试，好莱坞的中心是罗德·斯泰格尔（Rod Steiger）。出乎意料的是，分列二三名的是克里斯托弗·李（Christopher Lee）和唐纳德·普莱森斯（Donald Pleasence），二人都以他们在低俗的恐怖片中的角色闻名。
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我们已经证明，小世界网络不仅存在，而且甚至可能是无处不在，我们仍然需要解决瓦茨最初提出的问题：小世界中耦合振子的同步会比它们在传统的规则网络中更稳定吗？还是相反？在早期开发变换模型的帮助下，这个问题最终一定会解决，至少是在理论上解决。网络中的每个节点现在都代表一个自激振子——一只唱歌的蟋蟀，一只闪烁的萤火虫，一个起搏器神经元，节点之间的边会反映出相互作用的模式。
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这类模型中最简单的模型之一先前被藏本由纪和他的同事坂口修治（Hidetsugu Sakaguchi）和篠本茂（Shigeru Shinomoto）研究过。他们将相同类型的振子考虑成最初时藏本由纪模型中的振子——固有频率分散的相位振子，在正弦波的作用下彼此耦合。请思考一屋子人通过加快或减慢鼓掌速度，实现一齐鼓掌的情况。这取决于他们相对于集体鼓掌的时机掌握，他们要试图克服各自不同的鼓掌速度，整个过程经历了从庄严到狂热的演进。但不同于原来的藏本由纪模型，原来的模型中振子是彼此间全部耦合的，日本物理学家们现在假设了一个连通的环，振子放置在圆环上，每个振子与两侧相邻的固定数量的振子耦合。设想一个圆形的竞技场，例如足球场，每名球迷只听邻座几人的声音。藏本由纪和他的同事们发现，不相似的振子组成的环不易实现广泛同步；它倾向于分裂成许多由邻近振子组成的小组，每个小组中的所有振子都以相同速度振荡，但每个小组的振荡速度都不相同。体育场内的不同位置现在正在以不同的速度鼓掌。
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我们想知道重连圆环是否可以提高其同步能力。正如早期的模拟中，我们将其中一些原始连接转换为随机连接，将圆环格子向随机网络的方向变换。这就好像有些球迷有手机，可以听到球场中遥远的观众的掌声，而他身边的同伴则无法知晓。我们发现，这些捷径中的一小部分——在1 000个振子组成的圆环中大约占1%～2%，它们戏剧性地改变了整体的动力学特性。系统自发地从狭隘的纷争走向了全局的共识。现在所有振子将它们的节奏锁定到了一个折中频率。
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虽然我们无法看到如何在数学上解释这些结果，但是一个直观的解释可以起到暗示作用：这些捷径提供了高速通信通道，使得相互影响迅速传遍整个群体。当然，相同的效果可能已经实现了，方法是将每个振子直接与其他所有振子连接起来，但如此一来，连线的成本要高很多。小世界网络显然更有效地促进了全局协调。
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同理，或许小世界网络在其他环境中也具有优越性，即信息需要迅速流过巨大的复杂系统的场合。我们下一步研究的案例是计算机科学中的一个经典难题，叫作“一维二元自动机的密度分类问题”。用简单的语言描述，想象1 000个灯泡组成的圆环。每个灯泡不是开就是关。下一时刻，每个灯泡观察它左右两侧的邻居，并使用某种明智的规则（需要确定）决定下一轮灯泡是开还是关。难点在于，设计一个规则使得网络去解决某个特定的计算任务。这问题起初听上去十分容易：就是决定大部分灯泡初始状态是开还是关而已。如果半数以上的灯泡是开着的，规则的重复执行应该会把整个网络驱动到最终状态——所有灯泡都开启。反之，如果初始时多数灯泡都是关闭的，那么最终的状态应该是所有灯泡全灭。
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如果有中央处理器，这个谜题微不足道，天空之眼能够查看整个系统，清点出灯泡初始状态的开关个数。但请记住，这个系统是分散的。灯泡没有全局意识。灯泡都是近视眼，我们假设它们只能看到两侧的邻居。这就是使这个谜题如此具有挑战性的原因：利用局部规则，系统如何解决本质上是全局特性的问题？
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这个难题抓住了所谓“集体计算”的本质。请想象一群筑巢的蚂蚁。一只蚂蚁不知道蚁群在做什么，但它们在一起的表现就像具有思维一般。或者回忆亚当·斯密提出的“看不见的手”的概念，如果每个人都进行局部计算，都以自身的利益行事，整个经济将演化到一个对所有人都有利的状态。这里，在密度分类问题中，类似（但简单得多）的问题可以在一个理想化的、很容易控制的环境中进行解决。我们面临的挑战是制定一个规则，使得网络可以在任何初始环境下，确定大多数灯泡的初始状态是开还是关。网络允许运行的步数等于网络长度的两倍。如果有1 000个灯泡，那么该系统在必须作出判决之前允许执行2 000步的局部规则。
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没人能找到屡试不爽的规则。保持世界记录的规则的正确率是82%，也就是说，它在规定步数内正确区分出了82%的“开更多”或“关更多”的初始条件。或许，你想尝试的第一条规则是多数决定原则，即每个灯泡都模仿它局部邻居中占多数的状态，但这个规则完全不奏效。网络锁定到了一个条纹状态，成片开启和关闭的灯泡仿佛十指交叉。这个结果是不可接受的，就像陷入僵局的陪审团一样。网络应该收敛到一致的裁决，所有必须灯泡非开即关。
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我和瓦茨猜想，灯泡的小世界网络相比于原始的圆环点阵或许能更有效地解决问题。将其中几条边转换为随机捷径或许会使相距遥远的灯泡迅速交流，这样便可防止陷入条纹状态。我们研究了多数决定原则作用于带有各种不同的随机重连圆环网络上的表现。正如所料，当重连很少时，多数决定原则仍然无效；系统与原始的环没有什么区别，一次又一次地陷入僵持不下的条纹状态。当我们增加重连数量时，在较少步数内，网络的表现仍然很差，然后在某一特定的阈值处突然爆发——平均起来，大约在每个灯泡都有一条来自它的捷径时。在这个规则中，多数决定原则开始表现得很出色，正确分辨出了约88%的初始环境。换句话说，在一个智慧的结构中（小世界）运行的愚蠢规则（多数决定原则），其性能已经打破了世界纪录。
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一旦网络的接线图以某种微妙的方式改变，它便自发拥有了计算能力。其含义是，对其他集体计算问题而言，小世界结构可能是一个强大的设计，即便是简单的局部规则，也会赋予小世界惊人的力量。因此，我们有理由推测，进化可能会将小世界网络的结构应用于生物神经系统的设计。
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小世界网络连接的重要性在传染过程中表现得更清晰。任何可以传播的东西——例如传染病、计算机病毒、想法、谣言，都会更容易、更迅速地在小世界中传播。不太明显的一点是，世界变小仅仅需要几条捷径而已。
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艾滋病在北美洲的传播悲剧性地阐明了捷径覆盖范围的可怕，我们认为，零号患者加速了艾滋病的传播，他是一名性行为不检点的法国裔加拿大空中乘务员，他走遍了世界各地，经常光顾旧金山、洛杉矶、温哥华、多伦多以及纽约的洗浴中心。在最早感染艾滋病的248人中，至少40人与零号患者本人或与他先前的性伴侣发生过性关系。
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同样，英国的流行病学家注意到了口蹄疫疫情爆发中的一个惊人的新传播方式，口蹄疫是一种具有高度传染性的病毒，会侵害牛、猪、羊等偶蹄动物，会对畜牧业造成毁灭性的经济损失。在1967年的一次爆发中，该疾病主要通过空气中的粒子扩散传播（但是它也可以由鸟类和动物携带，甚至存留在鞋子和衣服上）。在近2 000个病例中，95%以上位于爆发源的100公里内。相比之下，英国的疫情已经蔓延到了500公里以外。这种差异被认为是农业综合产业的变化，特别是遥远的经销商和市场之间日益增加家畜运输的结果——这就是口蹄疫的传播捷径。该病毒已经从英国蔓延到了爱尔兰、法国和荷兰，仅2000年，34个国家报道爆发了疫情。虽然口蹄疫尚未传入美国（截止本书写作期间），而且自1929年以来尚未袭击美国，但是我们没有任何理由自满。正如两位评论家所说：“我们不只是生活在‘地球村’，还生活在地球农场里。”
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