1701065280
x0=0. 2
1701065281
1701065282
x1=0. 32
1701065283
1701065284
x2=0. 4352
1701065285
1701065286
x3=0. 4916019
1701065287
1701065288
x4=0. 4998589
1701065289
1701065290
x5=0. 5
1701065291
1701065292
x6=0. 5
1701065293
1701065294
……
1701065295
1701065296
最终结果是一样的(永远是xt=0.5),但是迭代了5次才得到。
1701065297
1701065298
用图可以看得更清楚。图2.10是xt在前20步的值的图形。我用线将这些点连起来了,这样可以更清楚地看到,随着时间推移,x迅速收敛到0.5。
1701065299
1701065300
1701065301
1701065302
1701065303
▲图2.10 R=2,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
1701065304
1701065305
如果x0很大,比如0.99,又会怎样呢?图2.11显示了得到的图形。
1701065306
1701065307
1701065308
1701065309
1701065310
▲图2.11 R=2,x0=0.99时逻辑斯蒂映射的变化情况
1701065311
1701065312
最终的结果还是一样的,不过过程要长一些,波动也更剧烈。
1701065313
1701065314
你可能已经猜到了:只要R=2,xt最终都会到达0.5,并停在那里。0.5正是所谓的不动点(fixed point):到达这一点所花的时间依赖于出发点,但是一旦你到达了那里,你就会保持不动。如果你愿意,可以让R=2.5,再试一下,同样你会发现系统总是到达一个不动点,不过这次不动点是0.6。
1701065315
1701065316
R=3. 1的情形更有趣。逻辑斯蒂映射的变化更加复杂了。图2.12是x0=0.2时的图形。
1701065317
1701065318
1701065319
1701065320
1701065321
▲图2.12 R=3.1,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
1701065322
1701065323
在这个例子中,x永远也不会停在一个不动点;它最终会在两个值(0.5580141和0.7645665)之间振荡。如果将前者代入方程,就会得到后者,反过来也是一样,因此振荡会一直持续下去。不管x0取什么值,最后都会形成这个振荡。这种最终的变化位置(无论是不动点还是振荡)被称为“吸引子”,这个说法很形象,因为任何初始位置最终都会“被吸引到其中”。
1701065324
1701065325
往上一直到R等于大约3.4,逻辑斯蒂映射都会有类似的变化:在迭代一些步骤后,系统会在两个不同的值之间周期振荡(最终的振荡点由R决定)。因为是在两个值之间振荡,系统的周期为2。
1701065326
1701065327
但是如果R介于3.4和3.5之间,情况又突然变了。不管x0取何值,系统最终都会形成在四个值之间的周期振荡,而不是两个。例如,如果R=3.49,x0=0.2,最终的结果就像图2.13那样。
1701065328
1701065329
[
上一页 ]
[ :1.70106528e+09 ]
[
下一页 ]