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▲图2.13 R=3.49，x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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x的值很快就开始在四个不同的值之间周期振荡（如果你想知道，它们分别大约是0.872，0.389，0.829和0.494）。也就是说，在3.4和3.5之间的某个R值，最终的振荡周期突然从2增到4。
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在3.54和3.55之间的某个R值，周期再次突然倍增，一下跃升到8。在3.564和3.565之间的某个值周期跃升到16。在3.5687和3.5688之间周期又跃升到32。周期一次又一次倍增，前后R的间隔也越来越小，很快，在R大约等于3.569946时，周期已趋向于无穷。在此之前，逻辑斯蒂映射的变化大致都可以预测。如果R值给定，从任何x0点出发的最终长期变化都能预测得到：R小于3.1时会到达不动点，R介于3.1和3.4之间时会形成双周期振荡，等等。
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但是当R等于大约3.569946时，x的值不再进入振荡，它们会变成混沌。 [26] 下面解释一下。将x0，x1，x2……的值组成的序列称为x的轨道。在产生混沌的R值，让两条轨道从非常接近的x0值出发，结果不会收敛到同一个不动点或周期振荡，相反它们会逐渐发散开。在R=3.569946时，发散还很慢，但如果将R设为4.0，我们就会发现轨道极为敏感地依赖于x0。我们先将x0设为0.2，对逻辑斯蒂映射进行迭代，得到一条轨道。然后细微地变动一下x0，让x0=0.2000000001，再对逻辑斯蒂映射进行迭代，得到第二条轨道。图2.14中的实心圆圈连成的实线就是第一条轨道，空心圆圈连成的虚线则是第二条轨道。
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这两条轨道开始的时候很接近（非常接近，以至于实线轨道把虚线轨道都盖住了），但在大约30次迭代之后，它们明显分开了，很快就不再具有相关性。这就是“对初始条件的敏感依赖性”的由来。
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我们已经看到有三种不同的最终状态（吸引子）：不动点、周期和混沌（混沌吸引子有时候也称为“奇怪吸引子”）。吸引子的类型是动力系统理论刻画系统行为的一种方式。
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我们再仔细来看看混沌行为到底有多不寻常。逻辑斯蒂映射极为简单，并且完全是确定性的：每个xt值都有且仅有一个映射值xt+1。然而得到的混沌轨道看上去却非常随机——事实上逻辑斯蒂映射还被用来在计算机中生成伪随机数 [27] 。因此，表面上的随机可以来自非常简单的确定性系统。
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▲图2.14 R=4.0时逻辑斯蒂映射的两条轨道：x0=0.2和x0=0.2000000001
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此外，对于产生混沌的R值，如果初始条件x0有任何的不确定性，对一定时间之后的轨道就无法再预测了。R=4时我们已经看到这种状况。如果我们对x0不能精确到小数点后第10位——大多数实验观察都做不到这么精确——那么大约在t=30时，xt的值就无法预测了。对于任何能产生混沌的R值，只要x0有不确定性，不管精确到小数点后多少位，最终都会在t大于某个值时变得无法预测。
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数学生物学家梅对这些惊人的特性进行了总结，与庞加莱遥相呼应：
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简单的确定性方程 [28] （1）（即逻辑斯蒂映射）能产生类似于随机噪声的确定性轨道，这个事实有着让人困扰的实际含义。例如，这就意味着种群调查数据中那种明显的不稳定波动不一定表明环境的变化莫测或是采样有错误：它们有可能就是像方程（1）这样完全确定性的种群数量变化关系所导致的……另外，还可以看到，在混沌中，不管初始条件有多接近，在足够长的时间之后，它们的轨道还是会相互分开。这意味着，即使我们的模型很简单，所有的参数也都完全确定，长期预测也仍然是不可能的。
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简而言之，系统存在混沌也就意味着，拉普拉斯式的完美预测不仅在实践中无法做到，在原则上也是不可能的，因为我们永远也无法知道x0小数点后的无穷多位数值。这是一个非常深刻的负面结论，它与量子力学一起，摧毁了19世纪以来的乐观心态——认为牛顿式宇宙就像钟表一样沿着可预测的路径运行。
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但是对逻辑斯蒂映射的研究是不是也会产生一些正面作用呢？对于试图发现随时间变化的系统的一般原则的动力系统理论，它能有所助益吗？事实上，对逻辑斯蒂等映射的深入研究也已经得到了同样深刻的正面结果——从中发现了混沌系统的普遍特征。
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复杂 [:1701064726]
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混沌的共性
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最早用术语混沌来描述对初始条件具有敏感依赖性的动力系统的人是物理学家李天岩（T.Y.Li）和约克（James Yorke）。 [29] 这个词用得恰到好处：在口语中“混沌”一词意指随机和不可预测，在逻辑斯蒂映射的混沌中就有这些性质。然而，与口语中的混沌不同，数学混沌还有本质上的秩序，即很多混沌系统所共有的普适性。
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第一条普适性质：通往混沌的倍周期之路
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在前面的数学探讨中，我们看到随着R从2.0增大到4.0，逻辑斯蒂迭代最初会产生不动点，然后是2周期振荡，然后是4周期，然后是8周期，一直下去，直到出现混沌。在动力系统理论中，这些突然的周期倍增被称为分叉（bifurcation）。不断分叉直至混沌的过程就是“通往混沌的倍周期之路”。
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我们经常用分叉图来表现分叉，分叉图是“控制参数”（比如R）和系统吸引子之间的函数关系。图2.15就是逻辑斯蒂映射的分叉图。横坐标为R，纵坐标是各R值对应的x的最终值（吸引子）。例如，R=2.9时，x会到达固定点吸引子x=0.655。R=3.0时，x会到达双周期吸引子。这就是图中第一个分叉点，不动点吸引子换成了双周期吸引子。在3.4和3.5之间，又分叉为4周期吸引子，后面不断周期倍增，直至R到达3.569946附近，开始出现混沌的发端（onset of chaos）。
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▲图2.15 逻辑斯蒂映射分叉图，用吸引子作为R的函数
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通往混沌的倍周期之路有着悠久的历史。 [30] 早在20世纪20年代，就在数学方程中发现了倍周期分叉，20世纪50年代芬兰数学家米尔堡（P.J.Myrberg）描述了类似的连续分叉。洛斯阿拉莫斯国家实验室的梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦证明，倍周期之路并不是只有逻辑斯蒂映射才有，事实上任何抛物线形状的映射都有类似现象。这里“抛物线形状”意指映射的图形有一个隆起——用数学术语说就是“单峰（unimodal）”。
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第二条普适性质：费根鲍姆常数