1701065348
1701065349
▲图2.14 R=4.0时逻辑斯蒂映射的两条轨道：x0=0.2和x0=0.2000000001
1701065350
1701065351
此外，对于产生混沌的R值，如果初始条件x0有任何的不确定性，对一定时间之后的轨道就无法再预测了。R=4时我们已经看到这种状况。如果我们对x0不能精确到小数点后第10位——大多数实验观察都做不到这么精确——那么大约在t=30时，xt的值就无法预测了。对于任何能产生混沌的R值，只要x0有不确定性，不管精确到小数点后多少位，最终都会在t大于某个值时变得无法预测。
1701065352
1701065353
数学生物学家梅对这些惊人的特性进行了总结，与庞加莱遥相呼应：
1701065354
1701065355
简单的确定性方程 [28] （1）（即逻辑斯蒂映射）能产生类似于随机噪声的确定性轨道，这个事实有着让人困扰的实际含义。例如，这就意味着种群调查数据中那种明显的不稳定波动不一定表明环境的变化莫测或是采样有错误：它们有可能就是像方程（1）这样完全确定性的种群数量变化关系所导致的……另外，还可以看到，在混沌中，不管初始条件有多接近，在足够长的时间之后，它们的轨道还是会相互分开。这意味着，即使我们的模型很简单，所有的参数也都完全确定，长期预测也仍然是不可能的。
1701065356
1701065357
简而言之，系统存在混沌也就意味着，拉普拉斯式的完美预测不仅在实践中无法做到，在原则上也是不可能的，因为我们永远也无法知道x0小数点后的无穷多位数值。这是一个非常深刻的负面结论，它与量子力学一起，摧毁了19世纪以来的乐观心态——认为牛顿式宇宙就像钟表一样沿着可预测的路径运行。
1701065358
1701065359
但是对逻辑斯蒂映射的研究是不是也会产生一些正面作用呢？对于试图发现随时间变化的系统的一般原则的动力系统理论，它能有所助益吗？事实上，对逻辑斯蒂等映射的深入研究也已经得到了同样深刻的正面结果——从中发现了混沌系统的普遍特征。
1701065360
1701065361
复杂 [:1701064726]
1701065362
混沌的共性
1701065363
1701065364
最早用术语混沌来描述对初始条件具有敏感依赖性的动力系统的人是物理学家李天岩（T.Y.Li）和约克（James Yorke）。 [29] 这个词用得恰到好处：在口语中“混沌”一词意指随机和不可预测，在逻辑斯蒂映射的混沌中就有这些性质。然而，与口语中的混沌不同，数学混沌还有本质上的秩序，即很多混沌系统所共有的普适性。
1701065365
1701065366
第一条普适性质：通往混沌的倍周期之路
1701065367
1701065368
在前面的数学探讨中，我们看到随着R从2.0增大到4.0，逻辑斯蒂迭代最初会产生不动点，然后是2周期振荡，然后是4周期，然后是8周期，一直下去，直到出现混沌。在动力系统理论中，这些突然的周期倍增被称为分叉（bifurcation）。不断分叉直至混沌的过程就是“通往混沌的倍周期之路”。
1701065369
1701065370
我们经常用分叉图来表现分叉，分叉图是“控制参数”（比如R）和系统吸引子之间的函数关系。图2.15就是逻辑斯蒂映射的分叉图。横坐标为R，纵坐标是各R值对应的x的最终值（吸引子）。例如，R=2.9时，x会到达固定点吸引子x=0.655。R=3.0时，x会到达双周期吸引子。这就是图中第一个分叉点，不动点吸引子换成了双周期吸引子。在3.4和3.5之间，又分叉为4周期吸引子，后面不断周期倍增，直至R到达3.569946附近，开始出现混沌的发端（onset of chaos）。
1701065371
1701065372
1701065373
1701065374
1701065375
▲图2.15 逻辑斯蒂映射分叉图，用吸引子作为R的函数
1701065376
1701065377
通往混沌的倍周期之路有着悠久的历史。 [30] 早在20世纪20年代，就在数学方程中发现了倍周期分叉，20世纪50年代芬兰数学家米尔堡（P.J.Myrberg）描述了类似的连续分叉。洛斯阿拉莫斯国家实验室的梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦证明，倍周期之路并不是只有逻辑斯蒂映射才有，事实上任何抛物线形状的映射都有类似现象。这里“抛物线形状”意指映射的图形有一个隆起——用数学术语说就是“单峰（unimodal）”。
1701065378
1701065379
第二条普适性质：费根鲍姆常数
1701065380
1701065381
到20世纪70年代，物理学家费根鲍姆（图2.16）的发现让倍周期之路得以在数学界闻名。费根鲍姆用一台可编程的台式计算器算出了倍周期分叉点的R值表（其中“≈”表示“约等于”）：
1701065382
1701065383
1701065384
1701065385
1701065386
这里R1对应周期2 1 （=2），R 2对应周期2 2 （=4），Rn对应周期2 n 。符号∞（“无穷大”）用来标志混沌的出现——周期为无穷大的轨道。
1701065387
1701065388
费根鲍姆注意到，随着周期增大，R值之间的距离越来越近。这意味着随着R的增大，分叉之间的间隔越来越短。在图2.15的分叉图中可以看到这一点。费根鲍姆用这些R值计算了分叉靠近的速度，也就是R值的收敛速度。他发现速度约等于常数4.6692016。这意味着随着R值增加，新的周期倍增比前面的周期倍增出现的速度快大约4.6692016倍。
1701065389
1701065390
1701065391
1701065392
1701065393
▲图2.16 费根鲍姆（美国物理学会西格尔图像档案，当代物理藏品）
1701065394
1701065395
这很有趣，但还不至于让人震惊。当费根鲍姆研究了其他一些映射后——逻辑斯蒂只是研究过的映射之一——事情变得更有趣了。我在前面提到，在费根鲍姆进行这些计算之前的几年，他在洛斯阿拉莫斯的同事梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦就证明了所有单峰映射都会有类似的倍周期现象。费根鲍姆下一步做的就是计算其他单峰映射的收敛速度。他先算了正弦映射，正弦映射与逻辑斯蒂映射相似，不过用的是正弦函数。
1701065396
1701065397
费根鲍姆重复了前面的步骤：计算正弦映射的倍周期分叉点的R值，然后计算这些值的收敛速度。他发现收敛速度为4.6692016。