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到20世纪70年代，物理学家费根鲍姆（图2.16）的发现让倍周期之路得以在数学界闻名。费根鲍姆用一台可编程的台式计算器算出了倍周期分叉点的R值表（其中“≈”表示“约等于”）：
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这里R1对应周期2 1 （=2），R 2对应周期2 2 （=4），Rn对应周期2 n 。符号∞（“无穷大”）用来标志混沌的出现——周期为无穷大的轨道。
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费根鲍姆注意到，随着周期增大，R值之间的距离越来越近。这意味着随着R的增大，分叉之间的间隔越来越短。在图2.15的分叉图中可以看到这一点。费根鲍姆用这些R值计算了分叉靠近的速度，也就是R值的收敛速度。他发现速度约等于常数4.6692016。这意味着随着R值增加，新的周期倍增比前面的周期倍增出现的速度快大约4.6692016倍。
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▲图2.16 费根鲍姆（美国物理学会西格尔图像档案，当代物理藏品）
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这很有趣，但还不至于让人震惊。当费根鲍姆研究了其他一些映射后——逻辑斯蒂只是研究过的映射之一——事情变得更有趣了。我在前面提到，在费根鲍姆进行这些计算之前的几年，他在洛斯阿拉莫斯的同事梅特罗波利斯、保罗·斯坦和米隆·斯坦就证明了所有单峰映射都会有类似的倍周期现象。费根鲍姆下一步做的就是计算其他单峰映射的收敛速度。他先算了正弦映射，正弦映射与逻辑斯蒂映射相似，不过用的是正弦函数。
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费根鲍姆重复了前面的步骤：计算正弦映射的倍周期分叉点的R值，然后计算这些值的收敛速度。他发现收敛速度为4.6692016。
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费根鲍姆很吃惊，速度是一样的。他又检验了其他单峰映射，结果还是一样。所有人，包括费根鲍姆自己，都根本没有想到会是这样。发现这个结果后，费根鲍姆接着又从理论上解释了为何常数4.6692016具有普适性——对所有单峰映射都成立。这个数现在被称为费根鲍姆常数。常数的理论解释使用了一种复杂的数学技巧——重正化（renormalization）。重正化最初是从量子力学中发展出来，后来又被应用到另一个物理学领域：相变和其他“临界现象”的研究。费根鲍姆将其引入了动力系统理论， [31] 并成为理解混沌的基石。
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后来发现这并不仅仅是数学现象。费根鲍姆做出这个发现之后，他的理论在多个物理动力系统的实验中得到了证实，包括流体、电路、激光和化学反应。在这些系统中都发现了倍周期分叉，也用类似的方法计算了费根鲍姆常数。在这些实验中很难准确测量分叉点的R值，但即使这样，实验得到的费根鲍姆常数也仍然在接近4.6692016的误差范围之内。这很让人印象深刻，因为费根鲍姆的理论在算出这个数时只涉及数学，没涉及物理。正如费根鲍姆的同事卡达诺夫（Leo Kadanoff）所说的，这是“一个科学家所能遇到的最好的事情， [32] 头脑中想到的东西在自然界中得到了完美的印证”。
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气象这样的大尺度的系统很难直接做实验，因此没有人在大尺度系统中直接观察到倍周期分叉或混沌。不过，一些气象计算机模型 [33] 却表现出了通往混沌的倍周期之路，另外电力系统、心脏、行星等系统的计算机模型中也有类似发现。
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关于这个故事还有一件让人吃惊的事情。同许多重要的数学发现一样，几乎在费根鲍姆做出他的发现同时，另一个研究小组也独立发现了这个规律。这个小组是法国科学家科雷特（Pierre Coullet）和特雷瑟（Charles Tresser），他们也用重正化技术研究了倍周期分叉， [34] 并且发现了单峰映射的普适常数4.6692016。费根鲍姆也许的确是第一个发现者，并且向科学界广泛而清晰地传播了这个结果，所以这个成就大部分被归功于他。不过在许多科技文献中，也称这个理论为“费根鲍姆—科雷特—特雷瑟理论”，称费根鲍姆常数为“费根鲍姆—科雷特—特雷瑟常数”。在书中还有几个这样的例子，都是在思想条件成熟时同时独立做出发现。
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复杂 [:1701064727]
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混沌思想带来的革命
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在这一章我们看到，混沌的发现使得科学的许多核心原则被重新加以思考。这里我总结一下这些新思想，19世纪的科学家几乎没人会相信这些。
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◆看似混沌的行为有可能来自确定性系统，无须外部的随机源。
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◆一些简单的确定性系统的长期变化，由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上也无法预测。
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◆虽然混沌系统的具体变化无法预测，在大量混沌系统的普适共性中却有一些“混沌中的秩序”，例如通往混沌的倍周期之路，以及费根鲍姆常数。因此虽然在细节上“预测变得不可能”，但在更高的层面上混沌系统却是可以预测的。
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总的来说，变化、难以预测的宏观行为是复杂系统的标志。动力系统理论为刻画其行为提供了数学词汇表，例如分叉、吸引子以及系统变化方式的普适特性。这些词汇在复杂系统的研究中频繁出现。
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逻辑斯蒂映射是种群数量增长的简化模型，但是对其以及类似模型的详细研究却带来了对秩序、随机和可预测性的重新认识。这证明了理想模型（idea models）的力量——这些模型很简单，用数学或计算机就足以进行研究，但是又抓住了自然界复杂系统的本质。理想模型在这本书中，乃至整个复杂系统科学中都扮演了重要角色。
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刻画复杂系统的动力学还只是理解它的第一步。我们还要理解这些动力系统如何被用在生命系统中以处理信息和适应环境变化。后三章会针对这些主题给出一些背景知识，然后我们再来看看从动力学中得到的思想如何与信息论、计算和进化结合起来。
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复杂 [:1701064728]
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第3章 信息
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我认为，熵增定律 [35] ——热力学第二定律——在自然界的定律中具有至高无上的地位……如果你的理论被发现违背了热力学第二定律，你就一点希望都没有，结局必然是彻底崩塌。
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——爱丁顿爵士（Sir Arthur Eddington），《物理世界的本性》（Te Nature of the Physical World）