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▲图7.3 自然界中一些分形结构的例子：树、雪花（显微镜放大）、星系团[树的照片来自美国国家海洋和大气管理局照片图书馆（National Oceanic and Atmospheric Administration Photo Library）。雪花照片来自http：//www.Snow Crystals.com，蒙Kenneth Libbrecht允许使用。星系团照片来自NASA太空望远镜科学研究所（NASA Space Telescope Science Institute）]
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曼德布罗特等数学家为自然界中的分形设计了各种数学模型。其中一个很有名的例子是科赫曲线（Koch Curve，以发现这种分形的瑞典数学家命名）。科赫曲线是通过不断应用一条规则得出：
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1.从一条直线段开始。
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2.应用科赫曲线规则：“将每段线段等分成三段，中间一段替换为一个三角形的两条边，每一边都等于原线段的1/3。”因为只有一条线段，应用这个规则后变为：
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3.对生成的图形再次应用科赫曲线规则，不断继续。下面是迭代了两次、三次和四次之后的情形：
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最后一张图有点像一条理想化的海岸线。（如果你向左旋转90度，然后斜着看，还真有点像阿拉斯加西海岸。）不过它是严格自相似的：曲线的部分，以及部分的部分，都与曲线整体是一样的形状。如果我们将科赫曲线规则应用无数次，图形在无数尺度上都将是自相似的——完美的分形。而真正的海岸线并不严格自相似。如果你观察海岸线的一小段，它并不与整段海岸线的形状完全一样，而是在许多方面相似（例如，蜿蜒崎岖）。另外，在真实世界中，自相似在无穷小的尺度上并不成立。为了简单起见，海岸线这类真实世界的结构通常被称为“分形”，但更严格的叫法应该是“类分形（fractal-like）”，特别是有数学家在场的时候。
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我们熟悉的空间维度的概念对于分形完全不适用。直线是1维，平面是2维，立方体是3维。那科赫曲线是几维呢？
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首先我们来看看直线、正方形和立方体这些常规几何对象的维数到底指的是什么。
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先来看看直线段。将其一分为二。然后将得到的线段再二分，每次都将各段线段一分为二：
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每一次得到的图形都是由两个上次缩小一半的拷贝组成。再来看看正方形。从各边将其二分。然后将得到的正方形继续从各边二分，这样不断二分下去。
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每次得到的图形都是由上次四分之一大小的4个拷贝组成。你可能已经猜到下面做什么了，将立方体从各边二分。将得到的立方体不断二分：
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每次得到的都是由上次八分之一大小的8个拷贝组成。
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这里已经能够看出维度的意义。一般而言，每次得到的图形都是由上次缩小的拷贝组成，而拷贝的数量则是2的维数次幂（2 维数 ）。对于直线，是2 1 =2个拷贝；对于正方形，是2 2 &=4个拷贝；对于立方体是2 3 =8个拷贝。类似的，如果不是二分，而是将各边三分，则每次得到的图形是上次的3 维数 个拷贝。由此可以总结出一个规律：
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将几何结构从各边分成x等份，不断重复这个过程。每次得到的将是前一次的x 维数 个拷贝。
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根据维数的这种定义，直线是1维，正方形是2维，立方体是3维。都没有问题。
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现在将这个定义类推到科赫曲线。每次直线段都是之前的1/3长，而得到的则是之前的4个拷贝。根据前面的定义，应该是3 维数 =4。维数是多少呢？这里我们直接给出结果 [103] （计算过程在注释中给出），根据前面的规律，维数约为1.26。也就是说，科赫曲线既不是1维也不是2维，而是介于两者之间。太奇怪了，分形的维数居然不是整数。这正是分形的奇特之处。