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图3.5 又一次折射
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综合起来，我们不难发现：
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sinα×n1=sinβ×n2=sinγ×n3=常数
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而对于一条光滑的弧线，我们可以在任意一点上测量当地的光线“入射角”（见图3.6上图），并通过公式sinα×n(H)=常数（我们把这个常数叫作const），得到当地的折射率为n(H)=const/sinα。通过测量一系列的点（见图3.6下图），我们就可以得到一组折射率随高度变化的数据。有朋友可能会说，如果要确定n(H)，那么我们还要知道常数const，这个const究竟是多少呢？
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图3.6 如何测量折射率随着高度的分布
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仅从目前能测量到的数据，的确是无法确定这个常数的具体数值，所以我们得到的是不同高度的折射率的相对大小。作为数值估计，还可以近似地认为离盒底最远的地方，糖浓度最低，所以折射率接近纯水，约为1.334。把这个数值代入前面的计算公式中去，常数const的数值就能定下来了。通过测量，我们可以得到如下数值。
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把这些数据输入常用的办公软件Microsoft Office Excel，并作图，即可得到图3.7所示图表，图中菱形就是上表中的实验数据，可以很明显地看到，离盒底的距离越远，折射率就越低。
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图3.7 实验所得数据
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从物理化学数据手册中，我们还能查到折射率与糖水浓度的关系，如图3.8所示。
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图3.8 糖水浓度与折射率的关系（数据来源：Handbook of Chemistry & Physics,CRC出版社出版）
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图3.8告诉我们，糖水的折射率与糖水摩尔浓度（每升溶液中有多少摩尔糖分子）有着非常良好的线性关系，所谓线性（Linear），就是指折射率和浓度之间的关系可以用一条直线（一次多项式）来表达。这样，某个折射率值稍作加减乘除，就可以直接对应于当地的糖水浓度，所以，我们也可以把图3.7中的纵轴看作是糖水的摩尔浓度。那么，糖分子在水中的分布到底是怎样的呢？是不是由下至上均匀地减少呢？图3.7告诉我们，不是这样的。因为如果是均匀地减少，那么由于浓度与折射率的线性关系，折射率也应该均匀地减少。但是实际上，折射率从盒底向上刚开始减少得比较快，后来就慢下来了。很明显，糖分子随高度的分布不是线性的。
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这个现象可以用日常经验来理解，俗话说水往低处流，糖分子在水中也都是倾向于待在最低处，或者说是重力势能最小的地方。而对于这种分布的定量描述，要追溯到19世纪末，众多伟大物理学家的努力（包括波尔兹曼、吉布斯、麦克斯韦等），奠定了物理学的一个重要分支“统计力学”的基础（我个人觉得这门学科在大学物理里面是最难学的，杨振宁先生在这个领域有过重要的贡献）。我们都知道牛顿力学， F=ma，我们用它来描述少数几个物体之间的相互作用，实际上，能够精确求解的问题仅限于求解两个物体之间相互作用时的运动状态，比如太阳系如果只有地球和太阳，它们的运动轨迹是可以用牛顿力学精确预言的。但是如果把月亮加进来，这3个天体的运动就不能准确描述了，幸好月亮质量小，它的影响可以近似忽略。这只有3个物体就已经让牛顿门派的学者们头疼了，而一杯糖水中有亿万个糖分子，如果一个一个用F=ma去描述，那要到何年何月才能算得清？于是“统计力学”应运而生，专门描述这种牛顿力学“拎不清”的大量粒子的运动规律。
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那么统计力学对糖在水中的分布是怎么说的呢？它说，单位体积溶液内糖分子的数量随高度的变化（换句话说就是糖水浓度随高度的变化）服从波尔兹曼分布：
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N(H)=N(0)e—mgH/kT
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其中，N(H)表示在高度为H的地方糖分子摩尔浓度，N(0)表示在高度为0的地方的糖分子摩尔浓度，m是糖分子的质量，g是重力常数9.8m/s2，k是波尔兹曼常数（1.38×10—23J/K），T是温度（单位是K）。这个公式是什么意思呢？它的意思是，在重力的作用下，糖分子的浓度随着高度的变化呈指数减少的态势，刚开始降低得比较快，后来降低的速度变慢了。指数的底是e=2.71828…，这个神奇的数字，默默地掌握着万物运动的规律。
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公式还告诉我们，糖水浓度的分布还与温度有关，包含在指数之中。可以想象，当温度非常高时（T很大），mg/kT很小，这样，增大H只会导致糖水浓度非常缓慢地衰减，如果T趋于无穷大，那么mg/kT=0，糖水就会变得均匀，浓度就不会随高度H有所变化了。这也可以根据常识来理解，如果我们加热一杯糖水，通常甜味就更加均匀地扩散到整杯水中了。
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有了理论指导，我们就可以用它来检验实验结果了，看看理论所预期的糖水浓度随高度的分布与实验结果是否一致，这个检验的过程就是数据拟合。这也可以通过Excel的Solver功能来实现，关于如何使用这项功能进行数据拟合，请读者上网搜索Excel的教程。这里，我只展示拟合后的结果（见图3.9）。因为理论告诉我们糖水浓度随高度变化而指数减少，折射率与糖水浓度是线性关系（即糖水浓度=A+B×折射率），所以折射率也应该随着高度变化而指数减少。的确，图3.9表明实验数据与指数减少的理论曲线非常吻合。
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