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图8.8 测量陀螺转速的数据
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闲话少说，书归正传，如果要从图8.8得到一个陀螺转动频率的具体数值的话，我们还需要知道时间轴的单位是什么。由于Arduino程序语句执行的时间我们无从轻易地得知，所以我们并不知道图8.8中相邻两个数据点之间的时间有多长（即我们不知道这个装置的采样率有多高），因此我们暂时无法得到一个具体的频率值。但是我们做这个实验的目的是要看陀螺的转动频率是否与驱动磁场的变化频率一致，所以我们并不需要知道采样率的绝对数值，而只要用同样的装置，同样的程序来测量磁场的变化频率，看看它与图8.8得到的结果是否一致即可。要测量磁场的强度，需要使用一种叫做霍尔传感器的元件（本书中最后一章“PID控制下的磁悬浮电路”中将会对它进行详细的介绍，本章暂且略过），它是一种测量磁场强度的常用元件，能把电磁铁表面的磁场转换成电压值，输入到Arduino进行模拟信号数字化，然后输出到电脑的Serial Monitor。图8.9所示就是这样测量得到的1000个数据中的60个。之所以在本章中对霍尔传感器测量的过程不做详细介绍，是因为我们也可以非常简单地测量输入到L298N的控制信号的频率，它直接对应于电磁铁中电流的变化频率，当然也就等于磁场交变的频率。我对此也进行了测量，验证了它与用霍尔传感器直接测量的磁场频率是一致的。但是，在图8.9中我还是展示了由霍尔传感器测量到的磁场数据，是为了给大家一个更为直接和令人信服的结果。我是一个严谨的业余科学家。另外，注意到图8.9中的数据波形是由一些比较对称的峰组成的，这表明霍尔传感器的响应时间是比较快的，远远大于光敏电阻。
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图8.9 磁场交变频率的数据
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因为使用了相同的测量装置和Arduino程序，图8.9中60个数据点和图8.8中60个数据点采集所用的时间应该是一样的，那么，令人惊讶的结果出现了。图8.9表明在采集这60个点的时间里，磁场变化了10个周期，而图8.8表明陀螺转动了7个周期！也就是说陀螺的转动频率和磁场驱动的频率并不一致！这是为什么呢？
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关于这个问题，我也没有研究清楚。毫无疑问，它明确地告诉我们，正如图8.2所描述的那样，交变磁场只能直接影响陀螺转轴的进动，而并不直接决定陀螺绕自身转轴的转动频率。但是通过某种方式，陀螺的进动和转动相互影响（耦合），我们才得以通过交变磁场使得陀螺保持了一个恒定的转动频率（虽然并不直接等于磁场频率）。有兴趣的读者朋友在完成这个制作以后，可以开展更为深入的研究，比如测量陀螺进动频率，虽然这个量的测量要困难一些，需要读者设计一个新的测量方式，但是我想这个探索的过程肯定会有很多令人惊喜的收获。
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探索与发现
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在这一小节中，我们暂且把陀螺驱动装置中的一些谜团搁在一边，来探索一下磁悬浮陀螺本身的精妙之处。
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读过本书第7章“逆磁悬浮”的朋友应该记得，恩绍定理告诉我们一个永久磁铁在外加恒定磁场中，不具有势能最低点，而只可能具有势能鞍点。我们在第7章的“探索与发现”小节中还给出了这个定理的证明，那么这个定理是不是在悬浮陀螺这儿就失效了呢？非也。
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首先，假设旋转的陀螺由于角动量守恒的确不会被底座磁场翻过个来，从而一直保持磁极竖直状态（见图8.10）。假设陀螺的磁偶极矩为，底座磁场为，则陀螺的磁场势能为：
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第二个等号的得到是由于陀螺一直保持竖直状态，所以它只有Z方向（竖直方向）的分量；而且它指向负的Z方向（竖直向下），所以抵消掉了前面的负号。这个势能的表达式与第7章证明恩绍定理时得到的势能表达式只相差一个负号，但是这并不改变势能只具有鞍点的事实，因为它的势能还是正比于Bz，第7章证明了Bz在空间中只存在鞍点，而不存在各个方向都是最小值的点。所以即使陀螺在拼命旋转，也改变不了它试图朝两边溜出去的想法，因为在水平方向上，它依然处于势能最高点（图8.10中灰色虚线画出了陀螺在水平方向的势能）。
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图8.10 陀螺保持竖直方向
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但是，显然，通过某种机制，陀螺抵挡住了向两边“开溜”的诱惑，也就是说，通过某种机制，它的势能已经不再是E=mBz。Berry先生在他的著名论文 “The levitron: an adiabatic trap for spins”[4]中解释了这个现象。为了方便喜欢深入研究的读者理解这篇论文，我把其中关键的想法写在下面。
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我们假设受到某种扰动，陀螺稍微向右边移动了一点点，如果陀螺还是保持竖直向上的话，那么它将像稍微偏离山顶的小球，义无反顾地继续向右边滑走了。然而，Berry先生认识到陀螺并不是这么倔强的，因为它感受到磁场对它的力矩，这个力矩无时无刻不在试图扭转它的转轴。当陀螺稍微向右移动时，它的转轴方向不再保持竖直向上，而是会随着磁力线的变化而改变。通过一些推导和近似处理，我们可以证明陀螺能非常好地跟随磁力线的变化，使得其转轴方向和当地磁力线方向的夹角始终保持一致。图8.11画出了这一过程的示意图（为了清楚起见，图中夸大了磁力线和陀螺的偏转幅度）。正是这个过程，使得陀螺在水平方向的势能由一个“山顶”变成了“碗底”，如图8.11中灰色虚线所示。
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图8.11 陀螺稍微偏移竖直平衡位置
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下面我们来简要地证明这一点。我们假设一个具有磁矩的小磁铁在外加磁场中感受到力矩：
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