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图16.1 祥子拉车的问题
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听罢胖客人的要求，祥子琢磨了一下该怎么拉这个车。如果一味地追求速度，从头到尾使出同样的力道来拉这个车，那么到了前门大街尾这车准停不住，得冲过头，到时候这胖子不给车钱可就白忙活了。于是祥子想，我开始的时候用大一点力，加速快一点；到了接近街尾的时候我就减小力，让车自身的阻力来减速。用数学公式来表示，拉力F=Kp（1－x）。其中x表示某时刻黄包车的位置，Kp称为比例增益（Proportional Gain）。为了谨慎起见，我们替祥子求解了一下运动方程，得到了他的位置随时间的变化的曲线，如图16.2所示（获得图中所示曲线，Kp取为300，胖客人和黄包车的质量一起设定为1）。
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图16.2 仅有比例增益时，祥子的位置与时间的关系
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从图中可见，尽管采取了这样的策略，祥子最终还是会拉过头，只好再往回拉。往回拉的时候还是采用同样的策略，则又会矫枉过正，如此反复，要好几次才能最终停在街尾。有没有什么更好的办法呢？实际上如果真让祥子拉的话，当他快靠近街尾（1位置）的时候，他不仅不会再使劲拉车，反而会身子稍向后仰，给车一个阻力，使得车子在到达街尾时速度减为零。如果用一个简化的数学模型来描述这个过程的话，拉力F＝Kp（1－x）－KdV。其中Kd称为微分增益（Differential Gain），V为黄包车的速度。之所以Kd被称作微分增益是因为速度V可以看成是位置关于时间的微分，即V=dx/dt。如果Kp还是取为300，则Kd可以取一个比较小的值，比如30。这样一来，在离街尾比较远的时候，拉力中的第一项Kp（1－x）远大于第二项KdV，所以F是正的，这表示祥子在用很大的力气往前拉；而离街尾比较近，而且车速已经很大时，拉力中的第二项开始比第一项大，所以F是负的，这表示祥子开始身子稍向后仰，阻挡车子向前运动的趋势。我们求解此时的运动方程，画出位置与时间的关系如图16.3所示。你看，这是不是非常完美地达到了胖客人的要求呢！在很短的时间就到达了街尾，更可贵的是，到了那儿车就稳稳地停住了，没有如图16.2所示冲过头的现象。
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图16.3 加入微分增益时，祥子的位置与时间的关系
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你刚刚看到的就是PID控制中的P和D，图16.2和图16.3展示的现象具有广泛的代表性。如果我们只有比例控制（即P），那么最终结果就是会出现过冲现象和围绕着设定值慢慢衰减的振荡，慢慢衰减是因为有地面的阻力。如果阻力大一点，过冲现象就会轻一些，这个振荡也会衰减得快一点；如果没有阻力，那么最终就会围绕设定值持续大幅振荡，祥子的黄包车也永远不可能刚好停在街尾了。而加入微分控制（即D），则有效抑制了过冲和振荡，如果设置得当，还能完全消除这两种现象。
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有读者会问，那么PID中间的I（积分控制）干嘛用的呢？在前面说的例子中的确用不上，但是如果这个死胖子故意使坏，他在车后面与前门城楼上拴了一根巨大的橡皮筋，如图16.4所示。橡皮筋上的张力T=－ kx。其中k是弹性系数，负号表示橡皮筋的张力指向左边。
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图16.4 胖子在使坏
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祥子并不知情，但是可以想见，如果祥子还是按照F=Kp（1- x）- KdV的方式来拉这个车的话，他会遇到这么一个情况，那就是在接近街尾的时候，橡皮筋上的力越来越大，而他的拉力则越来越小，总有这么一处橡皮筋的张力与Kp（1- x）相等。过了这一点以后，黄包车所受的橡皮筋的张力就比祥子的拉力还要大，于是车子就会在这个地方附近徘徊，永远也到不了街尾了。解这个过程的运动方程，可得如图16.5所示曲线。
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图16.5 有橡皮筋拉住的黄包车永远也到不了街尾
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这个时候，祥子肯定会觉得不对劲，怎么总是到不了街尾呢？于是他在F=Kp （ 1－x ）－KdV的基础上加了一项：，这最后一项的Ki就是积分增益（Integral Gain），是一个比Kp和Kd都要小得多的值。当黄包车由于橡皮筋的拖曳怎么也到不了指定位置的时候，（1—x）始终是正的，这一项通过时间的累积就会越来越大，终于祥子的拉力超过了橡皮筋，把车拉向前去。我们把这个运动过程画出图来，如图16.6所示。可以看出它和图16.3几乎一样，黄包车迅速地到达了街尾，并且稳定地停在了那儿。如果没有拴在车后的这根橡皮筋，而是街道有个坡度，街头低街尾高，那么也需要这个积分增益才能到达街尾，否则就只能到Kp（1－x）=mgsinθ的地方了（m是黄包车和乘客的总重量，θ是街道与水平面所形成的角度）。
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图16.6 加入积分增益以后问题解决了
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我敢说，每一位黄包车夫都是PID控制的身体力行者，他们熟练地运用着这种控制方法，穿大街走小巷。其实，最早PID算法的提出就是研究人员通过观察船员控制轮船的方向提炼出来的。了解了它的基本原理，我们来看如何把它运用到实际制作中去吧！
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动手实践
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首先我们可以用非常简单的几个元件搭建一个蕴含着PID控制原理的上拉式磁悬浮，实物如图16.7所示。通过给一个手工绕的电磁铁通电，我们可以对图中的稀土磁铁产生强大的吸引力，以至于平衡其重力。图中的电磁铁是用直径0.255mm的漆包线（图中的红色细线）缠绕在一根一次性塑料注射器上做成的，我用的电磁铁电阻值大约为16Ω，具体数值并不是很重要。但是，注意不能使用铁制品做电磁铁的芯，因为那样稀土磁铁就会直接牢牢地吸附上去，无法通过电磁铁进行调节了。如果我们仅仅是把这个电磁铁接上一个可调电源，增大电流，让它对稀土磁铁产生吸引力平衡其重力，是不足以让稀土磁铁稳定悬浮在空中的（请参考第7章“逆磁悬浮”中的恩绍定律）。读过前面章节的朋友或许还记得，这种情况下稀土磁铁在竖直方向上不具有势能最低点，不能稳定悬浮。这时，我们就需要一个电路来调节电磁铁的强弱，使得当稀土磁铁偏离平衡位置试图奔向电磁铁时，电磁铁中的电流减少；当稀土磁铁偏离平衡位置试图下落时，电磁铁中的电流增加，从而维持一个动态的平衡。
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图16.7 上拉式磁悬浮实物图