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算筹、筹算和十进位值制
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这一时期数学的发展，在前两节中已有涉及，下面着重谈谈筹算及其计算工具算筹和十进位值制的进步。
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筹算是以“筹”为主要计算工具的一种具有独特风格的计算方法。它的产生应在春秋战国之前。由于生产的迅速发展和科学技术的进步提出了大量比较复杂的数字计算问题，筹算在春秋战国时期臻于成熟。《老子》提到“善计者不用筹策”，可见这时候筹算已经相当普遍了。
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图3－16 陶文中的算筹符号（河南登封出土，战国早期。河南省博物馆提供）
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筹，就是一些小竹、木棍。1954年在长沙左家公山一座战国晚期的楚墓出土的文物中，有一个竹笥，其中装有天平、砝码、铜削、毛笔等物品，很像是一套办公用具。其中还装有竹棍四十根，长短一致，约12厘米。实际上，这就是算筹实物。1978年在河南登封出土的战国早期陶器上刻有算筹记数的陶文，这是已发现的关于算筹记数的最早实物证据。在战国时期的货币中，也有一些是用算筹记写的数目为纹式的。用筹来表示一个单位数目，可以分纵式和横式两种，分别用：
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来表示l、2、3、4、5、6、7、8、9。用筹来记数的方法是：个位用纵式，十位用横式，百位又是纵式，千位用横式……这样纵横相间，再加上遇零空位的方法，就可以摆出任意的自然数。例如，1979就可以摆成。这一记数法是符合十进位值制原则的。“十进”是指“逢十进一”。“位值制”也叫“地位制”，例如同样是2，在十位就是20，在百位就是200，根据这个2在数目中的位置不同，它所表示的数值也不同。在《墨子·经下》有“一少于二而多于五，说在建”的记载，显而易见，此中所讲的就和十进位值制有关。
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春秋战国时期，四则运算已经完备。例如战国初年李悝《法经》关于一个“农夫”一家五口的收支情况的叙述中，已经用到加、减、乘等运算。有不少先秦古籍中都有乘法口诀的若干例句。上面已经讲到古四分历的回归年和朔望月的长度都不是整日数，其奇零部分是用分数表示的，所以在历法计算中便不可避免地要遇到分数的计算，而且有些计算还十分复杂。
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十进位值制的记数法和在此基础上以筹为工具的各种运算，是我国古代劳动人民的一项极为出色的创造。它比世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要优越得多。印度直到6世纪，20、30、40等10的倍数仍用特殊的记号表示，到了7世纪才有采用十进位值制记数法的明显证据。现在通用的1、2、3……——所谓的“印度·阿拉伯数码”，大概在10世纪才传到欧洲，而其渊源很可能是起源于中国。十进位值制记数法，是我国古代劳动人民对世界人民的一项不可磨灭的贡献。正如英国的科学史家李约瑟所说，“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”【51】。我们还要指出，这一创造对我国古代计算技术的高度发展产生了巨大的影响，但是它也同时存在着弱点，筹算不如笔算之处在于，计算过程中的中间步骤没有保存，因而检验较难，以致影响到逻辑推理的发展。
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另外，不容怀疑的是，《九章算术》中方田、粟米、衰分、少广、商功等章的内容，绝大部分是产生于秦以前的，这部分内容我们拟在下一章加以介绍。
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078145]
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八 地学著作的出现
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《山海经》
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商周以来，人们的地理视野逐渐开阔。考古发掘证明，殷商的势力范围已达到长江以南，人们已接触到愈益增多的地理知识。春秋战国时期，疆土更趋扩大，各民族间的往来日益频繁。由于生产的发展，商业繁荣，交通、贸易随之发达，人们对地理知识的了解不论在广度和深度上都得到空前的提高。这时人们已经积累了大量耳闻目睹的地理资料，对之进行某种形式的综合论述，以服务于生产和政治的需要，这是符合当时社会发展的要求的。《山海经》、《禹贡》和《管子．地员》等著作，正是顺应这一要求，各从不同的角度作了有意义的论述。
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《山海经》由山经、海经和大荒经组成。其中山经写成时间大约在春秋之末，海经和大荒经则是后来陆续增补而成的。山经从取材、内容到结构都比较朴素，但它是首次对超过黄河和长江流域的广大地区进行自然环境方面的综合概括。它按方位把这一地区分为东西南北中五部分，各部分以山为纲，展开叙述，其中以河南西部作为主要部分的“中山经”叙述最详，“凡百九十七山”，分十二列，当是作者最为熟悉的地方；“东山经”“凡四十六山”，分四列；“西山经”“凡七十七山”，分四列；“南山经”“凡四十山”，排成三列；“北山经”“凡八十七山”，分三列。每一列山都注明方向、道里，标明了一个个山岳的相对位置并使之逐一连接起来。这样把447座山分26列，有条不紊地罗列了出来。
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山经对每一山岳又详略不一地论述了关于位置、水文（包括河流的发源、流向、湖泊、沼泽等）、动植物（包括其形态性能和医疗功效）、矿物特产（包括产地、色泽等特点）以至神话传说等等，构成了全书的主要内容。虽然山经的记述有与客观情况不符之处，甚至还掺杂一些离奇怪诞的内容，但其正确的部分仍是主要的方面，是对广大地区的自然地理作系统描述的科学尝试。但是对山经描述的某些地区，该当现今何地、何山，学者们还有不同意见。
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山经记述了许多极其宝贵的自然地理知识，如南方岩溶洞穴的描述，“南禺之山……其下多水，有穴焉”；对北方河水的季节变化则有“教山……教水出焉……是水冬干而夏流”；河水的潜流现象的描述，“白沙之山……鲔水出于其上，潜于其下”；东部地区的涌泉现象，“跂踵之山，……有水焉，广员四十里，皆涌”；西部的高山气候，“申首之山，无草木，冬夏有雪”。对不同地带植物特点的记述，也常能抓住要害。如在南山经中，记“多桂”、“多象”、“多白猿”等，反映了热带和亚热带地区的特点；中山经有“多桑”、“多竹箭”、“多漆”等，反映出黄河以南和长江中游地区的特点；北山经有“多马”、“多橐驼”等，西山经有“多松”、“多犀兕熊羆”等，反映了温带地区和干燥地区的特色；而东山经有“多茈鱼”、“多文贝”等，正是我国东部沿海地区的特征。山经所记金属产地有一百七十多处，种类凡金、银、铜、铁、锡等十多种，至于重要玉石的产地，记载的就更多了。
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海经和大荒经的内容因传闻和神话较多，在科学史上的地位不如山经重要。
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《禹贡》
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《禹贡》大约成书于战国时期，它无论在地学知识和地学思想方面都比山经前进了一大步。如果说山经主要是地理事实的罗列，那么《禹贡》则已从各种地理现象中，选择某些因素为标志，进行分区和区域对比，并用简洁明确的文字表达了出来。
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《禹贡》主要依据自然条件中的河流、山脉和大海的自然分界把所描述的广大地区分为冀、兖、青、徐、扬、荆、豫、梁、雍等九州。例如，把山西、陕西交界的黄河以东，河南黄河以北，河北黄河以西的地区，称为冀州；把山东济水与河北黄河之间的地区称兖州，湖北荆山与河南黄河之间称豫州等等。这比山经只是简单地、彼此缺乏有机联系地分为五方的分区原则更富地理意义，带有自然区划思想的萌芽。
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九州的区分严格地说既不是自然区也不是经济区，作者主要描述了他所向往的统一王朝统治的广大地区，在贡品、田赋和运输路线等方面的地区差异。在论及这些问题之前，先描述各区自然条件（水文、土壤、植被）的特点，大都较好地说明了不同地区的地理特色。如在描写植被的情况时，北边兖州的草木抽发为长条，俨然是疏朗的景象，自此往南的徐州，已是“草木渐包”的面貌，到了南方的扬州则是草木十分繁盛的情景，从而正确地反映了自黄、淮下游以至长江三角洲之间的自然景观的变化。又如水系：说徐州，可以“浮于淮、泗达于河（指菏水）”，即从位于淮河下游的徐州，可以乘船自淮河到泗水（古泗水南入淮河），再入菏水（古菏水入泗水），而菏水是与济水相通的，就可以到徐州北面的兖州了。在谈到兖州时说“浮于济、漯达于河（指黄河）”，古时济、漯相通，而漯水是黄河下游的一条支流，因此当时冀州、兖州和徐州之间的水系是相互贯通的。它还讲到其他各州与冀州水系相通或要经过一段海路或陆路才能衔接起来等情况。总之，《禹贡》把以黄河为中心的水路运输网描绘得清晰如画，提供了关于古河道的宝贵的历史资料。再如，它根据土壤的颜色黑、黄、赤、白、青黎和土壤的性状壤、坟、埴、垆、涂泥等，将九州的土壤分成白壤、黑坟、赤埴坟、涂泥、青黎、黄壤、白坟、坟垆等类别，这一分类是有一定科学道理的。
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除了九州部分外，《禹贡》还有专论山岳与河流的“导山”和“导水”两部分内容。它开创了我国古代地学分区域和分部门研究的范例。
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