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我国古代数学家把解方程式的步骤称为“开方”。宋元时期，“开方法”又向前迈进了巨大的一步。
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11世纪中，贾宪在《黄帝九章算法细草》【47】中首先展示出“开方作法本源图”，不仅列出各高次方展开式各项系数，并指出求这些系数的方法。朱世杰《四元玉鉴》中，所称“古法七乘方图”，更推广至八次方。这两幅图的出现，表示在宋元时期，中国人已经掌握了高次幂的开方法。这种图是贾宪首创，理应称为“贾宪三角”。在欧洲一直到阿皮纳斯（德，Apianus）和巴斯加（法，Pascal，1623—1672）才得出这个表，并被西方数学家称为“巴斯加三角”。
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图7－10 古法七乘方图
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贾宪求“开方作法本源图”中各项系数的方法，就是贾宪在开平方、开立方中所用的新法，即随乘随加的“增乘开方法”。用这种“增乘开方法”，可求得任意高次展开式系数，也可用这方法进行任意高次幂的开方，这是一项杰出的创造。
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推广“增乘开方法”使其成为求解高次方程的普遍解法并不困难，需要打破首项系数为“正一”的条件限制。首先突破这一限制的是刘益，杨辉说：“中山刘先生（刘益），作《议古根源》……引用带从开方正负损益之法（系数不拘正负），前古之所未闻也。”【48】
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“增乘开方法”经过贾宪、刘益的努力而逐步发展。一百年后，秦九韶的《数书九章》把增乘开方法推广成为任意高次方程的数值解法。书中有二次方程、三次方程、四次方程共25题，还有十次方程1题。在这许多问题中，系数有正有负，有整数也有小数，发展到这一步，“增乘开方法”就成为各种方程都适用的一种数值解法了。
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秦九韶在解题当中，其算法的特点还是随乘随加的方法进行的减根变换，这和现代求数学方程正根的方法基本上一致。这种现代算法是在秦九韶之后五百多年，意大利人鲁斐尼（Ruffini，1765—1822）在1804年和英国人霍纳（Horner，1786—1837）在1819年提出的，这也就是为人们所熟知的鲁斐尼－霍纳方法，其实理应改称“秦九韶方法”。
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天元术和四元术
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用求解方程的方法来解决实际问题，一般说来都需要两个步骤。首先要根据问题来设未知数，再按题给条件列出一个含有未知数的方程，这就是所谓的“造术”。天元术正是为解决列方程问题的一项突出成就。在金元之际，特别是在当时的北方，出现了一批有关天元术的著作，可惜都亡佚了，但在《测圆海镜》、《益古演段》、《算学启蒙》、《四元玉鉴》中都有着关于天元术的详细记载；特别是《四元玉鉴》还把天元术推广为四元术——多元高次方程组的解法。
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图7－11 天元术筹式一例
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天元术中“立天元一为某某”正是“设X为某某”的意思。在表示方法上，天元术是在一次项旁边写上“元”字，或在常数项旁边写上“太”字，为了简便起见，往往只记一字，或记“元”或记“太”，元字每上一层增加一次幂，太字每下一层即负幂指数增加一次，负的系数则加一捺。如右列的筹式即表示方程：x2－5x＋6＝0。“天元术”和目前代数学列方程的方法是一样的，只是符号和排列方式不同罢了。
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天元术的出现，解决了一元高次方程式列方程的问题，我国数学家很快便将其扩充到多元高次方程组，这是继天元术之后又一项杰出的创造。
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朱世杰《四元玉鉴》按天、地、人、物，立成四元，天元术是将各项系数纵列成行，而四元术则既有纵列，又有横列，摆成一个方阵模样，用以表示一个可以包含四个未知数的多项式或方程，并有一整套多元多项式的运算方法。朱世杰在《四元玉鉴》中共收有四元方程组问题7题，三元者13题，2元者36题。
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解多元方程组时用消去法，将四元四式消去一元后变为三元三式，再消去一元变为二元二式。更消去一元就得一元方程式，然后用增乘开方法求正根。
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我国数学家求解方程的方法，这时已经发展到高峰。由于筹算本身的局限性，无法布置更多的元，解题显然不能超过四元以上。到18世纪法国数学家别朱（Bazout）在1779年也对高次方程组的消去法问题作了系统的叙述。
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高阶等差级数
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宋元时期高阶等差级数的研究，可以说是始自北宋沈括的“隙积术”。杨辉又进一步丰富了垛积术的类型。但是高阶等差级数问题的研究，自古以来就和历法的推算即内插法有着密切关系。
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1281年，王恂、郭守敬等人考虑了日月五星的不等速运动情况，采用三次差分的内插法原理计算日月五星的运行，成为授时历中五大创举之一。
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朱世杰在《四元玉鉴》中对垛积招差问题作了系统而又详细的研究，得到了关于高次招差的一般公式，从而最后完成了宋元数学在这一方面的研究工作。这在中国数学史和世界数学史上都是首创，它和后来的牛顿（英，Newton）公式完全一致。
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大衍求一术
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“大衍求一术”就是中国古代求解联立一次同余式方法的发展，秦九韶称它为“求一术”，因又将其与《周易》[XP（]周 易[XP）]大衍之数相附会，称为“大衍求一术”。在秦九韶的《数书九章》中，求解一次同余组的“大衍求一术”也是数学史上的一项卓越成就。
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联立一次同余式问题，从数学文献上说，最早见于《孙子算经》中的一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的孙子问题，它的解法用到求三个一次同余式的共同解。这类问题和中国古代历法计算“上元积年”（即假想中历法的理想起点到编历时的年数）有关。从汉代到宋代历代的各家历法都有着自己的关于“上元积年”的数据，但却没有留下有关算法的记载。在现有资料中是秦九韶的《数书九章》首次对这一算法进行介绍并把它推广到解决各种数学问题中去。秦九韶举出的例题就不是“孙子问题”中的3、5、7之类的简单数据，其中的数据可以是整数，也可以是分数、小数。秦九韶系统地指出了求解一次同余组的一般计算步骤，正确而又严密。过了五百多年，欧洲的欧拉（Euler，1707—1783）和高斯（Gauss，1777—1855）等人对联立一次同余式方才进行了较为深入的研究。
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