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珠算盘发明之后，珠算术的四则方法逐渐代替了筹算的加减乘除运算方法。珠算术的加、减法口诀相当重要。在明代的珠算术中称加法口诀为“上法诀”，如“一，上一；一，下五除四；一，退九进一十”等等;称减法口诀为“退法诀”，即“一，退一；一，退十还九；一，上四退五”等等；很是简便。而宋、元的筹算书中却不记录加减法口诀。乘法和除法口诀，即九九口诀和九归口诀，则珠算与元代的筹算术完全相同。但元代的筹算术没有一归口诀，因为在筹算术中，除数的第一位数码是一的，一般是用“减法代除”。明代珠算术中才有一归口诀，即“见一无除作九一，起一下还一”。
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明代的珠算术著作，现在流传下来的已经不多，其中比较重要而影响又较大的是程大位所著《算法统宗》。程大位（1533年生），字汝思，号宾渠，安徽休宁人。他少年时代就很喜爱数学，后来一面经商，一面从事数学研究。1592年程大位写成《算法统宗》17卷，这是一部流传极广的数学著作。明清两代不断翻刻、改编此书，“风行宇内”，凡学习计算的人，“莫不家藏一编”，影响之大，在中国数学史上是少有的。
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图8－12 《算法统宗》中的算盘
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《算法统宗》在体例和内容上与《九章算法比类大全》有不少共同的地方，例如对于大数、小数、度量衡单位和数学词汇的解释，应用问题按九章章名分类，部分题目用诗词形式表达等都基本相同。而《算法统宗》的特点和它的贡献在于以下几点。第一，全书595个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算盘演算的。第二，最早使用珠算方法开平方和开立方。第三，记有他自己创制的测量田地用的“丈量步车”并绘有图。这种“丈量步车”是用竹篾做的，可以卷绳，就像现在测量用的卷尺。第四，附录北宋元丰七年（1084年）以来的刻本数学著作51种，可惜现在仅存15种了。当然书中难免也有某些缺点，不过总的来看，它还是一部比较完备的应用算术书。明末李之藻编译《同文算指》时，发现西方著作有不足之处，就从程大位的《算法统宗》中摘录了不少应用问题补充进去。
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我国珠算术还曾传到日本、朝鲜等东亚各国，并被延续使用到今日。在我国，直至现在珠算也仍然是被广泛使用和较为方便的计算工具。
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图8－13 《算法统宗》中的丈量步车图
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中国科学技术史稿（修订版） [:1701078213]
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八 声学知识的新发展
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十二平均律的发明
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音律学在我国历代都受到极大重视。二十四史“律历志”中的“律”或“音乐志”，是为历代音律学知识的记录，它为音律学的发展留下了宝贵史料。
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在公元前约一千年的西周初期，已经有十二律和七声音阶的认识了。十二律一般地说，就是十二个半音。它们的名称是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射和应钟。但严格地说，十二个半音中的六个单数的半音，即黄钟、太簇、姑洗等，称为“六律”，其余六个双数的半音称为“六吕”，因此十二个半音也统称为“律吕”。七个音阶是：宫、商、角、徵、羽、变宫和变徵。七声音阶出现之后，五声音阶（宫、商、角、徵、羽）仍然使用。如果以黄钟为调首（宫），七声音阶在十二律间的位置如下：
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大约在春秋时候开始使用三分损益法来确定管或弦的长短和发音高低之间的关系，其记载见于《管子·地员篇》，这种方法为后世长期沿用。三分损益法是以一条被定为基音的弦（或管）的长度为准，把它三等分，然后再去一分（损一，即乘以）或加一分（益一，即乘以），以定另一个律的长度。依此类推，直到在弦（或管）上得出比基音略高一倍或略低一倍的音为止。
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按三分损益法计算的结果，十二个律中相邻两律间的频率差不完全相等，所以称为十二不平均律。同时，比基音高（或低）八度的音，不能得到比基音高（或低）一倍的频程，只能略高（或低）一倍。如基音do的相对频率是一，高八度的do音的相对频率不是二，而是略高于二，其间存在一定的差数。这种情况不适宜进行“变调”，也不便于演奏和声。所以三分损益法是有缺点的。
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为了消除这个缺点，人们曾进行了不同的尝试。汉代京房（公元前77年—前37年）把律数的推算增到53律（名为60律），南北朝时期的钱乐之和沈重又进一步推算到360律。虽然律数的增加，可以缩小上面提到的差数，却不可能使倍频程的音，具有真正的倍频程的高度。而晋朝的荀勖（？—289）和刘宋的何承天又从别的方向上作出了努力。荀勖在以三分损益律计算管乐器各音时，发明了管口校正的方法。加上管口校正数后，三分损益律才在管上得到正确的应用。何承天把三分损益法计算后出现的差数按长度平均分为十二分，然后累加到十二个律管上。他这种平均分配差数的方法，为十二平均律的发明提供了很好的思想方法。
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到了明代，朱载堉在前人不断探索和自己努力试验的基础上发明了十二平均律，解决了长期存在的难题，为音律学的发展做出了划时代的贡献。
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朱载堉（1536—1610），字伯勤，号句曲山人，是明仁宗庶子郑靖王的后代。虽然他是王室世子，却能专心于乐律、历算等的研究，晚年还努力著述。他的主要著作是《乐律全书》，全书包括13部著作，其中11部是关于乐律方面的，另外两部著作，一部是论算学的，称《算学新说》，另一部是论历法的，称《历学新说》。在关于乐律方面的论著中，重要的有《律学新说》和《律吕精义》等。十二平均律的理论最早见于《律学新说》，写《律吕精义》时又做了进一步的阐述。关于十二平均律的数学演算，更详细地记载在他的数学著作《嘉量算经》中。
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《律学新说》成书于明万历十二年（1584年）。朱载堉用等比级数的方法平均分配倍频程的距离，取公比为，使得十二律中相邻两律间的频率差完全相等，所以称为十二平均律。十二平均律的发明彻底解决了“旋相为宫”的问题，是音乐史上的一件了不起的大事。现代的乐器的制造都是用十二平均律来定音的。朱载堉的发明约比欧洲的音乐理论家梅尔生（Mersenne Marie，1588—1648）的同样发明早半个世纪。朱载堉和他的发现在19世纪得到了德国物理学家赫姆霍茨（H. L. F. Helmho1tz，1821—1894）的高度评价。
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朱载堉在研究乐律时，很重视科学试验的检验，他说要分辨“新律”（指十二平均律）与“旧律”（指三分损益法）“孰真孰伪”，只要通过“试验”就一清二楚了。试验的方法：一是依尺造律，吹之试验，一是吹笙定琴，用琴定瑟，弹之试验。足见他的治学方法是很科学的。
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建筑上的声学效应
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声学效应的应用在我国有悠久的历史。早在战国时期，墨子曾在地下设瓮，利用共鸣现象，探查敌方挖洞攻城的计谋。宋代曾公亮在他的《武经总要》中，把这种方法称为“瓮听”，这是声学效应在军事上的应用，而在建筑上应用的典型事例要算北京天坛的部分建筑物。