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图10－1 李善兰像
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李善兰上述的工作说明，即使没有西方传入的微积分，中国数学也将会通过自己特殊的途径，运用独特的思想方式达到微积分，从而完成由初等数学到高等数学的转变。实际上在西方，牛顿和莱布尼茨也是通过各自不同的途径，几乎同时达到微积分的思想的。
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《垛积比类》则是李善兰的另一部独具特色的著作，它的内容是高阶等差级数求和方面的问题。李善兰的工作把由宋代沈括开始，元末朱世杰已经作出很好结果的“垛积问题”——高阶等差级数求和问题，发展推广到几个方面。李善兰利用了和“开方作法本源图”相类似的数表，列出一系列的高阶等差级数求和的公式。遗憾的是《垛积比类》的记述过于简单，一般只列出了一个个的等式，缺乏严格的证明。因此从20世纪30年代开始，有个别的数学家开始用现代的方法来证明这些等式。这就是国际数学界感兴趣的“李善兰恒等式”问题。
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李善兰在数论方面还证明了著名的费尔玛定理。这一结果发表在《考数根法》（数根即指素数，考数根法即判定素数的方法）之中，这是他在北京同文馆时期作出的工作。
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对于戴煦、李善兰等人的数学研究工作，当时在中国进行科技书籍翻译出版工作的伟烈亚力评价说：“……微分积分为中土算书所未有，然观当代天算家如董方立氏（即董祐诚）、项梅侣氏（项名达）、徐君青氏（徐有壬）、戴鄂士氏（戴煦）、顾尚之氏（顾观光）及李君秋纫（李善兰）所著各书，其理有甚近微分者……”【57】有的人对戴煦的工作“大叹服，转译之，寄入彼国算学工会中”【58】。这大概是中国近代数学家的工作被介绍到国外的最早的记载。这些数学家的研究成果虽然水平已远不如当时西方数学家，但是在已远远落后的中国科学各学科之中，数学，相对讲来还算是有些成绩的。
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鸦片战争之后的中国近代数学的另一个方面，也可以说主要的方面，乃是进一步介绍西方先进的数学知识来中国。
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图10－2 《代微积拾级》书影
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从19世纪50年代开始，李善兰与伟烈亚力合作所翻译的《几何原本》后9卷、《代数学》【59】、《代微积拾级》【60】等书，使明末清初传入我国前6卷的古希腊数学名著《几何原本》有了较为完整的中文译文，并且使西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分第一次传入我国。
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李善兰翻译这些书籍是花费了很多心血的。在其译《几何原本》时，因原英译本“校勘未精，语讹字误，毫釐千里所失非轻”，李善兰“删芜正讹，反复详审，使其无有疵病”，作出了很多贡献。另两本书的内容也都是中国过去所没有的。
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李善兰还创造了不少的数学名词和术语，例如“代数”、“微分”、“积分”等等都一直被沿用到今天，而且也传到日本被沿用到现在。他还直接引用了西方的不少数学符号，例如＝、＋、（）、＞、＜等。但是仍未采用世界通用的阿拉伯数码而是用了一、二、三、四……○，并用传统的天干（甲、乙、丙……）地支（子、丑、寅……）外加天地人物4个字来表示26个英文字母，用“微”的偏旁“彳”来表示微分，用“禾”字表示积分。总之，这些译文和今天通用的数学符号还相差较远。
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在李善兰之后，到了19世纪60年代末，江南制造局设立翻译馆，又出版了一批数学书籍。另一位数学家华蘅芳为这批书籍的翻译出版作出了贡献。
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华蘅芳字若汀，江苏金匮（今无锡）人。他和英国人傅兰雅等合作翻译了：《代数术》（1872年）、《三角数理》（1878年）、《微积溯源》（1874年）、《代数难题解法》（1879年），《决疑数学》（1880年）、《合数术》（1887年）等。【61】其中《合数术》是关于对数表造法，《决疑数学》则介绍了新的数学分支概率论。华蘅芳所译各书，内容比李善兰等人所译丰富，译文也通畅易懂，影响比较大。
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这时，出国留学专攻数学的人也逐渐多了起来，到了五四运动前后，中国数学家已经在现代数学研究的一些方面开始作出成绩。
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近代物理学知识的传入
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总的讲来，在整个19世纪下半叶，近代物理学知识传入我国的情况是比较差的。
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在力学方面，李善兰和英国人艾约瑟合译的《重学》【62】还算是稍有一些水平的著作。全书共20卷，前7卷介绍静力学，中间7卷是动力学，最后3卷是流体力学。早在明末清初，西方的力学知识就有所传入。那时，王徵根据传教士邓玉函口授而编译的《远西奇器图说》中就有“力艺”、“重学”的名称，并对重心、杠杆、滑车、斜面等有所介绍。李善兰所译《重学》，原文书共分三部分，译出的只有中间的一部分，但译出的部分还算是比较详细地介绍了力学的一般知识，将牛顿力学三大定律第一次介绍来中国。此外，北京同文馆也出版了一本《力学测算》（丁韪良编著），用微积分来叙述落体，求重心等各种力学问题，可补李译《重学》之不足。据说李善兰还翻译过牛顿的名著《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Natuealis Principia Mathematica），但没有译完，也没有出版。也有人希望能将拉普拉斯天体力学方面的著作译成中文，但也没有成功。
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电学方面，所介绍的几种书大都是属于电工学，而且多是属于对普通电器设备（包括电报、电话）的一般介绍，以致当时就有人评价这些书籍是“西人电学日精，此皆十年前旧说，然中土无新译者、姑读之”或是“书虽新出，而于近年讲求之新理未能采译”。
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声学、光学和热学方面也都有一些书籍翻译出版，情况和上述电学书籍差不多。声学对“音浪”（声波）稍有讨论；光学所介绍的大都是几何光学方面的知识，对光的微粒、波动学说以及光媒以太学说也略有介绍；热学也被称为“火学”，对三态物体受热后的情形有详细地叙述。
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一般地说，这一时期对当时最先进的物理成就的介绍都不是很及时的。但是，关于x射线和镭的发现的介绍可以算作是例外。德国科学家伦琴（Röntgen）于1895年发现的x光射线，两年后就被介绍来我国，当时把它译为“通物电光”，以后又译为“然根光”、“照骨之法”、“葛格斯光镜”等。关于镭的发现是由1900年出版的《亚泉杂志》介绍来我国的。鲁迅的《说（镭）》一文发表于1903年10月，其中对居里夫人1898年发现镭，1902年居里夫妇提取纯镭成功等均作了介绍。
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在上述这些书籍的翻译过程中，也选用了一批物理学名词，其中有一些一直沿用到现在。
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这一时期中国科学家自己的研究虽然已远远落后于西方，但仍然可以举出邹伯奇和郑复光两人在光学方面的研究。邹伯奇（1819—1869），广东南海人，他也通数学和天文学，从事过地图的测绘，并造过可以演示太阳系各行星运行的仪器。他曾著《格术补》一书，用数学的方法叙述了平面镜、透镜、透镜组等等成像的规律；对眼镜、望远镜、显微镜等光学仪器的工作原理也有所解释。邹伯奇还对“照像术”（即摄影技术）进行过研究，水平较高。郑复光，安徽歙县人，1846年写成《镜镜詅痴》一书，系统而详细地叙述了各种透镜的制造和它们成像的情况，是当时的一部比较完整的几何光学方面的著作。
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进入20世纪以后，陆续有新的国外物理学著作被翻译介绍来我国。
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