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（四）筹算数学的高潮——唐中叶至元中叶数学
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中国在宋元时期达到数学高潮，这是唐中叶之后中国社会的经济、政治和思想文化方面产生的新变革的必然产物。
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由于生产工具的改进，农业生产水平的提高，手工业的发展，商品经济的繁荣，极大地冲击着魏晋以来以庄园农奴式经济为主导的经济体制，促使中国社会发生了若干带有新的特点的变革，北宋初年，基本上完成了这种变革。国家承认土地的自由买卖，地主阶级主要以购买方式扩大土地的占有，而不再是按等级占田，宋代的地主是名副其实的“田主”，土地的商品化取代了土地国有制。这是历史的进步。同时，魏晋以来的门阀世族及其部曲佃客制度已经完全瓦解，宋朝的官僚地主以品级高低而不是以门阀决定其社会地位。地主阶级的剥削方式变成以出租土地收取实物地租为主，劳役地租退居次要地位，农民对生产的支配权有所提高。部曲佃客制完全被租佃制代替，佃农不再是地主的私属，而是编入国家户籍，有较大的人身自由。农民的生产积极性大为提高。南方稻作区成为全国经济的重心。交换农产品和手工业产品的定期集市“坊墟”大量增加，规模扩大，形成了若干新的经济中心，甚至不得不打破原先的州县布局，许多坊墟、县（军）、州升格为县（军）、州、府。城市工商业者人数大大增加，他们面街而居，随地经营，打破了唐以前的坊（居民区）、市（商业区）制度，形成厢坊制度，具有了近代城市的面貌。
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社会的变革及农业、手工业、商业的繁荣推动了数学和科学技术的发展。指南针、火药、印刷术虽不是宋元时期发明的，但是指南针用于航海，火药用于军事，印刷术用于印刷文史和数学经典著作，都始于五代和北宋，造纸技术也有长足进步。元丰七年（1084年）北宋秘书省刊刻了《九章算术》等汉唐算经，宋元许多数学著作成书不久即被刊刻。印刷和造纸对数学和科学技术知识的传播，进而对其发展的作用是不可估量的。
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辽、金、元有远见的统治者大都采取了以汉化为方向的加速各民族融合的政策。各民族的大融合提高了中华民族的素质。宋、辽、金、西夏、元之间的争斗当然对经济和科学技术的发展有破坏作用，但是，也促进了与之有关的数学和科学技术的发展，而且各个政权所统治的地区大部分时间还都保持了相对稳定。同时，乱世堵塞了知识分子读经入仕的道路，使他们摆脱科举仕途，有的便转向了数学和科学技术的研究。儒家经典从个人发展的敲门砖变成了一种知识。
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唐中叶之后，儒家的统治地位遭到极大削弱。两宋期间，儒家虽居于统治地位，产生了程朱理学，但其代表人物北宋的程颐、程颢、周敦颐、张载等，南宋的陈亮、朱熹等的思想主张并不一致，经常互相争辩。理学有相当大的影响，但还没有占据思想界的统治地位。理学对数学和科学技术发展的影响是负面的还是正面的，值得进一步研究。金、元统治者在倡导汉化时尽管褒奖儒学，但是北方知识分子往往是既佩服宋儒，同时也提出不少独立见解。“宋儒之议论不为无功而亦不能无罪焉”，反映了金元知识分子的主流思潮。大数学家李冶深受当时议论之学的影响，对历代经史子集中的论述尽情褒贬。
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战乱给道家和道教的发展、传播提供了土壤。乱世本身和个人的遭遇也会使读书人反思过去的信仰、所走过的道路和作为。一些道教徒热衷于数学、自然科学和技术的研究，讨论勾股形与圆的关系的“洞渊九容”就是洞渊派道教的杰作。南宋末元初的道教徒赵友钦在数学、天文学上有突出贡献。另一方面，战乱使一些知识分子常常以道观作为避乱、逃世的场所，他们的思想不可避免地会受到道家和道教影响。李冶年轻时是名重中原的大儒，元灭金的战乱及金亡后多年的颠沛流离的困苦生活，使他倾向于道家思想。
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总的说来，宋元时期思想界还相对宽松。而思想界宽松，数学家的思想不被一些僵死的教条束缚，有自由想像的空间，能够充分发挥自主思考，是数学发展的必要条件。宋元时期在一定程度上满足了这个条件。
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社会生产、生活的需要是数学发展的强大动力。李冶《益古演段自序》云：“术数虽居六艺之末，而施之人事，则最为切务。”秦九韶尽管将数学的作用概括为“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”，但他坦诚地说：对所谓大者，“固肤末于见”，而致力于小者，“窃尝设为问答以拟于用”。《数书九章序》中的9段系文更形象地说明了数学的实际应用：
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昆仑旁礴，道本虚一。圣有大衍，微寓于《易》。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。数术之传，以实为体。其书《九章》，唯兹弗纪。历家虽用，用而不知。小试经世，姑推所为。述大衍第一。
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七精回穹，人事之纪。追缀而求，宵星昼晷。历久则疏，性智能革。不寻天道，模袭何益？三农务穑，厥施自天。以滋以生，雨膏雪零。司牧闵焉，尺寸验之。积以器移，忧喜皆非。述天时第二。
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魁隗粒民，甄度四海。苍姬井之，仁政攸在。代远庶蕃，垦菑日广。步度庀赋，版图是掌。方圆异状，衺窳殊形。叀术精微，孰究厥真。差之毫厘，谬乃千里。公私共弊，盍谨其籍。述田域第三。
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莫高匪山，莫浚匪川。神禹奠之，积矩攸传。智创巧述，重差夕桀。求之既详，揆之罔越。崇深广远，度则靡容。形格势禁，寇垒仇墉。欲知其数，先望以表。因差施术，坐悉微渺。述测望第四。
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邦国之赋，以待百事。畡田经入，取之有度。未免力役，先商厥功。以衰以率，劳逸乃同。汉犹近古，税租以算。调均钱谷，河菑之扦。惟仁隐民，犹已溺饥。赋役不均，宁得勿思。述赋役第五。
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物等敛赋，式时府庾。粒粟寸丝，褐夫红女。商征边籴，后世多端。吏缘为欺，上下俱殚。我闻理财，如智治水。澄源浚流，维其深矣。彼昧弗察，惨急烦刑。去理益远，吁嗟不仁。述钱谷第六。
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斯城斯池，乃栋乃宇，宅生寄命，以保以聚。鸿功雉制，竹个木章。匪究匪度，财蠹力伤。围蔡而栽，如子西素。匠计灵台，俾汉文惧。惟武图功，惟俭昭德。有国有家，兹焉取则。述营建第七。
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天生五材，兵去未可。不教而战，维上之过。堂堂之阵，鹅鹳为行。营应规矩，其将莫当。师中之吉，惟智仁勇。夜算军书，先计攸重。我闻在昔，轻则寡谋。殄民以幸，亦孔之忧。述军旅第八。
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日中而市，万民所资。贾贸鬻，利析锱铢。财役贫，封君低首。逐末兼并，非国之厚。述市易第九。
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秦九韶在这里论述了数学在天文观测、历法制定、雨雪量、田亩面积、目的物的高深广远、赋税、财政、土木工程和建筑、军旅、海内外贸易等方面的应用，几乎包括了数学应用的所有方面。
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数学知识对维护社会正义也有极大的作用。秦九韶反对横征暴敛，认为赋役应该取之有度，公平合理，反对豪强地主隐田逃税，主张精确测算土地面积，按土地的肥腴制定赋税量；秦九韶认为理财应该像大禹治水那样，“澄源浚流”，既要防止官吏的欺瞒豪取，使国家与民众资殚财尽，也要防止不体察下情，动辄用刑的苛政。所有这些，都离不开数学计算。秦九韶有强烈的仁政思想，将数学知识看成反对官府和豪强地主横征暴敛的有力工具。
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秦九韶主张抗战，适应抗金、抗蒙战争需要，《数书九章》特设“军旅类”，他设计了有关军营布置、队列变换、军需供应、兵器制造、敌情侦察等11个题目。
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北宋的统治者比较重视数学。11世纪上半叶出现了以楚衍、贾宪、朱吉等师徒为核心的数学研究团队。元丰七年（1084年），秘书省刊刻了《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，是为世界数学史上首次印刷数学著作。13世纪初，南宋鲍澣之翻刻了这些算经，是为世界上现存最早的印刷本数学著作（如图1.10所示）。
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