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天生五材，兵去未可。不教而战，维上之过。堂堂之阵，鹅鹳为行。营应规矩，其将莫当。师中之吉，惟智仁勇。夜算军书，先计攸重。我闻在昔，轻则寡谋。殄民以幸，亦孔之忧。述军旅第八。
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日中而市，万民所资。贾贸鬻，利析锱铢。财役贫，封君低首。逐末兼并，非国之厚。述市易第九。
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秦九韶在这里论述了数学在天文观测、历法制定、雨雪量、田亩面积、目的物的高深广远、赋税、财政、土木工程和建筑、军旅、海内外贸易等方面的应用，几乎包括了数学应用的所有方面。
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数学知识对维护社会正义也有极大的作用。秦九韶反对横征暴敛，认为赋役应该取之有度，公平合理，反对豪强地主隐田逃税，主张精确测算土地面积，按土地的肥腴制定赋税量；秦九韶认为理财应该像大禹治水那样，“澄源浚流”，既要防止官吏的欺瞒豪取，使国家与民众资殚财尽，也要防止不体察下情，动辄用刑的苛政。所有这些，都离不开数学计算。秦九韶有强烈的仁政思想，将数学知识看成反对官府和豪强地主横征暴敛的有力工具。
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秦九韶主张抗战，适应抗金、抗蒙战争需要，《数书九章》特设“军旅类”，他设计了有关军营布置、队列变换、军需供应、兵器制造、敌情侦察等11个题目。
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北宋的统治者比较重视数学。11世纪上半叶出现了以楚衍、贾宪、朱吉等师徒为核心的数学研究团队。元丰七年（1084年），秘书省刊刻了《周髀算经》、《九章算术》等十部算经，是为世界数学史上首次印刷数学著作。13世纪初，南宋鲍澣之翻刻了这些算经，是为世界上现存最早的印刷本数学著作（如图1.10所示）。
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算学馆在北宋几经置废，但大部分时间还是存在的；崇宁（1102～1106年）间还发布国子监算学令、算学格，对国子监算学馆的教材、考试要求、官职，科举科目，以及及第后的任用等都做了规定，反映了北宋统治者重视数学教育的态度。
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北宋大观三年（1109年）礼部颁布了“算学祀典”，给五代前66位数学家、历算学家加封五等爵，陪祀孔子。囿于当时的认识水平和制定者的局限性，所封爵位的高低与数学、天文学成就的大小极不相称。但是，算学祀典本身无论如何反映了北宋政权对数学的重视。北宋之前，除了隋唐设算学馆和明算科之外，数学活动基本上是个人的行为。北宋则不然，设算学馆，印数学书，立算学祀典，都是中央政府的举措。可以说，明之前，没有任何一个王朝像北宋这样重视数学。
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元朝的统治者也重视数学教育。莫若说“方今尊崇算学，科目渐兴”，并不是虚浮粉饰之辞，确实反映了经过忽必烈的提倡，尊崇数学，已成为社会风气。正是在这种社会氛围下，朱世杰“以数学名家周游湖海”，才能出现“四方之来者日众”，“踵门而学者云集”的景象。
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在这种社会背景下，中国的筹算数学在宋元达到了最高峰，出现几个明显的数学研究中心。北宋11世纪上半叶在汴京（今开封）有一个以楚衍、贾宪为代表的数学中心，在开方术的改进、算法的抽象化等方面有重大贡献。13世纪下半叶更同时出现了南北两个数学中心。一个是长江下游以秦九韶、杨辉为代表，撰著了《数书九章》（1247年）、《详解九章算法》（1261年）、《杨辉算法》（1274～1275年）等著作，发展了高次方程数值解法、同余方程组解法、垛积术，以及乘除捷算法等等。南宋数学著作如图1.11所示。一个是太行山两侧，发展了勾股容圆，以及以天元术、二元术、三元术等为主的列出并求解高次方程和多元高次方程组的方法，当时有许多著作，现仅存李冶的《测圆海镜》（1248年）、《益古演段》（1259年）。元统一中国之后，朱世杰撰《算学启蒙》（1299年）、《四元玉鉴》（1303年），综合两个中心的长处，创造四元术，将垛积术和招差术发展到相当系统、完备的程度，在改进筹算乘除捷算法方面也有杰出的贡献。元数学著作如图1.12所示。
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当时出现了一系列欧洲近代才达到的重大成果。如唐中叶就有十进小数的概念，而欧洲在1585年斯台文才在运算中使用小数，其记法还十分不方便；贾宪创造的贾宪三角，西方称为帕斯卡三角，晚出五六百年；贾宪的增乘开方法，欧洲19世纪初鲁菲尼、霍纳才有同类的成果；秦九韶总结的大衍总数术即一次同余方程组解法，近代数学大师欧拉（1707～1873年）才达到其水平；朱世杰的四元术即多元高次方程组解法，别朱（1775年）才有同类的方法；朱世杰的高次招差法公式，欧洲格利高里（1670年）、牛顿（1676年）才得到。
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（五）中国传统数学主流的转变与珠算的普及——元中叶至明末的数学
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宋元数学的两个方向，高深的数学研究与大众化的应用，在《四元玉鉴》之后直到明末，有完全不同的遭遇，这导致中国数学的发展方向和主流发生了重大的转变。
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一个明显的事实是，汉唐宋元的重要数学著作无人问津，不仅没有翻刻，反而失传或几乎失传。比如中国传统数学最重要的经典《九章算术》的后半部就失传了。仅存的半部，一般读书人也看不到。明代吴敬、王文素所说的《九章算术》并不是传本《九章算术》，而是杨辉书中引用的《九章》内容。其他著作，如《数书九章》、《四元玉鉴》，也只是在藏书家的书阁睡大觉。唯一的例外是李冶的《测圆海镜》，明大数学家顾应祥研究过，但对其中以天元术列方程的方法看不懂，“无下手之处”，尽行删去。实际上，不仅天元术，对四元术、增乘开方法，也没有人看懂。对一次同余方程组解法、垛积术等虽还有人研究，但也未达到宋元的水平。
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另一方面，在数学的大众化应用方面，却进步很快。可以说，大众化、实用化、歌诀化和珠算化成为元中叶至明末数学发展的主流。除了顾应祥、唐顺之、周述学等少数人之外，大部分数学家的主要兴趣不在高深的数学研究上，而是在为大众百姓提供实用的数学知识和方法上。珠算最迟在南宋产生后，与筹算并用了很长时期，图1.13所示是明初儿童识字读本《对相四言》，算盘、算子（算筹）并列，反映了当时的情形。直到明中叶吴敬的《九章比类算法大全》、王文素的《算学宝鉴》等还都是筹算与珠算并用的著作。人们继续改进算法，尤其是创造了珠算的开方法。到明后期，《数学通轨》、《盘珠算法》等才是完全的珠算著作。程大位《算法统宗》（1592年）对普及珠算方法发挥了极大的作用。
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因此，除了珠算普及外，明代数学明显落后于宋元数学。其原因值得探讨。1614年徐光启《同文算指序》说：“算数之学特废于近世数百年间尔。废之缘有二：其一为名理之儒士苴天下之实事，其一为妖妄之术谬言数有神理，能知来藏往，靡所不效。卒于神者无一效，而实者无一存。”这种看法有一定道理。不过，最根本的原因是此时已进入封建社会的后期，加之严酷的思想统治，八股取士，大兴文字狱，窒息了人们的数学创造力。
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（六）中西算学的会通——明末至清末的数学
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16世纪末，利玛窦等欧洲传教士来华，传教的同时，带来了西方的数学和天文历法知识。以往一千余年间，外域的数学、天文学多次传入中国，但由于当时中国的数学、天文学比较先进，发挥作用不大。这一次却不然，中国的天文学、数学已经落后。有人在吹嘘《授时历》多么准确时说：《授时历》用了300年。这是拿着耻辱当光荣。用了300年，不是因为它还准确，而是因为数学落后，不会改历了。因此，利玛窦等人带来西方的数学、天文学时，自然受到先进知识分子的欢迎。徐光启与利玛窦合译出版了《几何原本》前六卷，从此，中国数学开始了中西会通的时期。这一时期大体可分成三个阶段。