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1701097568 今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法。实如法而一。
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1701097570 今有粟一斗,欲为粝米。问得几何?
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1701097572 答曰:为粝米六升。
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1701097574 术曰:以粟求粝米,三之,五而一。
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1701097576 下面还有30个同样类型的例题。每个题目都有题、答、术,而术都是今有术的应用。属于这类情形的还有衰分章的衰分术、返衰术及其例题,少广章少广术及其例题,盈不足章使用盈不足术解决的11个一般数学问题,方程章方程术、正负术、损益术及其例题,共7术(盈不足术不计在内),80个例题。
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1701097578 这三种情形共82术,196问,约占《九章算术》全书的80%。尽管其间的表达方式有差异,却有几个共同特点:
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1701097580 首先,在这里术文是中心,是主体,题目是作为例题出现的,是依附于术文的,而不是相反。
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1701097582 其次,在这里,作为中心的术文非常抽象、严谨,具有普适性,换成现代符号就是公式或运算程序。
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1701097584 第三,这些术文具有构造性、机械化的特点。
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1701097586 因此,我们将之称为算法(术)统率例题的形式。
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1701097588 2)应用问题集的形式
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1701097590 这种情形往往是一题一术一答。其术文的抽象程度也有所不同:
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1701097592 (1)关于一种问题的抽象性术文。以均输章凫雁问为例:
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1701097594 今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问:何日相逢?
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1701097596 答曰:三日十六分日之十五。
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1701097598 术曰:并日数为法。日数相乘为实。实如法得一日。
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1701097600 其术文虽未离开日数这种具体对象,但没有具体数字的运算,对同一种问题都是适应的。在均输章此问之下,长安至齐等问,以及粟米章今有术、衰分章衰分术、返衰术的例题,勾股章的持竿出户等问也都是如此。
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1701097602 (2)具体问题的算草。衰分章的非衰分题目,均输章的非均输类的大部分题目,勾股章的解勾股形题目等问题都是如此。以勾股章开门去阃问为例:
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1701097604 今有开门去阃,不合二寸。问:门广几何?
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1701097606 答曰:一丈一寸。
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1701097608 术曰:以去阃一尺自乘。所得,以不合二寸半之而一。所得,增不合之半,即得门广。
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1701097610 术文以题目的具体数字入算。
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1701097612 这部分内容共有50个题目,显然都是以题目为中心的,术文只是题目的演算细草,计算程序是正确的,尽管第(1)种的术文,对某一种问题具有普适性,却不具有《九章算术》大多数术文那样高度的抽象性、广泛的普适性等特点。
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1701097614 很显然,不能将《九章算术》归结为一题、一答、一术的“应用问题集”。我认为,数学史上起码存在三种不同体例的著作,一是像欧几里得《几何原本》那样,形成一个公理化体系;一是像丢番图的《算术》那样的应用问题集;三是以《九章算术》的主体部分为代表的以算法为中心,算法统率例题的形式。
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1701097616 《九章算术》的这些体例,在《算数书》中全都有。
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